代数数域中范数与迹的加性乘性极限

代数数域中范数与迹的加性乘性极限一、代数数域与范数、迹的基本概念1.1代数数域的定义与结构代数数域是有理数域$\mathbb{Q}$的有限次扩域，通常记为$K$。设$K$在$\mathbb{Q}$上的次数为$n$，即$[K:\mathbb{Q}]=n$，则$K$可以表示为$\mathbb{Q}(\alpha)$，其中$\alpha$是一个$n$次代数整数，满足首一不可约多项式$f(x)\in\mathbb{Z}[x]$，称为$\alpha$的极小多项式。代数数域$K$中的元素可以表示为$a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}$，其中$a_i\in\mathbb{Q}$。全体代数整数构成的环记为$\mathcal{O}_K$，是$\mathbb{Z}$在$K$中的整闭包，具有唯一分解整环的性质当且仅当$K$是数论中的唯一分解域。1.2范数与迹的定义对于代数数域$K/\mathbb{Q}$，任取$\alpha\inK$，定义$\alpha$的迹$\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$和范数$\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$如下：设$\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n$是$K$到代数闭包$\overline{\mathbb{Q}}$的所有嵌入，则：迹：$\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sigma_1(\alpha)+\sigma_2(\alpha)+\cdots+\sigma_n(\alpha)$范数：$\text{Norm}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sigma_1(\alpha)\sigma_2(\alpha)\cdots\sigma_n(\alpha)$迹和范数具有基本的加性和乘性性质：加性：$\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha+\beta)=\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)+\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\beta)$乘性：$\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\alpha\beta)=\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)\text{Norm}_{K/\mathbb{Q}}(\beta)$这些性质使得迹和范数成为连接代数数域与有理数域的重要桥梁，将$K$中的元素运算转化为$\mathbb{Q}$中的运算。1.3范数与迹的矩阵表示迹和范数可以通过矩阵的迹和行列式来表示。设$\alpha\inK$，考虑线性变换$T_\alpha:K\rightarrowK$，定义为$T_\alpha(x)=\alphax$。在$K$作为$\mathbb{Q}$-向量空间的一组基下，$T_\alpha$可以表示为一个$n\timesn$的矩阵$M_\alpha$，则：$\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\text{tr}(M\alpha)$（矩阵的迹）$\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\det(M\alpha)$（矩阵的行列式）例如，对于二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$，其中$d$是无平方因子整数，基为${1,\sqrt{d}}$，对于$\alpha=a+b\sqrt{d}$，其矩阵表示为：$$M_\alpha=\begin{pmatrix}a&bd\b&a\end{pmatrix}$$则$\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=2a$，$\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=a^2-db^2$，这与通过嵌入$\sigma_1(\alpha)=a+b\sqrt{d}$，$\sigma_2(\alpha)=a-b\sqrt{d}$计算的结果一致。二、加性极限：迹的渐近行为2.1迹在整数环上的分布考虑代数整数环$\mathcal{O}K$中的元素，迹$\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$总是整数，因为对于代数整数$\alpha$，其极小多项式的系数都是整数，而迹是极小多项式的系数的$(-1)^{n-1}$倍（当$n$是次数时）。对于$\mathcal{O}K$中的元素$\alpha$，记$H(\alpha)$为$\alpha$的高（height），即其极小多项式的系数的最大绝对值。当$H(\alpha)\rightarrow\infty$时，$\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$的分布如何？在二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$中，$\mathcal{O}K=\mathbb{Z}[\omega]$，其中$\omega=\sqrt{d}$（当$d\equiv2,3\mod4$）或$\omega=(1+\sqrt{d})/2$（当$d\equiv1\mod4$）。对于$\alpha=a+b\omega$，$\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=2a+b\text{Tr}(\omega)$。当$d\equiv2,3\mod4$时，$\text{Tr}(\omega)=0$，故$\text{Tr}(\alpha)=2a$；当$d\equiv1\mod4$时，$\text{Tr}(\omega)=1$，故$\text{Tr}(\alpha)=2a+b$。当$H(\alpha)=\max(|a|,|b|)\rightarrow\infty$时，$\text{Tr}(\alpha)$可以取任意大的整数，且在整数中均匀分布吗？事实上，对于二次域，迹的集合是$\mathbb{Z}$的一个子群，其指数有限。例如，当$d\equiv1\mod4$时，迹可以取所有整数；当$d\equiv2,3\mod4$时，迹只能取偶数，构成指数为2的子群。2.2迹的加性极限定理对于一般的代数数域$K/\mathbb{Q}$，次数为$n$，考虑$\mathcal{O}K$中元素$\alpha$，其高$H(\alpha)\rightarrow\infty$，则$\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$的绝对值满足：定理1：存在常数$C_1,C_2>0$，使得对于所有$\alpha\in\mathcal{O}K$，有$$C_1H(\alpha)\leq|\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)|\leqC_2H(\alpha)$$当且仅当$\alpha$在$K$中不是“小”元素（即$\alpha$的所有共轭根的绝对值都不太小）。更精确地，考虑$\alpha$的所有共轭根$\sigma_1(\alpha),\cdots,\sigma_n(\alpha)$，则$\text{Tr}(\alpha)=\sum_{i=1}^n\sigma_i(\alpha)$。根据代数数论中的结果，对于代数整数$\alpha$，其共轭根的绝对值的乘积等于范数的绝对值，即$\prod_{i=1}^n|\sigma_i(\alpha)|=|\text{Norm}(\alpha)|\geq1$（当$\alpha\neq0$时）。利用算术-几何均值不等式，有$$|\text{Tr}(\alpha)|\leqn\max_{1\leqi\leqn}|\sigma_i(\alpha)|$$而$\max|\sigma_i(\alpha)|\leqH(\alpha)$，故$|\text{Tr}(\alpha)|\leqnH(\alpha)$。另一方面，存在常数$C>0$，使得$\max|\sigma_i(\alpha)|\geqCH(\alpha)$，因此$|\text{Tr}(\alpha)|\geqC'H(\alpha)$，其中$C'$是依赖于$K$的常数。2.3迹的加性极限与类数的关系代数数域的类数$h_K$是$\mathcal{O}_K$的理想类群的阶，反映了$\mathcal{O}_K$偏离唯一分解整环的程度。迹的加性极限与类数之间存在深刻的联系。考虑$\mathcal{O}_K$中的主理想$(\alpha)$，其范数为$|\text{Norm}(\alpha)|$。根据类数的定义，每个理想类中存在范数不超过$Mh_K$的理想，其中$M$是依赖于$K$的常数（Minkowski界）。对于主理想$(\alpha)$，其范数$|\text{Norm}(\alpha)|$等于$\alpha$生成的理想的大小，而迹$\text{Tr}(\alpha)$与$\alpha$的共轭根之和相关。当$h_K=1$时，$\mathcal{O}_K$是唯一分解整环，此时对于任意大的范数，存在$\alpha\in\mathcal{O}_K$使得$\text{Norm}(\alpha)=N$，而迹$\text{Tr}(\alpha)$可以取到与$N^{1/n}$同阶的值。例如，在$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$中，类数$h_K=1$，$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[i]$是高斯整数环，唯一分解。对于$\alpha=a+bi$，$\text{Norm}(\alpha)=a^2+b^2$，$\text{Tr}(\alpha)=2a$。当$N=a^2+b^2\rightarrow\infty$时，$|a|\leq\sqrt{N}$，故$|\text{Tr}(\alpha)|\leq2\sqrt{N}$，而存在$\alpha$使得$a\approx\sqrt{N}$，此时$|\text{Tr}(\alpha)|\approx2\sqrt{N}$，即迹的阶为$N^{1/2}$，与范数的$1/n$次幂同阶（$n=2$）。2.4迹的加性极限在数论中的应用迹的加性极限在数论中有许多应用，例如在丢番图方程中。考虑方程$\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=m$，其中$m$是整数，$\alpha\in\mathcal{O}_K$。当$m$固定时，解$\alpha$的高$H(\alpha)$是否有界？根据定理1，当$H(\alpha)\rightarrow\infty$时，$|\text{Tr}(\alpha)|\rightarrow\infty$，因此对于固定的$m$，方程$\text{Tr}(\alpha)=m$只有有限个解$\alpha\in\mathcal{O}_K$。这是因为$\text{Tr}(\alpha)$是$\alpha$的线性函数，而$\mathcal{O}_K$作为$\mathbb{Z}$-模是有限生成的，其秩为$n$，因此线性方程$\text{Tr}(\alpha)=m$的解空间是一个余维数为1的子模，其元素的高必然有界。例如，在二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$中，$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$，$\text{Tr}(a+b\sqrt{2})=2a$。方程$\text{Tr}(\alpha)=m$即$2a=m$，故$a=m/2$，当$m$为偶数时，$a$是整数，$b$可以是任意整数？不，不对，因为$\alpha=a+b\sqrt{2}$是代数整数当且仅当$a,b\in\mathbb{Z}$，所以当$m$为偶数时，$a=m/2$必须是整数，即$m$为偶数，此时$b$可以是任意整数，但$\text{Tr}(\alpha)=2a=m$，与$b$无关。这说明之前的结论需要修正：当迹是线性函数时，解空间可能是无限的，因为迹只依赖于$\alpha$的部分坐标。哦，这里的问题在于，迹是$\alpha$的线性函数，但$\mathcal{O}_K$作为$\mathbb{Z}$-模的基中，有些元素的迹为0。例如在二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$中，基为${1,\sqrt{2}}$，$\text{Tr}(1)=2$，$\text{Tr}(\sqrt{2})=0$。因此，对于$\alpha=a+b\sqrt{2}$，$\text{Tr}(\alpha)=2a$，当$a$固定时，$b$可以取任意整数，此时$\alpha$的高$H(\alpha)=\max(|a|,|b|)$可以任意大，而迹固定为$2a$。这说明之前的定理1中的不等式当$\alpha$包含迹为0的分量时，下界不成立，因为当$b\rightarrow\infty$时，$H(\alpha)\rightarrow\infty$，但$\text{Tr}(\alpha)=2a$固定。因此，正确的结论应该是：当$\alpha$在$\mathcal{O}_K$中变化时，$\text{Tr}(\alpha)$可以取到无限多个值，且对于固定的迹值$t$，存在无限多个$\alpha\in\mathcal{O}_K$使得$\text{Tr}(\alpha)=t$，这些$\alpha$构成一个陪集，即$\alpha_0+\ker(\text{Tr})$，其中$\alpha_0$是一个特解，$\ker(\text{Tr})$是迹为0的元素构成的子模，其秩为$n-1$。2.5加性极限的推广：相对迹考虑代数数域的塔$L/K/\mathbb{Q}$，其中$[L:K]=m$，$[K:\mathbb{Q}]=n$，则$[L:\mathbb{Q}]=mn$。相对迹$\text{Tr}{L/K}(\alpha)$是$L$到$K$的迹，对于$\alpha\inL$，$\text{Tr}{L/K}(\alpha)\inK$。当$\alpha\in\mathcal{O}L$时，$\text{Tr}{L/K}(\alpha)\in\mathcal{O}K$。考虑$\alpha$的高$H(\alpha)\rightarrow\infty$时，$\text{Tr}{L/K}(\alpha)$在$K$中的高$H(\text{Tr}_{L/K}(\alpha))$的渐近行为。根据迹的传递性，$\text{Tr}{L/\mathbb{Q}}(\alpha)=\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\text{Tr}{L/K}(\alpha))$。因此，$\text{Tr}{L/K}(\alpha)$的迹（在$K/\mathbb{Q}$下）等于$\text{Tr}{L/\mathbb{Q}}(\alpha)$，其绝对值的阶为$H(\alpha)$（当$\alpha$的所有共轭根都不太小）。而$\text{Tr}{L/K}(\alpha)$在$K$中的高$H(\text{Tr}{L/K}(\alpha))$与$\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\text{Tr}_{L/K}(\alpha))$的绝对值有什么关系？在$K$中，元素$\beta$的高$H(\beta)$与其迹$\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\beta)$的绝对值满足$|\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\beta)|\leqnH(\beta)$，且存在常数$C>0$使得$H(\beta)\leqC|\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\beta)|$当且仅当$\beta$在$K$中不是“小”元素（即$\beta$的所有共轭根的绝对值都不太小）。因此，当$\alpha$在$L$中满足其所有共轭根的绝对值都不太小，即$H(\alpha)\approx\max|\sigma_i(\alpha)|$（$\sigma_i$是$L$到$\overline{\mathbb{Q}}$的嵌入），则$\text{Tr}{L/K}(\alpha)$的所有共轭根（在$K/\mathbb{Q}$下）的绝对值也不太小，此时$H(\text{Tr}{L/K}(\alpha))\approx|\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\text{Tr}{L/K}(\alpha))|=|\text{Tr}_{L/\mathbb{Q}}(\alpha)|\approxH(\alpha)$。例如，取$L=K(\sqrt{d})$，其中$K$是二次域，$d\inK$且在$K$中不是平方元，则$[L:K]=2$，$[L:\mathbb{Q}]=4$。对于$\alpha=a+b\sqrt{d}$，其中$a,b\inK$，$\text{Tr}{L/K}(\alpha)=2a$。$\text{Tr}{L/\mathbb{Q}}(\alpha)=\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(2a)=2\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(a)$。当$a$在$K$中的高$H(a)\rightarrow\infty$，且$b$的高$H(b)\leqCH(a)$（$C$是常数），则$H(\alpha)\approxH(a)$，而$\text{Tr}{L/K}(\alpha)=2a$的高$H(2a)=H(a)\approxH(\alpha)$，因此$H(\text{Tr}{L/K}(\alpha))\approxH(\alpha)$。三、乘性极限：范数的渐近行为3.1范数在整数环上的分布范数$\text{Norm}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$对于$\alpha\in\mathcal{O}_K$总是整数，因为代数整数的极小多项式是首一整系数多项式，范数是极小多项式的常数项的$(-1)^n$倍。对于$\alpha\in\mathcal{O}_K\setminus{0}$，$|\text{Norm}(\alpha)|\geq1$，因为范数是$\alpha$的所有共轭根的乘积，而代数整数的共轭根都是代数整数，其绝对值的乘积至少为1（当$\alpha$是单位根时等于1）。考虑范数的分布：对于正整数$N$，有多少个$\alpha\in\mathcal{O}_K$使得$|\text{Norm}(\alpha)|=N$？这个数量记为$r_K(N)$，称为范数表示的个数。在二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$中，当$d$是负整数时，$\mathcal{O}_K$中的单位只有有限个（单位根），因此$r_K(N)$是有限的；当$d$是正整数时，$\mathcal{O}_K$中有无限多个单位（由基本单位生成），因此$r_K(N)$是无限的，因为如果$\alpha$是一个解，那么$\alpha\epsilon$也是解，其中$\epsilon$是单位。3.2范数的乘性极限定理当$\alpha\in\mathcal{O}K$的高$H(\alpha)\rightarrow\infty$时，$|\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)|$的增长速度如何？定理2：存在常数$C_1,C_2>0$，使得对于所有$\alpha\in\mathcal{O}K\setminus{0}$，有$$C_1H(\alpha)^n\leq|\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\alpha)|\leqC_2H(\alpha)^n$$其中$n=[K:\mathbb{Q}]$。这个定理可以通过代数数的高的定义来证明。$\alpha$的高$H(\alpha)$是其极小多项式的系数的最大绝对值，而极小多项式的常数项的绝对值等于$|\text{Norm}(\alpha)|$（当$\alpha$是首一多项式的根时，其实对于代数整数$\alpha$，极小多项式是首一的，常数项是$(-1)^n\text{Norm}(\alpha)$）。根据多项式的根与系数的关系，常数项的绝对值不超过$n!\max(1,|\alpha_1|,\cdots,|\alpha_n|)^n$，其中$\alpha_i$是根，而高$H(\alpha)$与$\max(1,|\alpha_1|,\cdots,|\alpha_n|)$等价（相差一个常数因子）。另一方面，根据算术-几何均值不等式，$|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|\sigma_i(\alpha)|\leq\max|\sigma_i(\alpha)|\leqH(\alpha)$，故$|\text{Norm}(\alpha)|\leqH(\alpha)^n$。而反向不等式需要用到Minkowski定理，即存在常数$C>0$，使得对于非零代数整数$\alpha$，$H(\alpha)\leqC|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$，因此$|\text{Norm}(\alpha)|\geqC^{-n}H(\alpha)^n$。3.3范数的乘性极限与单位群代数数域$K$的单位群$\mathcal{O}_K^\times$是有限生成的Abel群，其秩为$r_1+r_2-1$，其中$r_1$是$K$到$\mathbb{R}$的嵌入个数，$r_2$是$K$到$\mathbb{C}$的复嵌入对的个数（因为复嵌入是成对出现的，$\sigma$和$\overline{\sigma}$）。单位$\epsilon\in\mathcal{O}_K^\times$的范数$\text{Norm}(\epsilon)=\pm1$，因为$\epsilon\epsilon'=1$（$\epsilon'$是$\epsilon$的逆），所以$\text{Norm}(\epsilon)\text{Norm}(\epsilon')=1$，而$\text{Norm}(\epsilon')=\text{Norm}(\epsilon)^{-1}$，故$|\text{Norm}(\epsilon)|=1$。当$\alpha\in\mathcal{O}_K$时，$\alpha\epsilon$的范数与$\alpha$的范数相同，因为$\text{Norm}(\alpha\epsilon)=\text{Norm}(\alpha)\text{Norm}(\epsilon)=\pm\text{Norm}(\alpha)$。因此，范数相同的元素构成$\mathcal{O}_K^\times$的陪集。考虑$\alpha$的高$H(\alpha)$与$\alpha\epsilon$的高$H(\alpha\epsilon)$的关系。对于单位$\epsilon$，$H(\epsilon)$是有限的，因为单位的极小多项式是分圆多项式的因子，系数都是整数且有界。因此，$H(\alpha\epsilon)\leqH(\alpha)H(\epsilon)$，且$H(\alpha)\leqH(\alpha\epsilon)H(\epsilon^{-1})=H(\alpha\epsilon)H(\epsilon)$（因为$H(\epsilon^{-1})=H(\epsilon)$，因为$\epsilon^{-1}$的极小多项式是$\epsilon$的极小多项式的逆多项式，系数相同）。因此，$H(\alpha\epsilon)$与$H(\alpha)$相差一个有界的因子，即$H(\alpha\epsilon)\asympH(\alpha)$。因此，当考虑范数固定为$N$的元素$\alpha$时，它们的高$H(\alpha)$的下确界记为$m_K(N)$，则$m_K(N)\asympN^{1/n}$，因为根据定理2，$H(\alpha)\asymp|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}=N^{1/n}$。3.4范数的乘性极限与理想类群理想类群$Cl(K)$是$\mathcal{O}_K$的理想类构成的有限Abel群，其阶为类数$h_K$。每个理想类$C$中存在一个理想$\mathfrak{a}$，其范数$N(\mathfrak{a})\leqMh_K$，其中$M$是Minkowski界，即$M=\left(\frac{4}{\pi}\right)^{r_2}\frac{n!}{n^n}\sqrt{|\Delta_K|}$，其中$\Delta_K$是$K$的判别式。对于主理想$(\alpha)$，其范数$N((\alpha))=|\text{Norm}(\alpha)|$。因此，每个理想类$C$中存在主理想$(\alpha)$使得$|\text{Norm}(\alpha)|\leqMh_K$吗？不，理想类中的理想的范数可以是任意大的，但每个理想类中存在范数不超过Minkowski界的理想，这个理想可能不是主理想，但在类群中，主理想构成一个子群，其指数为$h_K$。考虑范数$N\rightarrow\infty$时，有多少个理想类$C$使得存在$\alpha\in\mathcal{O}_K$，$\alpha$生成的理想$(\alpha)$属于$C$，且$|\text{Norm}(\alpha)|=N$？这个数量与类数$h_K$有关，当$N$足够大时，每个理想类中都存在这样的$\alpha$，因为理想类群是有限的，而范数可以取任意大的值（因为$\mathcal{O}_K$是无限的）。更精确地，根据Dirichlet单位定理和类群的有限性，对于每个理想类$C$，存在常数$C_C>0$，使得当$N>C_C$时，存在$\alpha\in\mathcal{O}_K$，$(\alpha)\inC$，且$|\text{Norm}(\alpha)|=N$。3.5乘性极限的推广：相对范数考虑代数数域的塔$L/K/\mathbb{Q}$，相对范数$\text{Norm}_{L/K}(\alpha)$对于$\alpha\inL$是$K$中的元素。当$\alpha\in\mathcal{O}L$时，$\text{Norm}{L/K}(\alpha)\in\mathcal{O}_K$。当$H(\alpha)\rightarrow\infty$时，$\text{Norm}{L/K}(\alpha)$在$K$中的范数$\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\text{Norm}{L/K}(\alpha))=\text{Norm}{L/\mathbb{Q}}(\alpha)$，其绝对值的阶为$H(\alpha)^{mn}$（其中$[L:\mathbb{Q}]=mn$）。而$\text{Norm}{L/K}(\alpha)$在$K$中的范数是其在$K$中的范数，即$\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\text{Norm}{L/K}(\alpha))=|\text{Norm}{L/K}(\alpha)|K^n$？不，不对，$\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\beta)$是$\beta\inK$的绝对范数，而$\beta$在$K$中的范数其实就是$\beta$本身（当考虑$K/K$的范数时），但这里$\text{Norm}{L/K}(\alpha)\inK$，其绝对范数是$\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\text{Norm}{L/K}(\alpha))=\text{Norm}{L/\mathbb{Q}}(\alpha)$，根据范数的传递性。$\text{Norm}{L/K}(\alpha)$在$K$中的高$H(\text{Norm}{L/K}(\alpha))$与$\text{Norm}{L/\mathbb{Q}}(\alpha)$的关系如何？根据定理2，对于$\beta\in\mathcal{O}K$，$|\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\beta)|\asympH(\beta)^n$，因此$H(\text{Norm}{L/K}(\alpha))\asymp|\text{Norm}{K/\mathbb{Q}}(\text{Norm}{L/K}(\alpha))|^{1/n}=|\text{Norm}_{L/\mathbb{Q}}(\alpha)|^{1/n}\asymp(H(\alpha)^{mn})^{1/n}=H(\alpha)^m$，其中$m=[L:K]$。另一方面，$\text{Norm}{L/K}(\alpha)$是$\alpha$在$L/K$下的范数，即$\alpha$的所有$K$-嵌入的乘积，共有$m$个嵌入，因此$\text{Norm}{L/K}(\alpha)$的高$H(\text{Norm}{L/K}(\alpha))$与$\alpha$的高$H(\alpha)$的关系是$H(\text{Norm}{L/K}(\alpha))\leqCH(\alpha)^m$，其中$C$是常数，而根据上面的推导，当$\alpha$的所有共轭根都不太小，$H(\text{Norm}_{L/K}(\alpha))\asympH(\alpha)^m$，因此等号成立（相差常数因子）。四、加性与乘性极限的联系4.1迹与范数的不等式对于$\alpha\inK$，迹和范数之间存在一些不等式，例如：Cauchy-Schwarz不等式：$|\text{Tr}(\alpha)|^2\leqn\text{Tr}(|\alpha|^2)$，其中$|\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha}$（当$K$是复数域的子域时），但更一般地，对于嵌入$\sigma_1,\cdots,\sigma_n$，有$$|\text{Tr}(\alpha)|^2=\left|\sum_{i=1}^n\sigma_i(\alpha)\right|^2\leqn\sum_{i=1}^n|\sigma_i(\alpha)|^2$$而$\sum_{i=1}^n|\sigma_i(\alpha)|^2=\text{Tr}{K/\mathbb{Q}}(\alpha\alpha')$，其中$\alpha'$是$\alpha$的共轭（在Galois群下），但其实对于一般的$\alpha$，$\sum{i=1}^n|\sigma_i(\alpha)|^2=\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha\overline{\alpha})$当$K$是Galois扩域且包含在$\mathbb{C}$中时，$\overline{\sigma_i(\alpha)}=\sigma_j(\alpha)$对于某个$j$，取决于$\sigma_i$是实嵌入还是复嵌入。算术-几何均值不等式：$|\text{Tr}(\alpha)|\leqn|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$，因为$|\sigma_1(\alpha)+\cdots+\sigma_n(\alpha)|\leqn\max|\sigma_i(\alpha)|$，而$|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}\leq\max|\sigma_i(\alpha)|$，所以$|\text{Tr}(\alpha)|\leqn|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$，当且仅当所有$|\sigma_i(\alpha)|$相等时等号成立（即$\alpha$是单位根乘以一个实数，当$K$是Galois扩域时）。4.2加性与乘性极限的渐近关系当$\alpha\in\mathcal{O}_K$的高$H(\alpha)\rightarrow\infty$时，迹的绝对值$|\text{Tr}(\alpha)|$和范数的绝对值$|\text{Norm}(\alpha)|$的渐近关系如何？根据定理1和定理2，$|\text{Tr}(\alpha)|\asympH(\alpha)$，$|\text{Norm}(\alpha)|\asympH(\alpha)^n$，因此$|\text{Tr}(\alpha)|^n\asymp|\text{Norm}(\alpha)|$，当且仅当$\alpha$的所有共轭根的绝对值都相等，即$\alpha$是一个“均匀”的元素，其所有共轭根的绝对值相同。例如，在分圆域$K=\mathbb{Q}(\zeta_m)$中，其中$\zeta_m$是$m$次单位根，对于$\alpha=\zeta_m^k$，$\text{Tr}(\alpha)$是分圆多项式的系数，而$\text{Norm}(\alpha)=1$（因为$\alpha$是单位根），此时$|\text{Tr}(\alpha)|$是有界的，而$|\text{Norm}(\alpha)|=1$，不满足$|\text{Tr}(\alpha)|^n\asymp|\text{Norm}(\alpha)|$，因为$\alpha$的所有共轭根的绝对值都是1，所以$H(\alpha)=1$（因为$\alpha$的极小多项式是分圆多项式，系数都是整数，且高为1），所以$H(\alpha)$不趋向于无穷，因此不满足定理1和定理2中的渐近条件。当$\alpha$是一个“大”元素，即$H(\alpha)\rightarrow\infty$，且所有共轭根的绝对值都趋向于无穷（即没有共轭根趋向于0或有界），此时$|\sigma_i(\alpha)|\asympH(\alpha)$对于所有$i$，因此$\text{Tr}(\alpha)=\sum\sigma_i(\alpha)\asympnH(\alpha)$，$\text{Norm}(\alpha)=\prod\sigma_i(\alpha)\asympH(\alpha)^n$，因此$|\text{Tr}(\alpha)|^n\asympn^nH(\alpha)^n\asympn^n|\text{Norm}(\alpha)|$，即$|\text{Tr}(\alpha)|^n\asymp|\text{Norm}(\alpha)|$（相差一个常数因子$n^n$）。4.3单位与加性乘性极限单位$\epsilon\in\mathcal{O}_K^\times$的范数$\text{Norm}(\epsilon)=\pm1$，迹$\text{Tr}(\epsilon)$是整数，其绝对值有界吗？在实二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$（$d>0$，无平方因子）中，单位群是无限循环群，由基本单位$\epsilon_0$生成，$\epsilon_0=a+b\sqrt{d}$，其中$a,b$是正整数，满足Pell方程$a^2-db^2=\pm1$。$\text{Tr}(\epsilon_0)=2a$，当$d>1$时，$a\geq1$，且$\epsilon_0^k=a_k+b_k\sqrt{d}$，其中$a_k$满足递推关系$a_{k+1}=a_0a_k+db_0b_k$，$b_{k+1}=a_0b_k+b_0a_k$，因此$a_k$指数增长，$\text{Tr}(\epsilon_0^k)=2a_k\rightarrow\infty$当$k\rightarrow\infty$。因此，单位的迹可以趋向于无穷，而范数始终为$\pm1$。这说明当$\alpha$是单位的幂次时，$H(\alpha)\rightarrow\infty$（因为$a_k$指数增长），但$|\text{Norm}(\alpha)|=1$，不满足定理2中的$|\text{Norm}(\alpha)|\asympH(\alpha)^n$，因为单位的共轭根的绝对值的乘积为1，所以当一些共轭根的绝对值大于1时，另一些共轭根的绝对值小于1（在实二次域中，两个嵌入是$\sigma_1(\epsilon)=\epsilon$，$\sigma_2(\epsilon)=\epsilon'=1/\epsilon$，所以$|\sigma_1(\epsilon)|=|\epsilon|>1$，$|\sigma_2(\epsilon)|=1/|\epsilon|<1$，因此$\max|\sigma_i(\epsilon)|=|\epsilon|$，而$\text{Norm}(\epsilon)=\sigma_1(\epsilon)\sigma_2(\epsilon)=1$，所以$|\text{Norm}(\epsilon)|=1$，而$H(\epsilon)\asymp|\epsilon|$，因此$|\text{Norm}(\epsilon)|=1\llH(\epsilon)^2$，这说明定理2中的下界当$\alpha$有共轭根的绝对值小于1时不成立，因为定理2中的下界是对于所有非零代数整数，但实际上当$\alpha$有共轭根趋向于0时，$|\text{Norm}(\alpha)|$可以很小，即使$H(\alpha)$很大。哦，原来定理2中的正确结论应该是：对于$\alpha\in\mathcal{O}_K\setminus{0}$，$|\text{Norm}(\alpha)|\geq1$，而$H(\alpha)\leqC|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$当且仅当$\alpha$是“非单位”的，即$\alpha$不是单位乘以一个有界元素？不，正确的Minkowski定理是：对于非零理想$\mathfrak{a}\subset\mathcal{O}_K$，存在$\alpha\in\mathfrak{a}\setminus{0}$，使得$H(\alpha)\leqCN(\mathfrak{a})^{1/n}$，其中$C$是依赖于$K$的常数。对于主理想$\mathfrak{a}=(\alpha)$，$N(\mathfrak{a})=|\text{Norm}(\alpha)|$，因此存在$\beta\in(\alpha)\setminus{0}$，即$\beta=\alpha\gamma$，$\gamma\in\mathcal{O}_K$，使得$H(\beta)\leqC|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$。但$\alpha$本身的高$H(\alpha)$可以很大，即使$|\text{Norm}(\alpha)|$很小，例如单位$\epsilon$，$|\text{Norm}(\epsilon)|=1$，但$H(\epsilon)$可以很大（在实二次域中）。因此，定理2中的不等式应该是：对于$\alpha\in\mathcal{O}_K\setminus{0}$，$|\text{Norm}(\alpha)|\geq1$，且$H(\alpha)\leqC|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$当且仅当$\alpha$在$\mathcal{O}_K$中是“本原”的，即$\alpha$不能被任何范数大于1的元素整除？不，正确的结论是，对于任意$\alpha\in\mathcal{O}_K\setminus{0}$，存在单位$\epsilon\in\mathcal{O}_K^\times$，使得$H(\alpha\epsilon)\leqC|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$，其中$C$是常数。这是因为在理想类$[(\alpha)]$中，存在一个理想$\mathfrak{a}$，其范数$N(\mathfrak{a})\leqMh_K$（Minkowski界），而$(\alpha)=\mathfrak{a}\mathfrak{b}$，其中$\mathfrak{b}$是主理想，由$\beta$生成，$N(\mathfrak{b})=|\text{Norm}(\beta)|$，因此$|\text{Norm}(\alpha)|=N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b})\leqMh_K|\text{Norm}(\beta)|$，所以$|\text{Norm}(\beta)|\geq|\text{Norm}(\alpha)|/(Mh_K)$。但$\alpha=\gamma\beta$，其中$\gamma\in\mathfrak{a}$，$H(\gamma)\leqCN(\mathfrak{a})^{1/n}\leqC(Mh_K)^{1/n}$，因此$H(\alpha)=H(\gamma\beta)\leqH(\gamma)H(\beta)\leqC(Mh_K)^{1/n}H(\beta)$，而根据Minkowski定理，$H(\beta)\leqC'|\text{Norm}(\beta)|^{1/n}\leqC'(Mh_K)^{1/n}|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$，所以$H(\alpha)\leqC''|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$，其中$C''$是常数。这说明对于任意$\alpha\in\mathcal{O}_K\setminus{0}$，存在单位$\epsilon$，使得$H(\alpha\epsilon)\leqC|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$，即$\alpha$乘以一个单位后，高被范数的$1/n$次幂控制。而反向不等式$|\text{Norm}(\alpha)|\leqCH(\alpha)^n$总是成立，因为$\text{Norm}(\alpha)$是$\alpha$的极小多项式的常数项，其绝对值不超过$n!H(\alpha)^n$（因为极小多项式的次数为$n$，系数的绝对值不超过$H(\alpha)$，所以常数项的绝对值不超过$\binom{n}{0}H(\alpha)^0+\binom{n}{1}H(\alpha)^1+\cdots+\binom{n}{n}H(\alpha)^n$？不，不对，极小多项式是首一的，次数为$n$，设为$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$，其中$|a_i|\leqH(\alpha)$，则$\text{Norm}(\alpha)=(-1)^na_0$，所以$|\text{Norm}(\alpha)|=|a_0|\leqH(\alpha)$？这显然不对，因为在二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$中，$\alpha=1+\sqrt{2}$，其极小多项式是$x^2-2x-1$，$H(\alpha)=\max(1,2,1)=2$，$\text{Norm}(\alpha)=-1$，$|\text{Norm}(\alpha)|=1\leq2$，但$\alpha^2=3+2\sqrt{2}$，极小多项式是$x^2-6x+1$，$H(\alpha^2)=\max(1,6,1)=6$，$\text{Norm}(\alpha^2)=1\leq6$，而$H(\alpha^2)=6$，$H(\alpha)^2=4$，$6>4$，所以$|\text{Norm}(\alpha^2)|=1\leqH(\alpha^2)=6$，但$H(\alpha^2)>H(\alpha)^2$，这说明$H(\alpha^k)$不一定是$H(\alpha)^k$，而是可能更大，因为极小多项式的系数是$\alpha^k$的初等对称函数，可能增长得更快。哦，原来高的定义是$\alpha$的极小多项式的系数的最大绝对值，对于$\alpha^k$，其极小多项式是$\alpha$的极小多项式的$k$次迭代吗？不，不是，$\alpha^k$的极小多项式是满足$f(\alpha^k)=0$的首一不可约多项式，其次数整除$n$（当$K$是Galois扩域时，次数为$n/\gcd(k,n)$）。例如，在$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$中，$\alpha=1+\sqrt{2}$的极小多项式是$x^2-2x-1$，$\alpha^2=3+2\sqrt{2}$的极小多项式是$x^2-6x+1$，其系数的最大绝对值是6，而$H(\alpha)=2$，$H(\alpha)^2=4$，$6>4$，所以$H(\alpha^2)>H(\alpha)^2$，这说明高的乘积性质不成立，即$H(\alpha\beta)\leqH(\alpha)H(\beta)$，但$H(\alpha^k)\leqH(\alpha)^k$不成立，因为$\alpha^k$的极小多项式的系数是$\alpha$的幂次的初等对称函数，可能比$H(\alpha)^k$大。因此，定理2中的正确不等式应该是：对于$\alpha\in\mathcal{O}_K\setminus{0}$，$|\text{Norm}(\alpha)|\leqCH(\alpha)^n$，其中$C$是依赖于$K$的常数，而反向不等式是：存在单位$\epsilon\in\mathcal{O}_K^\times$，使得$H(\alpha\epsilon)\leqC'|\text{Norm}(\alpha)|^{1/n}$，其中$C'$是常数。这说明当考虑单位等价类时，高的$n$次幂与范数的绝对值是渐近等价的（相差常数因子）。4.4加性与乘性极限在Galois扩域中的特殊情况当$K/\mathbb{Q}$是Galois扩域时，Galois群$G=\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$是$n$阶群，对于$\alpha\inK$，$\text{Tr}(\alpha)=\sum_{\sigma\inG}\sigma(\alpha)$，$\text{Norm}(\alpha)=\prod_{\sigma\inG}\sigma(\alpha)$。在Galois扩域中，迹和范数具有更好的对称性，因为Galois群作用在嵌入上是传递的。例如，对于$\alpha\inK$，所有共轭根$\sigma(\alpha)$（$\sigma\inG$）都是$\alpha$在Galois群下的像，因此它们的绝对值的集合是Galois群作用下的不变集。当$K$是Abel扩域时，Galois群是Abel群，此时迹和范数的性质更加简单。例如，在分圆域$K=\mathbb{Q}(\zeta_m)$中，Galois群同构于$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$，对于$\alpha=\zeta_m^k$，$\text{Tr}(\alpha)$是分圆多项式的系数，$\text{Norm}(\alpha)=1$（当$k$与$m$互质时），而当$\alpha$是整数线性组合$\sum_{k=0}^{m-1}a_k\zeta_m^k$，其中$a_k\in\mathbb{Z}$，$\text{Tr}(\alpha)=ma_0$（因为$\text{Tr}(\zeta_m^k)=0$当$k$不被$m$整除，$\text{Tr}(1)=m$），$\text{Norm}(\alpha)=\prod_{d|m}\Phi_d(\alpha)^{φ(m)/φ(d)}$，其中$\Phi_d(x)$是分圆多项式，这可能很复杂，但当$\alpha$的高趋向于无穷时，$\text{Norm}(\alpha)$的绝对值趋向于无穷，因为$\alpha$不是单位根（当高趋向于无穷时，$\alpha$的极小多项式的次数至少为1，且常数项的绝对值至少为1，但实际上当$\alpha$是整数线性组合时，$\text{Norm}(\alpha)$是整数，其绝对值可以很大）。在Galois扩域中，当$\alpha$是正规元（即${\sigma(\alpha)|\sigma\inG}$构成$K$在$\mathbb{Q}$上的基），此时$\text{Tr}(\alpha\sigma(\alpha))=0$当$\sigma\neq1$，$\text{Tr}(\alpha^2)=\sum_{\sigma\inG}|\sigma(\alpha)|^2$（当$K\subset\mathbb{C}$时），而$\text{Norm}(\alpha)=\prod_{\sigma\inG}\sigma(\alpha)$，此时$|\text{Tr}(\alpha)|^2=\left|\sum_{\sigma\inG}\sigma(\alpha)\right|^2=\sum_{\sigma\inG}|\sigma(\alpha)|^2+2\sum_{1\leqi<j\leqn}\text{Re}(\sigma_i(\alpha)\overline{\sigma_j(\alpha)})$，当$\alpha$的共轭根都是实数且符号相同（例如$K$是实Galois扩域，$\alpha$是正实数，所有共轭根都是正实数），则$\text{Re}(\sigma_i(\alpha)\overline{\sigma_j(\alpha)})=\sigma_i(\alpha)\sigma_j(\alpha)>0$，因此$|\text{Tr}(\alpha)|^2>n|\text{Norm}(\alpha)|^{2/n}$（因为$\sum|\sigma_i(\alpha)|^2\geqn|\text{Norm}(\alpha)|^{2/n}$由柯西不等式，当且仅当所有$|\sigma_i(\alpha)|$相等时等号成立）。五、极限的进一步推广：Siegel模形式与自守L函数5.1Siegel模形式与范数的乘性极限Siegel模形式是定义在Siegel上半平面上的自守形式，与二次型和数论中的表示论有关。对于代数数域$K$，其对应的Siegel模形式可以用来研究范数的乘性极限，例如范数的分布函数：$$F(X)=#{\alpha\in\mathcal{O}_K:|\text{Norm}(\alpha)|\leqX}$$当$X\rightarrow\infty$时，$F(X)$的渐近行为是什么？在二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$中，当$d<0$时，$\mathcal{O}_K$是紧的（作为拓扑空间）吗？不，$\mathcal{O}_K$是无限生成的$\mathbb{Z}$-模，其秩为2，因此作为拓扑空间，$\mathcal{O}_K$同构于$\mathbb{Z}^2$，是离散的，因此$F(X)$是有限的，其渐近行为是$F(X)\simCX$，其中$C$是依赖于$K$的常数，称为Siegel常数，等于$\frac{2\pih_K}{w\sqrt{|\Delta_K|}}$，其中$w$是单位根的个数，$\Delta_K$是判别式。当$d>0$时，$\mathcal{O}_K$中有无限多个单位，因此$F(X)$是无限的，因为如果$\alpha$是一个解，那么$\alpha\epsilon^k$也是解，其中$\epsilon$是基本单位，$k\in\mathbb{Z}$。此时，考虑主理想的范数，即$N((\alpha))=|\text{Norm}(\alpha)|$，主理想的个数$G(X)=#{(\alpha)\subset\mathcal{O}_K:N((\alpha))\leqX}$，其渐近行为是$G(X)\simCX$，其中$C$是$\frac{h_K}{w\sqrt{|\Delta_K|}}$（当$d>0$时，$w=2$，因为单位根只有$\pm1$）。对于一般的代数数域$K$，主理想的个数的渐近行为是$G(X)\simCX$，其中$C=\frac{h_KR_K}{w\sqrt{|\Delta_K|}}$，$R_K$是regulator，即单位群的体积（在对数嵌入下）。5.2自守L函数与迹的加性极限自守L函数是数论中的重要函数，与Galois表示和自守形式有关。对于代数数域$K$，其Dedekindzeta函数$\zeta_K(s)=\sum_{\mathfrak{a}\subset\mathcal{O}_K}N(\mathfrak{a})^{-s}$，其中$\mathfrak{a}$是非零理想，$\text{Re}(s)>1$。Dedekindzeta函数可以分解为Euler乘积：$\zeta_K(s)=\prod_{\mathfrak{p}}(1-N(\mathfrak{p})^{-s})^{-1}$，其中$\mathfrak{p}$是$\mathcal{O}_K$中的素理想。迹的加性极限与Dedekindzeta函数的导数有关，例如，考虑$\sum_{\alpha\in\mathcal{O}_K,\alpha\neq0}\frac{1}{|\text{Tr}(\alpha)|^s}$，这个级数的收敛性和解析延拓如何？当$s>n$时，级数收敛，因为$|\text{Tr}(\alpha)|\asympH(\alpha)$，而$\mathcal{O}K$中高不超过$H$的元素个数是$O(H^n)$，因此$\sum{H=1}^\infty\frac{O(H^n)}{H^s}=\sum_{H=1}^\inftyO(H^{n-s})$，当$s>n+1$时收敛？不，不对，$\mathcal{O}K$中高不超过$H$的元素个数是$O(H^n)$，因为$\mathcal{O}K$同构于$\mathbb{Z}^n$作为$\mathbb{Z}$-模，而高是$\mathbb{Z}^n$上的一个范数，因此高不超过$H$的元素个数是$O(H^n)$。而$|\text{Tr}(\alpha)|\asympH(\alpha)$当$\alpha$不在迹为0的子模中，但迹为0的子模的秩为$n-1$，其中高不超过$H$的元素个数是$