离散型随机变量及其分布列

我们学习了概率有关知识.知道概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量.

随机试验是指满足下列三个条件的试验:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。思考:你能举出一个随机试验的例子吗?并说明该随机试验的所有可能结果.探究点1随机变量的概念（1）罚球2次有可能得到的分数有几种情况？（2）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一种情况吗？0分，1分，2分正面向上，反面向上提示：不能，虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的所有结果，但在一般情况下，试验的结果是随机出现的.能否把掷硬币的结果也用数字来表示呢？01例1、某人在射击训练中，射击一次，命中的环数.例2、某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数.若用Y表示所含次品数，Y有哪些取值？若用X表示命中的环数，X有哪些取值？X可取0环、1环、2环、···、10环,共11种结果Y可取

0件、1件、2件、3件、4件,共5种结果说明：(1)任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化；

(2)同一个随机试验的结果,可以赋不同的数值.

在前面的例子中，我们把随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是这些数字的变化.

定义我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个_________，通常用大写的英文字母如X，Y来表示.随机变量注意：有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但还是可以用数量来表达，如在掷硬币的试验中，我们可以定义“X=0，表示正面向上，X=1，表示反面向上”.一、随机变量的定义：思考：按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系.那么，随机变量与函数有类似的地方吗？提示：随机变量是试验结果与实数的一种对应关系，而函数是实数与实数的一种对应关系，它们都是一种映射.在这两种映射之间，

试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值结果相当于函数的值域.所以我们也把随机变量的取值范围可以看作随机变量的值域.例1.已知在10件产品中有2件不合格品.现从这10件产品中任取3件，这是一个随机现象.（1）写出该随机现象所有可能出现的结果.（2）试用随机变量来描述上述结果.解（1）这10件产品中有2件不合格品，有8件合格品.因此，从10件产品中任取3件，所有可能出现的结果是：“不含不合格品”“恰有1件不合格品”

“恰有2件不合格品”.（2）令X表示取出的3件产品中的不合格品数.则X所有可能的取值为0,1,2，对应着任取3件产品所有可能出现的结果.即“X=0”表示“不含不合格品”；“X=1”表示“恰有1件不合格品”；“X=2”表示“恰有2件不合格品”.写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自所表示的随机试验的结果：练一练（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数A

；（2）抛掷两个骰子，所得点数之和Y；（3）某城市1天之中发生的火警次数X；（4）某品牌的电灯泡的寿命X；（5）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场任意一棵树木的高度B．（A=1、2、3、···、10）（Y=2、3、···、12）（X=0、1、2、3、···）[0，+∞)[0.5，30]思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？二、随机变量的分类：1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。（如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等）2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量叫做连续型随机变量。（如灯泡的寿命，树木的高度等等）注意：（1）随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量；（2）变量是否离散与变量的选取有关；比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量下列试验的结果能否用离散型随机变量表示？（1）已知在从汕头到广州的铁道线上，每隔50米有一个电线铁站，这些电线铁站的编号；（2）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差；（3）某城市1天之内的温度；（4）某车站1小时内旅客流动的人数；（5）连续不断地投篮，第一次投中需要的投篮次数.（6）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的等级。练一练例2.连续投掷一枚均匀的硬币两次，用X表示这两次投掷中正面朝上的次数，则X是一个随机变量.分别说明下列集合所代表的随机事件：（1）；（2）；（3）；（4）.解(1)表示使得随机变量对应于0的那些结果组成的事件，即两次都掷得反面朝上.所以=｛两次都是反面朝上｝.【变式练习】1、用X表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件：(1)｛X=8｝;(2)｛1<X≤9｝;(3)｛X≥1｝;(4)｛X<1｝.解(1)｛X=8｝=

｛恰有8次命中目标｝;(2)｛1<X≤9｝=｛命中目标次数为2到9次｝;(3)｛X≥1｝=｛命中目标次数为1到10次｝;(4)｛X<1｝=｛没有一次命中目标｝.2、抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是(

)A．出现正面的次数B．出现正面或反面的次数C．掷硬币的次数D．出现正、反面次数之和解析：掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，都不是随机变量，D中对应的事件是必然事件．故选A.答案：

A3、抛掷两枚骰子，所得点数之积为ξ，那么ξ＝4表示的试验结果为(

)A．一枚1点，一枚4点B．两枚都是2点C．一枚1点，一枚3点D．一枚1点，一枚4点，或两枚都是2点解析：

由于每枚骰子的点数均可能为1,2,3,4,5,6，而ξ＝4＝2×2＝1×4，故应选D.答案：

D4、判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天中央电视台“非常6＋1”节目组接到热线电话的个数；(2)新赛季，姚明在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；(3)标准大气压下，水沸腾的温度；(4)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次．[解题过程]

(1)接到热线电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)姚明在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机的，故是随机变量；(3)标准大气压下，水沸腾的温度100℃是定值，所以不是随机变量．(4)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．5、下面给出四个随机变量：①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数ξ；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某网站1分钟内的访问次数ξ；④1天内的温度η.其中是离散型随机变量的为(

)A．①②