理论力学CAI数学基础

2026年9月18日理论力学CAI数学基础1前言矩阵矢量方向余弦阵平面矢量数学基础2026年9月18日理论力学CAI数学基础2前言理论力学中的许多概念与表达式涉及到几何矢量及其运算矢量的代数描述及其运算以矩阵为工具对复杂的问题优于矢量几何及其运算理论力学中必须区分矢量与矩阵的概念。在许多科技著作中并不区分这两种数学量本章简要介绍本书将要涉及到的有关内容，并统一符号前言2026年9月18日理论力学CAI数学基础3矩阵矩阵的定义与运算矩阵的导数矩阵2026年9月18日理论力学CAI数学基础4矩阵的定义与运算矩阵的定义常见的矩阵运算方阵列阵

矩阵/定义与运算2026年9月18日理论力学CAI数学基础5矩阵的定义将

m×n

个标量

Aij

排列成

m

行，

n

列的表，定义为

m×n

阶(维)矩阵矩阵/定义与运算/定义用一黑斜体的大写字母来表示无法区分黑白时可加下横线2026年9月18日理论力学CAI数学基础6矩阵/定义与运算/定义矩阵A的转置矩阵，记为AT例2026年9月18日理论力学CAI数学基础7常见的矩阵运算矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵相等矩阵与标量乘同阶矩阵求和矩阵乘2026年9月18日理论力学CAI数学基础8矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵相等Aij=Bij(i=1,

,m;j=1,

,n)？例元素间的关系2026年9月18日理论力学CAI数学基础9矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵与标量乘交换律例(i=1,

,m;j=1,

,n)元素间的关系2026年9月18日理论力学CAI数学基础10矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵求和结合律转置运算交换律例(i=1,

,m;j=1,

,n)元素间的关系2026年9月18日理论力学CAI数学基础11矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵乘(i=1,

,m;j=1,

,n)例元素间的关系2026年9月18日理论力学CAI数学基础12矩阵/定义与运算/常见的运算(i=1,

,m;j=1,

,n)例？2026年9月18日理论力学CAI数学基础13矩阵/定义与运算/常见的运算例(i=1,

,m;j=1,

,n)2026年9月18日理论力学CAI数学基础14矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵乘运算律结合律转置运算分配律求积无交换律2026年9月18日理论力学CAI数学基础15矩阵/方阵方阵：m=n

对角阵方阵的迹方阵2026年9月18日理论力学CAI数学基础16矩阵/方阵例单位阵2026年9月18日理论力学CAI数学基础17矩阵/方阵对称阵：Aij=Aji(i,j=1,

,n)例反对称阵：Aij=-Aji(i,j=1,

,n)Aii=0

(i=1,

,n)对称阵反对称阵2026年9月18日理论力学CAI数学基础18矩阵/方阵非奇异阵与逆矩阵对于方阵A，存在同阶方阵B，有称A为非奇异阵；B为A的逆矩阵，记转置与逆运算2026年9月18日理论力学CAI数学基础19矩阵/方阵正交阵对于正交阵有满足如下等式的非奇异阵A

称为正交阵例A与B互为正交阵+互为逆阵互为转置阵2026年9月18日理论力学CAI数学基础20矩阵/列阵列阵：只有一列（m个元素）的矩阵为m×

1阶矩阵称为m

阶列阵m

阶列阵a

的转置aT

为1×m

阶矩阵称为m

阶行阵用一黑斜体的小写字母来表示

无法区分黑白时可加下横线列阵2026年9月18日理论力学CAI数学基础21矩阵/列阵矩阵的列阵分块表达定义列阵(j=1,

,n)2026年9月18日理论力学CAI数学基础22矩阵/列阵/列阵分块表达例定义列阵(j=1,

,n)2026年9月18日理论力学CAI数学基础23矩阵/列阵矩阵的行阵分块表达定义列阵的转置(i=1,

,m)(i=1,

,m)2026年9月18日理论力学CAI数学基础24矩阵/列阵/行阵分块表达例定义列阵(i=1,

,m)2026年9月18日理论力学CAI数学基础25矩阵的导数矩阵对时间的导数矩阵对变量的导数矩阵/导数2026年9月18日理论力学CAI数学基础26矩阵对时间的导数元素为时间t的函数，记为Aij(t)，该矩阵记为A(t)

矩阵/导数/对时间的导数矩阵对时间导数的定义矩阵对时间的导数为一同阶矩阵其各元素为原矩阵的元素Aij(t)对时间的导数2026年9月18日理论力学CAI数学基础27矩阵对时间导数的运算矩阵/导数/对时间的导数2026年9月18日理论力学CAI数学基础28例已知矩阵/导数/对时间的导数验证2026年9月18日理论力学CAI数学基础29例已知矩阵/导数/对时间的导数验证2026年9月18日理论力学CAI数学基础30矩阵对变量的导数标量函数对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数

矩阵/导数/对变量的的偏导数2026年9月18日理论力学CAI数学基础31标量函数对变量的偏导数多变量的标量函数(多元函数)矩阵/导数/对变量的偏导数对于一组（n个）变量，通常引入一n

阶列矩阵表示这组变量，即如果有一个标量a，它是这组变量的函数(n元函数)，记为[例]对于二元函数引入二阶变量阵标量函数a可表为2026年9月18日理论力学CAI数学基础32标量函数对变量的偏导数多变量函数a

对n

阶变量阵q

的偏导数为一n

阶行阵其元素分别为该标量函数对各自变量qj

的偏导数矩阵/导数/对变量的偏导数[例]对于二阶变量阵的标量函数2026年9月18日理论力学CAI数学基础33标量函数阵对变量的偏导数多变量的标量函数阵矩阵/导数/对变量的偏导数对于有n个变量，通常引入一n

阶列矩阵表示这组变量，即如果有一个m

阶标量函数列阵它的元素是上述变量的函数，记为2026年9月18日理论力学CAI数学基础34标量函数阵对变量的偏导数多变量的标量函数阵矩阵/导数/对变量的偏导数[例]对于二阶变量阵有如下的标量函数阵2026年9月18日理论力学CAI数学基础35标量函数阵对变量的偏导数m

阶标量函数列阵对n

阶变量阵q的偏导数定义为一m×