高考数学考前训练专题五第5讲高端视角下的解析几何

大二轮专题复习专题五解析几何第5讲高端视角下的解析几何微点一极点与极线微点二二次曲线系方程微点三仿射变换专题强化练内容索引微点一极点与极线1.极点与极线的定义过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B两点，过A，B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线，点P叫做相应于此极线的极点，简称极.一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系如图(1)，若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线l与点P的切点弦重合，即相应的极线l是由点P向圆锥曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l与圆锥曲线有两个交点；如图(2)，若极点P在圆锥曲线内，则极线l是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，此时，极线l与圆锥曲线相离，它们无交点；如图(3)，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线l与在点P处的切线重合，即相应的极线l就是圆锥曲线在点P处的切线，极线l与圆锥曲线有唯一交点.

5.从几何角度看，如图，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH并延长，延长线交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线.因而将△MNP称为自极三角形.

√例1√√对于A，点P与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x0，y0)在圆C的外部，两切点分别为T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，两条切线的方程分别为xix+yiy=r2(i=1，2)，∵P(x0，y0)在切线上，∴x0x1+y0y1=r2，x0x2+y0y2=r2，∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直线x0x+y0y=r2上，由两点确定一条直线知直线T1T2的方程为x0x+y0y=r2，A正确；解析

解析

证明

证明命题视角

规律方法

规律方法(3)如图3，A，B为圆锥曲线Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上)，若A，B关于Γ调和共轭，过点B任作Γ的一条割线，交Γ于P，Q两点，则∠PAB=∠QAB.(4)如图4，已知点Q在圆锥曲线Γ的对称轴上，直线l垂直于该对称轴，过点Q作直线交Γ于点M，N，P为l上任意一点.若点Q与直线l是Γ的一对极点与极线，当对称轴是x轴时，kPM+kPN=2kPQ.规律方法

规律方法(6)如图6，设圆锥曲线Γ的一个焦点为F，与F相应的准线为l.若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M，N两点，则Γ在M，N两点处的切线的交点Q在准线l上，且FQ⊥MN；反之，若过准线l上一点Q作圆锥曲线Γ的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过焦点F，且FQ⊥MN.

证明

证明

证明命题视角本题的命题背景源于极点、极线，如图，结合极点、极线的几何定义，延长AD，BC相交于点G，则△PGQ为自极三角形，点P对应的极线为GQ.

返回微点二二次曲线系方程在平面内，由二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a，b，c不同时为0)所表示的曲线，叫做二次曲线.它可以表示圆、椭圆、双曲线、抛物线及两条直线(退化二次曲线).二次曲线系，又称二次曲线族，是二次曲线的集合，指具有某种共同性质的二次曲线的全体.常见的二次曲线系如下：(1)当四边形四条边的方程顺次为fi=0(i=1，2，3，4)时，过四边形四个顶点的二次曲线系方程为f1f3+λf2f4=0(λ为任意实数，除直线f2=0和f4=0外).(2)过两直线fi=0(i=1，2)与二次曲线F(x，y)=0的四个交点的二次曲线系方程为F(x，y)+λf1f2=0(λ为任意实数，除直线f1=0和f2=0外).(3)过两条二次曲线F1(x，y)=0，F2(x，y)=0的交点的二次曲线系方程为F1(x，y)+λF2(x，y)=0(λ为任意实数，除F2(x，y)=0外).(4)当三角形三边方程为fi=0(i=1，2，3)时，过三角形三个顶点的二次曲线系方程为f1f2+λf2f3+μf3f1=0(λ，μ不同时为0).

例2

解

解

解

解

解规律方法本题从A，B，Q，P四点共圆入手，列出二次曲线系方程，利用圆的方程的特征得到相应关系求解.

证明

证明

证明

证明返回微点三仿射变换1.仿射变换是一种二维坐标(x，y)到二维坐标(u，v)的线性变换.一般包括平移变换、伸缩变换和旋转变换.我们常常遇到的问题是将一般图形转换为更简单的图形，比如通过伸缩变换，将椭圆变换为圆，进而借助圆的性质求解椭圆的相关问题.

仿射变换前后，一些常用量的对应关系如表类别变换前变换后方程圆x'2+y'2=a2横坐标xx'=x纵坐标y斜率面积弦长不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比

例3

证明

证明规律方法

解

解

解

解

解返回专题强化练1.

答案1231.答案123

1.答案123

1.答案123

1.答案123

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2.答案123

2.答案123

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2.答案123由于直线MA与MB的斜率之和为1，即k1+k2=1，所以①式中的y项的系数2k1+2k2-2=0，所以二次曲线方程(kx-y+m)(x+2y-4)=0中的y项系数2m+4=0，可得m=-2，所以直线AB的方程为y=kx-2，恒过定点(0，-2).当直线AB的斜率不存在时，易得直线AB的方程为x=0，综上所述，直线AB经过定点(0，-2).3.答案123

3.答案123

3.答案123

3.答案123

3.答案123

3.答案123

3.答案123

1.设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程；123答案

解123答案

解123答案(2)证明：∠PFA=∠PFB.123答案

证明123答案

证明123答案

证明123答案

证明123答案

123答案

解123答案(2)证明：直线AB经过定点，并求这个定点的坐标.123答案

解123答案

解123答案

解123答案

解123答案

解123答案

解123答案由于直线MA与MB的斜率之和为1，即k1+k2=1，所以①式中的y项的系数2k1+2k2-2=0，所以二次曲线方程(kx-y+m)(x+2y-4)=0中的y项系数2m+4=0，可得m=-2，所以直线AB的方程为y=kx-2，恒过定点(0，-2).当直线AB的斜率不存在时，易得直线AB的方程为x=0，综上所述，直线AB经过定点(0，