几何基础及光学 3

4理想光学系统习题及答案图4-57中M、M'为β=-1的共轭面，物点F与像方无穷远共轭，像点F'与物方无穷远共轭，作图求解与入射光线1共轭的出射光线1'。11F’M’FM21’2’A’B’BAK’图STYLEREF1\s4SEQ图\*ARABIC\s157非常规理想光学系统待求光路解：作图求解过程及结果见图中红线。作图完成如图4-58所示反射式理想光学系统物像互求。FF(F')HH’(a)会聚式实物求像AF(F')HH’(b)发散式实物求像AF(F')HH’(c)会聚式实像求物A’F(F')HH’(d)发散式实像求物A’F(F')HH’(e)会聚式虚物求像AF(F')HH’(f)发散式虚物求像AF(F')HH’(g)会聚式虚像求物A’F(F')HH’(h)发散式虚像求物A’A’A’AAA’A’AA图STYLEREF1\s4SEQ图\*ARABIC\s158反射式理想光学系统物像互求解：作图过程及结果（空心点）见上图红线（注意：反射式理想光学系统的节点对应实际反射系统的球心，而非主点。反射式理想光学系统的主点是一对角放大率r=-1的点，也可利用来作图）。作图完成如图4-59所示透射式理想光学系统物像互求。FF’FH’HA’(d)虚像点求物FF’H’HA(c)虚物点求像F’FH'H(b)实像点求物A’F’FH'H(a)实物点求像AA’AAA’图STYLEREF1\s4SEQ图\*ARABIC\s159透射式理想光学系统物像互求如图4-60所示，物点A通过双光组组合光学系统成像于像点A'，请在图中标出各光组的物方、像方焦距，光组间距，物点A的物距、焦物距，像点A'的像距及焦像距。FF2’H2'H2F1’H1’H1F1F2AA’-lA’-lA-f1f2f1’-f2’d-xA-xA’图STYLEREF1\s4SEQ图\*ARABIC\s160双光组组合系统代数参量标注解：标注结果见图中红色部分。如图4-61所示的双光组组合光学系统，请用作图法求出并标注其系统物方、像方焦点及主面的位置。HH1’F2’H2'H2F1’H1F1F2(a)HH’F’F-lF-lH-lH’lF’O1O2F1(F1')F2(F2')凹面主镜凸面次镜(b)图STYLEREF1\s4SEQ图\*ARABIC\s161双光组组合光学系统解：对于图(a)的理想光学系统模型，其求解过程见图中彩色部分。对于图(b)中的实际系统，严格来说应将其抽象为理想光学系统然后再求解，见图(b')。((b')H1(H1')H2(H2')F1(F1')F2(F2')凹面主镜凸面次镜F’H'FHlF’-lH’-lH-lF研究凹面镜及凸面镜不同物区间的成像规律，参照图4-32和图4-36的形式，画出对应的β-l图。答：通过凹面镜及凸面镜不同物区间的作图求解可得凹面镜和凸面镜对应的β-l图如图(a)和(b)所示。它们分别等同于正、负薄透镜的β-l图。FF(F')F(F')2F(2F')∞-∞Ol'OF(F')lβ2F(2F')-11lβF(F'))2F(2F')-11OF(F')F(F')2F(2F')∞-∞Ol'(b)凸面镜(a)凹面镜基于反射式理想光学系统模型证明牛顿公式。证明：下面，以会聚型反射式理想光学系统模型为例来证明牛顿公式。下图为物高为y的垂轴物体通过会聚型反射式理想光学系统获得高为y’的像的光路图。由两个绿色三角形相似可得：y/HE=y/-y’=-x/-f；由两个红色三角形相似可得：HD/-y’=y/-y’=-f’/-x’；综上，有-x/-f=-f’/-x’，即xx’=ff’，此即为牛顿公式，证毕。FF(F’)H(H’)EDy-y’-f(-f’)-x’-x一焦距为100mm的正薄透镜对前方150mm处的蜡烛成像，要将屏移动到什么位置才能接收到蜡烛的像。解：依题意作如下光路图，通过作图法可知像在像方两倍焦距开外，更具体的位置需要通过代数法计算。根据成像公式1l'-1l=1f'得：1答：需将屏移到镜后300mm处。FF’FO-ll’一薄透镜对蜡烛成像，在镜后400mm处的屏上获得了3倍蜡烛高度的像，求该物体的位置及薄透镜的焦距。解：因为蜡烛的位置和透镜的正负没有告知，暂时无法从几何上作成像光路图。告知了横向放大率为3倍，但没说是+3还是-3倍，根据图4-32和图4-36的β-l图，正、负薄透镜共有4处横向放大率绝对值为3的情形。成像物体蜡烛是实物、其像又能被屏接收，所以这4种情形中只有物体处在一倍到两倍焦距之间，β=-3的情形符合。据此作如下光路图，更具体的物、像位置需要通过代数法计算。如图知l'=400，由公式β=l由公式1l'-1答：物体在镜前133.3mm处，透镜焦距为100mm。FF’FO-ll’一薄透镜能在物、像间距为400mm的情况下获得等大倒立的像。当该薄透镜在镜后屏上获得了物体3倍的正像时，求此时物、像的位置和该透镜的焦距。解：等大倒立的成像对应β=-1，此时物、像分别在特征点2F和2F’处，因此有4f'=400“屏上获得了物体3倍的正像”说明β=3，像为实像，根据图4-32和图4-36的β-l图，可知对应物在O-F间负透镜成像情形。结合前面导出的f'=100mm，可知有f据此作如下光路图，更具体的物、像位置需要通过代数法计算。联立公式1l'-1l=1fFFFF’Oll’FF’O答：此时物和像在薄透镜后66.7mm和200mm处，薄透镜为焦距为-100mm的负透镜。正薄透镜对蜡烛获得了等大倒立的像，蜡烛向透镜靠近10mm，其像则远离透镜100mm，求透镜的焦距。解：等大倒立的成像对应β=-1，此时物、像分别在特征点2F和2F’处。依题意作成像光路图如下，易知第二次成像有：-l=2f'-10，l'=2fFF’FO-ll’F’FO答：透镜的像方焦距为11.1mm。一凹面镜半径为100mm，对处于其焦点和球心之间距离焦点20mm处的物高为10mm的物体成像，求像的位置及像高。解：对于实际凹面镜成像系统，应将其抽象为理想光学系统然后再求解。依题意作图如下，在两倍焦距外得到倒立放大的实像，更具体的物、像位置需要通过代数法计算。结合光路图和题意知x=-20，y=10，f=f’=-100/2=-50，根据牛顿公式xx'=ff'，可得x’=-125。根据β=y'y=-x'f'FF(F')CO(H1,H1')-x-x’y’y答：像的焦像距为-125mm，像高为-25mm。一置于空气中的光学系统对一物体成像，物像共轭距为100mm，求其在下列情况的物、像位置及光学系统的焦距。①β=5，成虚像；②β=5，成实像；③β=1/5，成实像；④β=1/5，成虚像。解：因为物、像的位置和透镜的正负都是未知，无法从几何上作成像光路图。告知了横向放大率和像的虚实，可根据图4-32和图4-36的β-l图来判断具体的成像情形。①β=5，成虚像，根据β-l图可知是正透镜物在O-F间的成像情况，可作几何光路图如图(a)，据此有-l'-(-l)=100，联立β=l'l=5②β=5，成实像，根据β-l图可知是负透镜物在O-F间的成像情况，可作几何光路图如图(b)，据此有l'-l=100，联立β=l'l=5-l-l-l’F’FOyy’l’lF’FOyy’FF’Oll’yy’FF’O-ll’yy’(a)(b)(c)(d)③β=1/5，成实像，根据β-l图可知是正透镜虚物的成像情况，可作几何光路图如图(c)，据此有l-l'=100，联立β=l'l=1④β=1/5，成虚像，根据β-l图可知是负透镜实物的成像情况，可作几何光路图如图(d)，据此有-l-(-l')=100，联立β=l'l=1焦距为100mm的正透镜对蜡烛成像，在共轭距为500mm时在屏上获得了蜡烛的放大像，求在蜡烛和屏不动的情况下，怎样移动透镜，可以重新在屏上获得清晰的蜡烛像？并求出此时的横向放大率。解：依题意知实物成实像，放大像，根据正透镜的β-l图可知物在F-2F之间，对应像在2F’外，据此作几何光路图如下。依题意知移动透镜前有：l1'-l1上一行的解可获得β1=l1'l1=-2.62的放大像，与题意及几何光路图吻合。下一行的解可获得β在光路图上添加移动透镜后的成像情况（绿色的透镜和像），对应代数解的下一行的情况：l2=-l1'=-361.8，答：将透镜向屏的方向移动223.6mm，可获得横向放大率β2-l-l1l1’F’FOd-l2(l1’)l2’(-l1))当物和屏的间距大于4倍正透镜的焦距时，保持物和像不动的情况下，正透镜可在两个位置将物的像清晰的投射在屏上，请推导正透镜的焦距、共轭距及两个透镜的位置间隔的关系。解：根据正透镜的β-l图可知，实物成实像对应的物在-∞-F间，对应的像在F’-+∞间，据此可得物像共轭距D=l'-l⋯⋯①，易知（见习题14求解过程）共轭距不变情况下的两种清晰成像情况即为物、像颠倒的情况，作两种情况下的光路图如下所示，有：2×-l+d=D⋯⋯②，式①、式②联立-l-ll’F’FOd-l2(l’)l2’(-l))答：正透镜的焦距、共轭距及两个透镜的位置间隔的关系为f'2一焦距为40mm的正透镜，在像屏距离物体200mm的时候获得了物体的清晰像。像屏从当前位置远离物体20mm，要想在像屏上再次获得物体的清晰像，需紧贴前面透镜后放置一个多大焦距的透镜？解：依题意作几何光路图如下。对于第一次成像有：1l1'-1l1=1200-1l1=1f1'=140，解得l1=-50。加透镜后像距变大，对应屈光能力变弱，答：需紧贴前面透镜后放置一个焦距为-55.05mm的负透镜。-l-l1l1’=200F’FOl2’=200+20一透射系统，f'=20mm，物像方焦点间距为30mm，像相对于物的横向放大率β=-5，求物像共轭距。解：物像方焦点间距小于2f’，说明该系统物方主面H在像方主面H’右边，如图所示，有2f’+HH’=40+HH’=30，即HH’=-10。根据正透镜β-l图可知，β=-5时对应的物在F-2F之间，其光路图如下图所示。联立：1l'-1l=1f'=120和β=答：物像共轭距为134mm。FFF’HH’f’30l’-l一个由正、负薄透镜组成、正组在前的光学系统，正透镜焦距为100mm，负透镜的焦距为-80mm，两透镜间隔为50mm，求光学系统的焦距和物像方基点的位置，并作图示意。解：依题意作如图所示系统，要求系统基点位置，可通过正向和逆向追迹平行的入射和出射光线得到，基点标注如下图所示。由于基点位置的求解最终要通过代数计算实现，还需从代数公式求解。依题意设d=50，f1’=-f1=100，f2’=-f2=-80。如图有∆=f2-(f1’-d)=30，根据双光组组合系统的基点、基面及焦距公式有：xF'=f2f2'-∆=213.3，xF答：光学系统焦距为266.7mm的正光焦度光组，其基点位置如图所示。FF1’F2’H’F’F1F2∆f2f1’dFH-xH-xFx’F-x’H-ff’设计一个焦距为1200mm的摄远镜头，要求其工作距离为200mm，总长度为500mm，使用两块薄透镜设计，求该镜头的初始结构（两薄透镜焦距及间隔）。解：要使焦距比总长度长，应使用正组在前的正负薄透镜组合。依题意作几何光路图如下，易知d=500-200=300。由双光组组合焦距可得：f'对光组二应用高斯公式，有1l联立以上两式可得解1：f1'=300，f2'=0；解2：f1'=360，f2'=-85.7；解1不合理应舍去，留下解2为最终解。答：设计该摄远镜头需要正组在前的正负薄透镜组合，正透镜焦距为360mm，负透镜焦距为-85.7mm，两透镜间隔300mm。FF1’F2’H’F’f’=1200500l2’=200dl2一置于空气中的双凸透镜，厚20mm，前后表面的曲率半径分别为500mm和250mm，透镜材料折射率为1.516374。求透镜的焦距和物像方基点的位置，并作图示意。解：依题意设d=20，r1=500，r2=-250，n=1.516374。套用厚透镜焦距及主面公式有：fll该厚透镜基点位置如下图所示。HHH’FF’325.72mm325.72mm8.86mm4.43mm答：该厚透镜的焦距为325.72mm，其物像方基点的位置如图所示。折射率为1.5164的两平凸透镜凸面相对放置，前后透镜的凸面曲率半径分别为200mm和400mm，将物体放置在前透镜的物方焦点处，求像的位置及像相对于物的横向放大率。解：依题意作光路图如下，实际的透镜系统转化为理想光学系统再求解。因为物在前透镜物方焦面上，所以前透镜出射光线，也即后透镜入射光线为平行光线，所以像在后透镜的像方焦面上。根据作图法则，可知BH1平行于H2’B’，所以∆BH1F和∆H2’B’F’相似，所以有：-y'y=f2'-f1，因此β=y'y=f2'f1=-f2'f1'，由平凸透镜焦距公式得f1'=200/(1.5164-1)=387.3答：像在后透镜的像方焦面上，β=-2。HH2H2’H1H1’-f1f2’y-y’FF’BB’如图4-62所示，实物点B处在双光组中间，请作图求实物点B分别通过前后光组所成的像。解：B为实物点，那么实际光线必须从B点发出。我们追迹光路按惯例是从左往右，基点物、像方也是依据该惯例建立的。如果光线必须从右向左追迹，则基点物、像方必须互换，图中B点通过其前面的光组成像即为这种情况，具体作图见图中红线。FF2F2'H2H2'F1F1'H1H1'BB'B''图STYLEREF1\s4SEQ图\*ARABIC\s162中间实物通过前后光组求像两薄透镜组成的光学系统，薄透镜间距为20mm，物体在前面薄透镜前方15mm处，获得倒立放大5倍的像，物、像共轭距为80mm，求两光组焦距。解：因不能确定前、后镜组光焦度的正负，几何光路就有多种可能。设物点发出的入射光线孔径角的正切tanU1=-0.5，因有β=tanU1/tanU2'=-5，所以tanU2'=0.1。因tanU2