建筑力学17-力法一

第十四章用力法计算超静定结构1,了解超静定结构的组成、超静定结构的类型，2,掌握力法的基本原理。14.1超静定结构概述所谓超静定结构，是指那些从几何组成分析来说具有几何不变性而又有多余约束的结构。如图14.1所示的梁具有一个多余约束。又如图14.2所示的桁架具有两个多余约束。上述两个结构都属于超静定结构。超静定结构中多余约束的选择不是惟一的。多余约束中产生的约束力称为多余未知力。只要确定了多余未知力，其余的计算就转化为静定结构的计算问题。14.1.1超静定结构的概念图14.1图14.2超静定结构中多余约束的数目称为超静定次数。判断超静定次数可以用去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法进行。去掉多余约束的方式一般有以下几种：

(1)

去掉一根支座链杆或切断一根链杆等于去掉一个约束，图14.3。

(2)

去掉一个铰支座或拆去联结两刚片的单铰等于去掉两个约束，图14.4。

(3)

将固定端支座改成不动铰支座，或将刚性联结改成单铰联结，等于去掉一个约束，图14.5。14.1.2超静定次数的确定图14.3图14.4图14.5

(4)

去掉一个固定端支座或切开刚性联结等于去掉三个约束，图14.6。按所去掉的约束数目可以很简便地算出结构的超静定次数。如从原结构中去掉n个约束结构就成为静定的，则原结构称为n次超静定结构。图14.614.2力法原理

图14.7(a)所示为一次超静定梁，EI为常数。图中虚线表示梁在受力后的弹性变形情况。由图中可见梁A端的线位移及角位移为零，B端竖向位移也为零。现拆去多余约束B端的支座链杆并用多余未知力X1代替B端的约束对原结构的作用，得到如图14.7(b)所示静定梁。这种去掉多余约束后所得到的静定结构，称为原结构的基本结构，待求的多余未知力X1为力法的基本未知量。图14.7基本结构在B端不再受约束限制，因此在外力P作用下B点竖向位移向下（图14.7(c)），在X1作用下B点竖向位移向上(图14.7(d))。显然在二者共同作用下B点竖向位移将随X1的大小不同而异，由于X1是取代了被拆去约束对原结构的作用，因此基本结构的变形位移状态应与原结构完全一致，即B点的竖向位移Δ1必须为零，也就是说基本结构在已知荷载与多余未知力X1共同作用下；在拆除约束处沿多余未知力X1作用方向产生的位移应与原结构在X1方向的位移相等。即Δ1=0

(a)这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。若用Δ1P和Δ11分别表示荷载q和多余未知力X1单独作用下基本结构在X1作用处沿X1方向产生的位移，则由叠加原理根据位移条件可得下列方程

Δ1=Δ11+Δ1P=0(b)若X1=1时在X1方向产生的位移为δ11，则有Δ11=δ11X1，于是(b)式可以写成

δ11X1+Δ1P=0(14.1)这就是求解多余未知力的补充方程，称为力法方程。为了计算δ11和Δ1P，分别作基本结构在荷载q作用下的弯矩图MP(图14.8(a))和在单位力X1=1作用下的单位弯矩图M1(图14.8(b))，应用图乘法可得代入力法方程式(14.1)得图14.8多余未知力X1求得后，即可由静力平衡条件求得其余的约束反力和内力。最后弯矩图也可以利用已经绘出的基本结构的M1图和MP图由叠加原理按下式求得

M=M1X1+MP也就是将M1图的竖标乘以X1倍，再与MP图中的对应竖标相加。例如

MA=MAX1+MAP=l×3/8ql-1/2ql2

=-1/8ql2(上侧受拉)最后内力图如图14.9所示。图14.9

综上所述，我们把这种取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构，利用计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法，称为力法。用力法计算超静定结构时，解除超静定结构的多余约束而得到静定的基本结构后，整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化为静定结构的位移和内力计算问题。14.3力法的典型方程

图14.10(a)所示的为一个三次超静定刚架。现去掉固定支座B，加上相应的多余未知力X1、X2和X3，便得到图14.10(b)所示的基本结构。由位移条件可知，基本结构在外荷载和多余未知力X1、X2及X3共同作用下，B处的水平位移Δ1、竖向位移Δ2和角位移Δ3即分别沿X1、X2及X3方向的位移都应等于零，即

Δ1＝0

Δ2＝0

Δ3＝0图14.10

图14.10(c)、(d)、(e)、(f)分别表示了单位力X1=1、X2=1、X3=1和荷载P单独作用于基本结构上时，B处沿X1、X2及X3方向的相应位移。根据叠加原理，B处应满足的位移条件可表示为

Δ1=δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0

Δ2=δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0

Δ3=δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0式(b)就是由位移条件所建立的求解X1、X2和X3的力法方程。b对于n次超静定结构有n个多余约束，也就是有n个多余未知力x1，x2，…，xn，且在n个多余约束处有n个已知的位移条件，故可建立n个方程，例如原结构在荷载作用下各多余约束处的位移为零时，有

δ11X1+δ12X2+…+δ1nXn+Δ1P=0

……

δi1X1+δi2X2+…+δinXn+ΔiP=0

……

δn1X1+δn2X2+…+δnnXn+ΔnP=0式(14.2)为力法方程的一般形式，常称为力法典型方程。

其物理意义是：基本结构在全部多余未知力和已知荷载作用下，沿着每个多余未知力方向的位移，应与原结构相应的位移相等。根据位移互等定理有

δij=δji(c)