湖南师范大学《数学分析》期末考试试卷(含答案)

湖南师范大学《数学分析》期末考试试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______1.选择题（1）若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A.f(x)在[a,b]上必定有零点B.f(x)在[a,b]上必定有最大值C.f(x)在[a,b]上必定有最小值D.以上结论都不一定成立（2）设f(x)在区间[0,+∞)上可导，且f'(x)≤0，则下列结论正确的是（）A.f(x)在区间[0,+∞)上单调递增B.f(x)在区间[0,+∞)上单调递减C.f(x)在区间[0,+∞)上先增后减D.f(x)在区间[0,+∞)上先减后增2.填空题（1）若lim(x→0)(x^3-ax^2+bx-c)=0，则a+b+c=________。（2）设f(x)=e^x-x，则f'(x)=________。（3）若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)=f(b)，则存在一点ξ∈(a,b)，使得f'ξ=________。3.解答题（1）证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)<f(b)，则存在一点ξ∈(a,b)，使得f'ξ=(f(b)-f(a))/(b-a)。（2）计算：lim(x→0)(sinx)^x。（3）设f(x)=x^3-3x+2，求f(x)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。4.附加题（1）设f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求f(x)的极值。（2）设函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，求f(x)的导数f'(x)。试卷答案1.选择题（1）D.以上结论都不一定成立（2）B.f(x)在区间[0,+∞)上单调递减2.填空题（1）a+b+c=0（2）f'(x)=e^x-1（3）f'ξ=(f(b)-f(a))/(b-a)3.解答题（1）证明：根据介值定理，因为f(a)<f(b)，所以存在c∈(f(a),f(b))，使得f(c)=(f(b)+f(a))/2。由于f(x)在区间[a,b]上连续，所以f(x)在区间[a,c]和区间[c,b]上也连续。又因为f(a)<f(c)<f(b)，所以f(x)在区间[a,c]上单调递增，在区间[c,b]上单调递减。因此，存在ξ∈(a,c)和ξ'∈(c,b)，使得f'ξ=0和f'ξ'=0。由于f(x)在区间[a,b]上可导，根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得f'ξ=(f(b)-f(a))/(b-a)。（2）计算：利用指数函数的极限性质，lim(x→0)(sinx)/x=1，得到lim(x→0)(sinx)^x=lim(x→0)e^(x*ln(sinx))=e^(lim(x→0)x*ln(sinx))=e^0=1。（3）求f(x)=x^3-3x+2在区间[-1,2]上的最大值和最小值。首先求导得到f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=-1或x=1。在x=-1时，f(x)=-2；在x=1时，f(x)=0。计算区间端点处的函数值，f(-1)=-2，f(2)=2。比较这些值，得到最大值为2，最小值为-2。4.附加题（1）求f(x)=x^3-6x^2+9x-1的极值。求导得到f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。计算二阶导数f''(x)=6x-12，得到f''(1)=-6，f''(3)=6。因为f''(1)<0，所以x=1是极大值点；因为f''(3)>0，所以x=3是极小值点。计算得到极大值为f(1)=