对数函数除以多项式的极限商规则

对数函数除以多项式的极限商规则在微积分的极限运算领域，对数函数与多项式的商式极限是一类具有典型性和挑战性的问题。这类问题不仅考验着学习者对极限基本概念的理解，更要求熟练掌握各类极限运算技巧以及不同函数之间的增长特性差异。对数函数除以多项式的极限商规则，正是解决这类问题的关键钥匙，它能够帮助我们在复杂的函数表达式中快速找到极限的趋势，精准计算出极限值。一、对数函数与多项式的基本特性（一）对数函数的增长特性对数函数，通常以自然对数函数(\lnx)为代表，其增长速度是极其缓慢的。从函数图像来看，当(x)趋向于正无穷时，(\lnx)的图像始终呈现上升趋势，但上升的幅度却越来越小。我们可以通过具体的数值来感受这一点，当(x=10)时，(\ln10\approx2.302)；当(x=100)时，(\ln100=2\ln10\approx4.605)；当(x=1000)时，(\ln1000=3\ln10\approx6.908)。可以明显看到，(x)从10增加到100，增长了10倍，而(\lnx)只增加了约2.303；(x)从100增加到1000，同样增长了10倍，(\lnx)也只增加了约2.303。这种增长速度远远慢于多项式函数。从数学定义的角度，对数函数的导数为(\frac{1}{x})，当(x)趋向于正无穷时，导数趋向于0，这也从理论上说明了对数函数增长速度的减缓趋势。（二）多项式的增长特性多项式函数的一般形式为(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)（(a_n\neq0)，(n)为非负整数），其中(n)被称为多项式的次数。当(n\geq1)时，多项式函数的增长速度随着(x)趋向于正无穷而急剧加快。例如，一次多项式(y=x)，当(x)从10增加到100时，(y)从10增加到100，增长了90；二次多项式(y=x^2)，当(x)从10增加到100时，(y)从100增加到10000，增长了9900；三次多项式(y=x^3)，当(x)从10增加到100时，(y)从1000增加到1000000，增长了999000。多项式函数的导数为(P^\prime(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1)，当(x)趋向于正无穷时，导数也趋向于正无穷（当(n\geq1)时），这表明多项式函数的增长速度越来越快。（三）两者增长速度的对比通过对比对数函数和多项式函数的增长速度，我们可以清晰地看到，当(x)趋向于正无穷时，多项式函数的增长速度远远快于对数函数。这种增长速度的差异是对数函数除以多项式的极限商规则的核心基础。我们可以用极限的形式来表达这种差异，对于任意正整数(n)，都有(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{x^n}=0)。这意味着，无论多项式的次数(n)有多大，当(x)足够大时，对数函数(\lnx)相对于多项式(x^n)来说，都可以忽略不计。二、对数函数除以多项式的极限商规则的基本形式（一）(x)趋向于正无穷时的极限当(x)趋向于正无穷时，对于对数函数(\lnx)和多项式(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)（(a_n\neq0)，(n\geq1)），它们的商的极限为：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{P(x)}=0)我们可以通过洛必达法则来证明这个结论。洛必达法则指出，当(\lim_{x\rightarrowa}\frac{f(x)}{g(x)})为(\frac{0}{0})型或(\frac{\infty}{\infty})型时，如果(\lim_{x\rightarrowa}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)})存在或为无穷大，那么(\lim_{x\rightarrowa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrowa}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)})。对于(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{P(x)})，当(x\rightarrow+\infty)时，(\lnx\rightarrow+\infty)，(P(x)\rightarrow+\infty)（因为(a_n>0)，(n\geq1)），属于(\frac{\infty}{\infty})型。对分子分母分别求导，((\lnx)^\prime=\frac{1}{x})，(P^\prime(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1)。则：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{na_nx^n+(n-1)a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x})当(x\rightarrow+\infty)时，分母趋向于正无穷，所以整个极限的值为0，从而证明了(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{P(x)}=0)。（二）(x)趋向于0+时的极限当(x)趋向于0+时，对数函数(\lnx)趋向于负无穷，而多项式(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)（(a_0\neq0)）趋向于(a_0)（常数）。此时，对数函数除以多项式的极限为：(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{P(x)}=-\infty)（当(a_0>0)时）(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{P(x)}=+\infty)（当(a_0<0)时）这是因为，当(x\rightarrow0+)时，(\lnx)趋向于负无穷，而(P(x))趋向于非零常数(a_0)。当(a_0>0)时，负无穷除以一个正数，结果为负无穷；当(a_0<0)时，负无穷除以一个负数，结果为正无穷。例如，对于(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{x+1})，当(x\rightarrow0+)时，(\lnx\rightarrow-\infty)，(x+1\rightarrow1)，所以(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{x+1}=-\infty)；对于(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{-x+2})，当(x\rightarrow0+)时，(\lnx\rightarrow-\infty)，(-x+2\rightarrow2)，所以(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{-x+2}=-\infty)（因为(-x+2>0)当(x<2)时，而(x\rightarrow0+)满足(x<2)）；对于(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{-x-1})，当(x\rightarrow0+)时，(\lnx\rightarrow-\infty)，(-x-1\rightarrow-1)，所以(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{-x-1}=+\infty)。三、对数函数除以多项式的极限商规则的拓展形式（一）底数不为(e)的对数函数在实际问题中，我们还会遇到底数不为(e)的对数函数，如(\log_ax)（(a>0)且(a\neq1)）。根据对数的换底公式，(\log_ax=\frac{\lnx}{\lna})，所以我们可以将底数不为(e)的对数函数转化为自然对数函数来处理。当(x)趋向于正无穷时，对于多项式(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)（(a_n\neq0)，(n\geq1)），有：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log_ax}{P(x)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{\lnx}{\lna}}{P(x)}=\frac{1}{\lna}\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{P(x)}=0)（因为(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{P(x)}=0)）当(x)趋向于0+时，同样有：(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\log_ax}{P(x)}=\frac{1}{\lna}\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{P(x)})当(a>1)时，(\lna>0)，所以(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\log_ax}{P(x)}=-\infty)（当(P(0)>0)时），(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\log_ax}{P(x)}=+\infty)（当(P(0)<0)时）；当(0<a<1)时，(\lna<0)，所以(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\log_ax}{P(x)}=+\infty)（当(P(0)>0)时），(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\log_ax}{P(x)}=-\infty)（当(P(0)<0)时）。例如，计算(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log_2x}{x^2+3x+2})，根据换底公式，(\log_2x=\frac{\lnx}{\ln2})，则：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log_2x}{x^2+3x+2}=\frac{1}{\ln2}\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{x^2+3x+2})由前面的结论可知(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{x^2+3x+2}=0)，所以(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log_2x}{x^2+3x+2}=0)。（二）多项式为分式形式有时候，我们会遇到对数函数除以分式形式的多项式，即(\frac{\lnx}{\frac{Q(x)}{R(x)}})，其中(Q(x))和(R(x))都是多项式函数。我们可以将其转化为(\frac{\lnx\cdotR(x)}{Q(x)})，然后再根据极限的运算法则进行计算。当(x)趋向于正无穷时，假设(Q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0)（(b_m\neq0)，(m\geq1)），(R(x)=c_kx^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0)（(c_k\neq0)，(k\geq0)），则：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx\cdotR(x)}{Q(x)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{Q(x)}\cdotR(x))因为(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{Q(x)}=0)，而(\lim_{x\rightarrow+\infty}R(x))当(k>0)时趋向于正无穷或负无穷（取决于(c_k)的符号），当(k=0)时趋向于(c_0)（常数）。当(k=0)时，(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx\cdotR(x)}{Q(x)}=c_0\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{Q(x)}=0)；当(k>0)时，(\frac{\lnx}{Q(x)})是无穷小量，(R(x))是无穷大量，它们的乘积是(0\cdot\infty)型的未定式，我们需要将其转化为(\frac{\infty}{\infty})型或(\frac{0}{0})型，再使用洛必达法则进行计算。例如，计算(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{\frac{x^2+1}{x+1}})，先将其转化为(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx(x+1)}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\lnx+\lnx}{x^2+1})，这是(\frac{\infty}{\infty})型的未定式，使用洛必达法则，对分子分母分别求导：分子的导数为(\lnx+1+\frac{1}{x})，分母的导数为(2x)，则：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx+1+\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{2x}+\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{2x}+\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{2x^2})由前面的结论可知(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{2x}=0)，(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{2x}=0)，(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{2x^2}=0)，所以(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{\frac{x^2+1}{x+1}}=0)。（三）对数函数带有系数和复合形式在一些复杂的问题中，对数函数可能带有系数，或者是复合函数的形式，如(k\ln(f(x)))（(k)为常数，(f(x))是多项式函数）。对于这种情况，我们可以根据极限的运算法则和复合函数的极限法则来进行处理。当(x)趋向于正无穷时，假设(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)（(a_n\neq0)，(n\geq1)），且(\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty)（当(a_n>0)时），则：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{k\ln(f(x))}{P(x)}=k\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln(f(x))}{P(x)})令(u=f(x))，当(x\rightarrow+\infty)时，(u\rightarrow+\infty)，则(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln(f(x))}{P(x)}=\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{\lnu}{P(f^{-1}(u))})（假设(f(x))存在反函数(f^{-1}(u))）。因为(f(x))是(n)次多项式，所以(f^{-1}(u))是(\frac{1}{n})次根式形式的函数，当(u\rightarrow+\infty)时，(P(f^{-1}(u)))是关于(u^{\frac{m}{n}})的多项式（其中(m)是(P(x))的次数），而(\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{\lnu}{u^{\frac{m}{n}}}=0)（因为(\frac{m}{n}>0)），所以(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln(f(x))}{P(x)}=0)，从而(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{k\ln(f(x))}{P(x)}=0)。例如，计算(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\ln(x^3+2x^2+x+1)}{x^2-5x+3})，令(u=x^3+2x^2+x+1)，当(x\rightarrow+\infty)时，(u\rightarrow+\infty)，则：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\ln(x^3+2x^2+x+1)}{x^2-5x+3}=2\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{\lnu}{(u-2x^2-x-1)^{\frac{2}{3}}})（这里只是一种直观的转化，实际计算中我们可以直接使用洛必达法则）对分子分母分别求导，分子的导数为(2\cdot\frac{3x^2+4x+1}{x^3+2x^2+x+1})，分母的导数为(2x-5)，则：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\cdot\frac{3x^2+4x+1}{x^3+2x^2+x+1}}{2x-5}=2\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3x^2+4x+1}{(x^3+2x^2+x+1)(2x-5)})将分子分母同时除以(x^4)，得到：(2\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^4}}{(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3})(2-\frac{5}{x})})当(x\rightarrow+\infty)时，分子趋向于0，分母趋向于((1+0+0+0)(2-0)=2)，所以(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\ln(x^3+2x^2+x+1)}{x^2-5x+3}=0)。四、对数函数除以多项式的极限商规则的应用场景（一）函数渐近线的确定在函数图像的绘制中，渐近线是一个重要的特征。对于分式函数(y=\frac{\lnx}{P(x)})（(P(x))是多项式函数），我们可以利用对数函数除以多项式的极限商规则来确定其水平渐近线和垂直渐近线。当(x)趋向于正无穷时，(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{P(x)}=0)，所以函数(y=\frac{\lnx}{P(x)})有水平渐近线(y=0)。当(x)趋向于0+时，(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{P(x)}=-\infty)（当(P(0)>0)时）或(+\infty)（当(P(0)<0)时），所以函数(y=\frac{\lnx}{P(x)})有垂直渐近线(x=0)。此外，如果多项式(P(x))存在实根(x=a)（(a>0)），即(P(a)=0)，那么当(x\rightarrowa)时，需要分情况讨论：当(x\rightarrowa^+)时，(\lnx\rightarrow\lna)（常数），(P(x)\rightarrow0)，如果(P(x))在(x=a)右侧附近的符号为正，则(\lim_{x\rightarrowa^+}\frac{\lnx}{P(x)}=+\infty)（当(\lna>0)即(a>1)时）或(-\infty)（当(\lna<0)即(0<a<1)时）；如果(P(x))在(x=a)右侧附近的符号为负，则(\lim_{x\rightarrowa^+}\frac{\lnx}{P(x)}=-\infty)（当(\lna>0)即(a>1)时）或(+\infty)（当(\lna<0)即(0<a<1)时）。当(x\rightarrowa^-)时，同样需要考虑(\lnx)的定义域（(x>0)）以及(P(x))在(x=a)左侧附近的符号。例如，对于函数(y=\frac{\lnx}{x^2-1})，(P(x)=x^2-1=(x-1)(x+1))，其零点为(x=1)和(x=-1)（(x=-1)不在定义域内）。当(x\rightarrow1^+)时，(\lnx\rightarrow0^+)，(x^2-1\rightarrow0^+)，所以(\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\lnx}{x^2-1})是(\frac{0}{0})型未定式，使用洛必达法则，(\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\frac{1}{2})；当(x\rightarrow1^-)时，(\lnx\rightarrow0^-)，(x^2-1\rightarrow0^-)，所以(\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\lnx}{x^2-1}=\frac{0^-}{0^-}=+\infty)？不，不对，当(x\rightarrow1^-)时，(x^2-1=(x-1)(x+1))，(x-1<0)，(x+1>0)，所以(x^2-1<0)，而(\lnx<0)当(0<x<1)时，所以(\frac{\lnx}{x^2-1}=\frac{负数}{负数}=正数)，且(\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\lnx}{x^2-1})是(\frac{0^-}{0^-})型，使用洛必达法则，(\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\frac{1}{2})。哦，原来如此，因为当(x\rightarrow1)时，(\lnx)和(x^2-1)都是趋向于0，所以是(\frac{0}{0})型未定式，需要用洛必达法则计算，而不是直接判断符号。（二）级数敛散性的判断在级数理论中，对数函数除以多项式的极限商规则可以帮助我们判断某些级数的敛散性。特别是对于正项级数，我们可以使用比较判别法或极限形式的比较判别法。对于正项级数(\sum_{n=1}^{\infty}u_n)，如果我们可以找到一个已知敛散性的正项级数(\sum_{n=1}^{\infty}v_n)，使得(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=L)（(0<L<+\infty)），那么级数(\sum_{n=1}^{\infty}u_n)和(\sum_{n=1}^{\infty}v_n)具有相同的敛散性。当(u_n=\frac{\lnn}{P(n)})（(P(n))是关于(n)的多项式，次数(m\geq2)）时，我们可以选择(v_n=\frac{1}{n^p})（(p>1)）作为比较级数，因为(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p})当(p>1)时收敛，当(p\leq1)时发散。计算(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{\lnn}{P(n)}}{\frac{1}{n^p}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^p\lnn}{P(n)})因为(P(n))是(m)次多项式，所以(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^p\lnn}{P(n)})当(p<m)时，(n^p)相对于(P(n))是低阶无穷大，而(\lnn)是比任何正幂次多项式都低阶的无穷大，所以(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^p\lnn}{P(n)}=0)；当(p=m)时，(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^m\lnn}{P(n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\lnn}{\frac{P(n)}{n^m}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\lnn}{a_m+\frac{a_{m-1}}{n}+\cdots+\frac{a_0}{n^m}}=+\infty)（因为(\lim_{n\rightarrow\infty}\lnn=+\infty)，分母趋向于(a_m\neq0)）；当(p>m)时，(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^p\lnn}{P(n)}=+\infty)。不过，我们通常选择(p)使得(1<p<m)，此时(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=0)，而(\sum_{n=1}^{\infty}v_n)收敛，根据比较判别法的极限形式，如果(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=0)且(\sum_{n=1}^{\infty}v_n)收敛，那么(\sum_{n=1}^{\infty}u_n)也收敛。例如，判断级数(\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\lnn}{n^2})的敛散性，选择(v_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}})，则：(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{\lnn}{n^2}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\lnn}{n^{\frac{1}{2}}})令(t=n^{\frac{1}{2}})，则(n=t^2)，当(n\rightarrow\infty)时，(t\rightarrow\infty)，则(\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{\lnt^2}{t}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{2\lnt}{t}=0)（使用洛必达法则，(\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{\frac{2}{t}}{1}=0)）。因为(\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}})收敛（(p=\frac{3}{2}>1)），所以(\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\lnn}{n^2})收敛。（三）复杂函数极限的计算在一些复杂的函数极限计算中，对数函数除以多项式的形式可能会作为其中的一部分出现。此时，我们需要综合运用各种极限运算法则和技巧，将复杂的极限问题分解为多个简单的极限问题，然后逐一解决。例如，计算(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x\lnx}{x^3+e^x})，这个极限看起来比较复杂，我们可以将其变形为(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{\frac{x^3}{e^x}+1})。首先计算(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^3}{e^x})，这是(\frac{\infty}{\infty})型未定式，使用洛必达法则：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^3}{e^x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3x^2}{e^x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{6x}{e^x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{6}{e^x}=0)所以(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^3}{e^x}+1=0+1=1)，而(\lim_{x\rightarrow+\infty}\lnx=+\infty)，因此(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{\frac{x^3}{e^x}+1}=+\infty)，即(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x\lnx}{x^3+e^x}=+\infty)。再例如，计算(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x\arctanx})，先分别分析分子和分母的极限：分子(\ln(1+x^2))，当(x\rightarrow+\infty)时，(1+x^2\rightarrow+\infty)，所以(\ln(1+x^2)\rightarrow+\infty)。分母(x\arctanx)，当(x\rightarrow+\infty)时，(x\rightarrow+\infty)，(\arctanx\rightarrow\frac{\pi}{2})，所以(x\arctanx\rightarrow+\infty)。这是(\frac{\infty}{\infty})型未定式，使用洛必达法则：分子的导数为(\frac{2x}{1+x^2})，分母的导数为(\arctanx+\frac{x}{1+x^2})，则：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{2x}{1+x^2}}{\arctanx+\frac{x}{1+x^2}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{(1+x^2)\arctanx+x})分子分母同时除以(x^2)：(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{2}{x}}{(1+\frac{1}{x^2})\arctanx+\frac{1}{x}})当(x\rightarrow+\infty)时，(\frac{2}{x}\rightarrow0)，((1+\frac{1}{x^2})\arctanx\rightarrow1\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2})，(\frac{1}{x}\rightarrow0)，所以(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{2}{x}}{(1+\frac{1}{x^2})\arctanx+\frac{1}{x}}=\frac{0}{\frac{\pi}{2}+0}=0)，即(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x\arctanx}=0)。五、对数函数除以多项式的极限商规则的常见误区与注意事项（一）忽略函数的定义域在处理对数函数除以多项式的极限问题时，首先要注意对数函数的定义域是(x>0)，所以在计算极限时，(x)的取值范围必须满足(x>0)。例如，当计算(\lim_{x\rightarrowa}\frac{\lnx}{P(x)})时，(a)必须大于0，否则对数函数(\lnx)在(x=a)处无定义。另外，当多项式(P(x))存在零点(x=a)（(a>0)）时，在(x\rightarrowa)的过程中，需要考虑(x)从左侧和右侧趋近于(a)时，对数函数(\lnx)是否有定义。当(0<a<1)时，(x\rightarrowa^-)意味着(x)小于(a)且趋近于(a)，此时(x>0)，(\lnx)有定义；当(a=1)时，(x\rightarrow1^-)时(x\in(0,1))，(\lnx)有定义；当(a>1)时，(x\rightarrowa^-)时(x\in(1,a))，(\lnx)也有定义。但如果(a\leq0)，则(x\rightarrowa)时，对数函数(\lnx)无定义，这种情况下极限不存在。（二）错误应用洛必达法则洛必达法则是计算未定式极限的重要工具，但在应用洛必达法则时，需要满足一定的条件：极限(\lim_{x\rightarrowa}\frac{f(x)}{g(x)})必须是(\frac{0}{0})型或(\frac{\infty}{\infty})型未定式。函数(f(x))和(g(x))在(a)的某去心邻域内可导，且(g^\prime(x)\neq0)。极限(\lim_{x\rightarrowa}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)})存在或为无穷大。在对数函数除以多项式的极限问题中，当(x\rightarrow+\infty)时，(\frac{\lnx}{P(x)})是(\frac{\infty}{\infty})型未定式，满足洛必达法则的第一个条件；对数函数和多项式函数在((0,+\infty))内都可导，且多项式函数的导数在(x)足够大时不为0（因为多项式函数的导数是次数降低一次的多项式，当(x)趋向于正无穷时，导数趋向于正无穷或负无穷，所以在某个足够大的区间内导数不为0），满足第二个条件；而(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(\lnx)^\prime}{P^\prime(x)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{P^\prime(x)}=0)，存在，满足第三个条件，所以可以应用洛必达法则。但在一些情况下，可能会错误地应用洛必达法则。例如，当(x\rightarrow0+)时，(\frac{\lnx}{P(x)})是(\frac{-\infty}{c})型（(c=P(0)\neq0)），不是未定式，此时不能应用洛必达法则，直接根据极限的运算法则计算即可。再例如，计算(\lim_{x\rightarrow1}\frac{\lnx}{x^2-1})，这是(\frac{0}{0})型未定式，可以应用洛必达法则，得到(\lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\frac{1}{2})。但如果错误地认为这不是未定式，直接代入计算，会得到(\frac{0}{0})，无法得出结果；或者在应用洛必达法则时，错误地计算导数，也会得到错误的结果。（三）混淆不同趋向过程的极限在对数函数除以多项式的极限问题中，(x)的趋向过程不同，极限的结果也会不同。常见的趋向过程有(x\rightarrow+\infty)、(x\rightarrow0+)、(x\rightarrowa)（(a>0)且(a\neq0)）等，我们需要根据不同的趋向过程选择合适的方法进行计算。例如，对于(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{x})，根据对数函数除以多项式的极限商规则，结果为0；而对于(\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\lnx}{x})，当(x\rightarrow0+)时，(\lnx\rightarrow-\infty)，(x\rightarrow0+)，这是(\frac{-\infty}{0^+})型，结果为(-\infty)。再例如，对于(\lim_{x\rightarrow1}\frac{\lnx}{x-1})，这是(\frac{0}{0})型未定式，使用洛必达法则可得(\lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{1}{x}}{1}=1)；而对于(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{x-1})，根据对数函数除以多项式的极限商规则，结果为0。（四）忽略多项式的首项系数符号在计算对数函数除以多项式的极限时，多项式的首项系数符号会影响极限的结果，特别是当(x)趋向于正无穷或负无穷时（不过对数函数的定义域是(x>0)，所以主要考虑(x)趋向于正无穷的情况）。当(x\rightarrow+\infty)时，多项式(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)（(a_n\neq0)，(n\geq1)）的符号由首项系数(a_n)决定，当(a_n>0)时，(P(x)\rightarrow+\infty)；当(a_n<0)时，(P(x)\rightarrow-\infty)。对于(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{P(x)})，当(a_n>0)时，(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{P(x)}=0)（因为分子趋向于正无穷，分母趋向于正无穷，且分母增长速度更快）；当(a_n<0)时，(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{P(x)}=0)（因为分子趋向于正无穷，分母趋向于负无穷，且分母的绝对值增长速度更快，所以商趋向于0）。虽然最终的极限值都是0，但在分析过程中，我们需要考虑首项系数的符号，特别是在一些更复杂的问题中，可能会影响到中间步骤的符号判断。例如，计算(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{-2x^3+5x^2-3x+1})，因为首项系数(-2<0)，当(x\rightarrow+\infty)时，(-2x^3+5x^2-3x+1\rightarrow-\infty)，而(\lnx\rightarrow+\infty)，所以(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{-2x^3+5x^2-3x+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{+\infty}{-\infty}=0)（因为分母的绝对值增长速度更快）。六、对数函数除以多项式的极限商规则的进一步推广（一）多变量函数的极限在多元微积分中，我们可以将对数函数除以多项式的极限商规则推广到多变量函数的情况。例如，对于二元函数(f(x,y)=\frac{\ln(x^2+y^2)}{x^2+y^2})，当((x,y)\rightarrow(+\infty,+\infty))时，令(r=\sqrt{x^2+y^2})，则当((x,y)\rightarrow(+\infty,+\infty))时，(r\rightarrow+\infty)，函数可以转化为(\frac{\lnr^2}{r^2}=\frac{2\lnr}{r^2})，根据对数函数除以多项式的极限商规则，(\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac{2\lnr}{r^2}=0)，所以(\lim_{(x,y)\rightarrow(+\infty,+\infty)}\frac{\ln(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=0)。再例如，对于二元函数(f(x,y)=\frac{\ln(1+x^4+y^4)}{x^2+y^2})，当((x,y)\rightarrow(+\infty,+\infty))时，令(u=x^4+y^4)，则(u\rightarrow+\infty)，(\ln(1+u)\sim\lnu)（当(u\rightarrow+\infty)时），而(x^2+y^2=\sqrt{(x^2+y^2)^2}=\sqrt{x^4+2x^2y^2+y^4}\leq\sqrt{2(x^4+y^4)}=\sqrt{2u})（根据均值不等式(x^2y^2\leq\frac{x^4+y^4}{2})），所以(\frac{\ln(1+x^4+y^4)}{x^2+y^2}\geq\frac{\lnu}{\sqrt{2u}})，而(\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{\lnu}{\sqrt{2u}}=0)；同时(\frac{\ln(1+x^4+y^4)}{x^2+y^2}\leq\frac{\ln(1+(x^2+y^2)^2)}{x^2+y^2})，令(t=x^2+y^2)，则(\frac{\ln(1+t^2)}{t})，当(t\rightarrow+\infty)时，(\frac{\ln(1+t^2)}{t}\sim\frac{2\lnt}{t})，(\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{2\lnt}{t}=0)，根据夹逼准则，(\lim_{(x,y)\rightarrow(+\infty,+\infty)}\frac{\ln(1+x^4+y^4)}{x^2+y^2}=0)。（二）广义积分的敛散性判断广义积分是指积分区间为无穷区间或被积函数在积分区间内有无穷间断点的积分。对数函数除以多项式的极限商规则可以帮助我们判断某些广义积分的敛散性。无穷区间的广义积分对于无穷区间([a,+\infty))上的广义积分(\int_{a}^{+\infty}\frac{\lnx}{P(x)}dx)（(a>0)，(P(x))是多项式函数，次数(m\geq2)），我们可以使用比较判别法来判断其敛散性。选择比较函数(g(x)=\frac{1}{x^p})（(1<p<m)），计算(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{\lnx}{P(x)}}{\frac{1}{x^p}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^p\lnx}{P(x)})因为(P(x))是(m)次多项式，所以(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^p\lnx}{P(x)}=0)（因为(p<m)，(x^p)相对于(P(x))是低阶无穷大，而(\lnx)是比任何正幂次多项式都低阶的无穷大）。而广义积分(\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx)当(p>1)时收敛，当(p\leq1)时发散。因为(1<p<m)，所以(\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx)收敛，根据比较判别法的极限形式，如果(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0)且(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx)收敛，那么(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx)也收敛。例如，判断广义积分(\int_{1}^{+\infty}\frac{\lnx}{x^2}dx)的敛散性，选择(g(x)=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})，则(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{\lnx}{x^2}}{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{x^{\frac{1}{2}}}=0)，而(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx)收敛（因为(p=\frac{3}{2}>1)），所以(\int_{1}^{+\infty}\frac{\lnx}{x^2}dx)收敛。我们还可以通过计算广义积分的具体值来验证，使用分部积分法：令(u=\lnx)，(dv=\frac{1}{x^2}dx)，则(du=\frac{1}{x}dx)，(v=-\frac{1}{x})(\int_{1}^{+\infty}\frac{\lnx}{x^2}dx=\lim_{b\rightarrow+\infty}\int_{1}^{b}\frac{\lnx}{x^2}dx=\lim_{b\rightarrow+\infty}\left[-\frac{\lnx}{x}\Big|{1}^{b}+\int{1}^{b}\frac{1}{x^2}dx\right])(=\lim_{b\rightarrow+\infty}\left[-\frac{\lnb}{b}+\frac{1}{x}\Big|{1}^{b}\right]=\lim{b\rightarrow+\infty}\left[-\frac{\lnb}{b}+\frac{1}{b}-1\right])因为(\lim_{b\rightarrow+\infty}\frac{\lnb}{b}=0)，(\lim_{b\rightarrow+\infty}\frac{1}{b}=0)，所以(\int_{1}^{+\infty}\frac{\lnx}{x^2}dx=1)，确实收敛。无界函数的广义积分对于无界函数的广义积分，即被积函数