函数间断点的左极限与右极限

函数间断点的左极限与右极限在微积分的理论体系中，函数的连续性是研究函数性质的基础，而间断点则是连续性的“对立面”，是深入理解函数行为的关键概念。要准确把握间断点的类型和特征，左极限与右极限的计算和分析是核心工具。左极限和右极限不仅是判断函数在某点是否连续的依据，更是区分间断点类型的重要标准，其应用贯穿于极限计算、导数定义、积分收敛性判断等多个微积分核心领域。一、左极限与右极限的定义及几何意义（一）定义的精确表述从极限的定义出发，左极限和右极限是单侧极限的具体体现。设函数(f(x))在点(x_0)的某左邻域（即((x_0-\delta,x_0))，其中(\delta>0)）内有定义，如果存在常数(A)，对于任意给定的正数(\varepsilon)，总存在正数(\delta)，使得当(x_0-\delta<x<x_0)时，对应的函数值(f(x))都满足(|f(x)-A|<\varepsilon)，那么常数(A)就叫做函数(f(x))在点(x_0)处的左极限，记作(\lim_{x\tox_0^-}f(x)=A)或(f(x_0^-)=A)。同理，右极限的定义为：设函数(f(x))在点(x_0)的某右邻域（即((x_0,x_0+\delta))，其中(\delta>0)）内有定义，如果存在常数(B)，对于任意给定的正数(\varepsilon)，总存在正数(\delta)，使得当(x_0<x<x_0+\delta)时，对应的函数值(f(x))都满足(|f(x)-B|<\varepsilon)，那么常数(B)就叫做函数(f(x))在点(x_0)处的右极限，记作(\lim_{x\tox_0^+}f(x)=B)或(f(x_0^+)=B)。需要注意的是，左极限和右极限的存在性是相互独立的。一个函数在某点可能只有左极限存在，只有右极限存在，或者两者都存在但不相等，也可能两者都不存在。例如，函数(f(x)=\frac{1}{x})在(x=0)处，左极限(\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty)，右极限(\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty)，两者都不存在有限值，但从广义极限的角度可以描述其趋势；而函数(f(x)=\sin\frac{1}{x})在(x=0)处，左极限和右极限都不存在，因为当(x)趋近于0时，(\frac{1}{x})趋近于无穷大，(\sin\frac{1}{x})在-1到1之间无限振荡，无法趋近于某个确定的常数。（二）几何意义的直观理解从几何图形的角度来看，左极限(\lim_{x\tox_0^-}f(x)=A)表示当(x)从(x_0)的左侧无限趋近于(x_0)时，函数(f(x))的图像无限靠近直线(y=A)；右极限(\lim_{x\tox_0^+}f(x)=B)则表示当(x)从(x_0)的右侧无限趋近于(x_0)时，函数(f(x))的图像无限靠近直线(y=B)。例如，对于分段函数(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\0,&x=0\x-1,&x>0\end{cases})，在(x=0)处，左极限(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1)，右极限(\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1)。在几何图像上，当(x)从左侧趋近于0时，函数图像沿着直线(y=x+1)无限靠近点(0,1)；当(x)从右侧趋近于0时，函数图像沿着直线(y=x-1)无限靠近点(0,-1)，而函数在(x=0)处的函数值为0，与左右极限都不相等，直观地展现了间断点处的图像特征。二、函数间断点的分类及与左右极限的关系根据函数在间断点处左右极限的存在性和相等性，间断点可以分为两大类：第一类间断点和第二类间断点，其中第一类间断点又可细分为可去间断点和跳跃间断点，第二类间断点则包含无穷间断点和振荡间断点等。（一）第一类间断点第一类间断点的定义是函数在该点处的左极限和右极限都存在。根据左右极限是否相等，又可进一步分为以下两种：1.可去间断点如果函数(f(x))在点(x_0)处的左极限和右极限都存在且相等，即(\lim_{x\tox_0^-}f(x)=\lim_{x\tox_0^+}f(x)=A)，但(f(x_0)\neqA)或者函数(f(x))在点(x_0)处无定义，那么点(x_0)就叫做函数(f(x))的可去间断点。例如，函数(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1})在(x=1)处无定义，但当(x\neq1)时，(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1)，因此(\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(x+1)=2)，(\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(x+1)=2)，左右极限都存在且相等，所以(x=1)是该函数的可去间断点。如果我们补充定义(f(1)=2)，那么函数在(x=1)处就连续了，这也是“可去”二字的由来，即通过补充或修改函数在该点的定义，可以使函数在该点连续。再如，函数(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\neq1\3,&x=1\end{cases})，在(x=1)处，(\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=2)，但(f(1)=3\neq2)，所以(x=1)也是可去间断点，此时只需将(f(1))修改为2，函数在该点就连续了。2.跳跃间断点如果函数(f(x))在点(x_0)处的左极限和右极限都存在，但不相等，即(\lim_{x\tox_0^-}f(x)\neq\lim_{x\tox_0^+}f(x))，那么点(x_0)就叫做函数(f(x))的跳跃间断点。例如，符号函数(\text{sgn}(x)=\begin{cases}1,&x>0\0,&x=0\-1,&x<0\end{cases})，在(x=0)处，左极限(\lim_{x\to0^-}\text{sgn}(x)=-1)，右极限(\lim_{x\to0^+}\text{sgn}(x)=1)，左右极限存在但不相等，所以(x=0)是符号函数的跳跃间断点。从几何图像上看，函数在(x=0)处的图像从左侧的-1跳跃到右侧的1，形成一个明显的“跳跃”，这也是跳跃间断点名称的来源。再如，函数(f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x^2,&x\geq1\end{cases})，在(x=1)处，左极限(\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(2x+1)=3)，右极限(\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x^2=1)，左右极限不相等，因此(x=1)是该函数的跳跃间断点。（二）第二类间断点第二类间断点的定义是函数在该点处的左极限和右极限至少有一个不存在。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点：1.无穷间断点如果函数(f(x))在点(x_0)处的左极限或右极限为无穷大（包括正无穷大和负无穷大），那么点(x_0)就叫做函数(f(x))的无穷间断点。例如，函数(f(x)=\frac{1}{x})在(x=0)处，左极限(\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty)，右极限(\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty)，左右极限都为无穷大，因此(x=0)是该函数的无穷间断点。从几何图像上看，函数在(x=0)处的图像分别向左侧下方和右侧上方无限延伸，趋近于无穷远，形成垂直渐近线(x=0)。再如，函数(f(x)=\tanx)，因为(\tanx=\frac{\sinx}{\cosx})，当(x=\frac{\pi}{2}+k\pi)（(k\in\mathbb{Z})）时，(\cosx=0)，函数无定义。在(x=\frac{\pi}{2})处，左极限(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\tanx=+\infty)，右极限(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\tanx=-\infty)，所以(x=\frac{\pi}{2}+k\pi)都是(\tanx)的无穷间断点。2.振荡间断点如果函数(f(x))在点(x_0)处的左极限和右极限都不存在，且函数值在某个区间内无限振荡，那么点(x_0)就叫做函数(f(x))的振荡间断点。最典型的例子是函数(f(x)=\sin\frac{1}{x})在(x=0)处，当(x)趋近于0时，(\frac{1}{x})趋近于无穷大，(\sin\frac{1}{x})的值在-1到1之间无限次振荡，无法趋近于某个确定的常数，因此左极限和右极限都不存在，(x=0)是该函数的振荡间断点。从几何图像上看，函数在(x=0)附近的图像呈现出无限密集的振荡曲线，无法与任何水平直线无限靠近。三、左极限与右极限的计算方法计算函数在某点处的左极限和右极限，是判断间断点类型和研究函数连续性的关键步骤。根据函数的不同类型，计算方法也有所不同，主要包括直接代入法、化简法、利用极限的运算法则、利用无穷小量的性质、利用重要极限等。（一）直接代入法对于初等函数（包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数），如果点(x_0)在其定义区间内，那么函数在该点处的极限值等于函数在该点的函数值，即(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0))。对于左极限和右极限，如果(x_0)是函数定义区间的内点，那么左极限和右极限都等于(f(x_0))；如果(x_0)是定义区间的端点，那么只需计算单侧极限，同样可以直接代入。例如，函数(f(x)=\sqrt{x+1})的定义区间是([-1,+\infty))，在(x=0)处，左极限(\lim_{x\to0^-}\sqrt{x+1}=\sqrt{0+1}=1)，右极限(\lim_{x\to0^+}\sqrt{x+1}=\sqrt{0+1}=1)，都可以直接代入计算；在(x=-1)处，由于函数在(x<-1)时无定义，所以只需计算右极限(\lim_{x\to-1^+}\sqrt{x+1}=\sqrt{-1+1}=0)，同样可以直接代入。（二）化简法对于一些分式函数或分段函数，当直接代入会出现分母为0或函数值无定义的情况时，需要先对函数进行化简，再计算极限。常见的化简方法包括因式分解、通分、有理化等。1.因式分解法对于分子或分母是多项式的分式函数，当(x)趋近于某点时，如果分子和分母都趋近于0，说明分子和分母都含有该点对应的因式，可以通过因式分解将公因式约去，再计算极限。例如，计算(\lim_{x\to2^-}\frac{x^2-4}{x-2})，当(x\to2)时，分子(x^2-4=(x-2)(x+2))，分母(x-2)，约去公因式(x-2)（因为(x\to2^-)时，(x\neq2)，所以可以约去），得到(\lim_{x\to2^-}(x+2)=2+2=4)，同理右极限(\lim_{x\to2^+}\frac{x^2-4}{x-2}=4)。2.通分法对于分式相减的函数，当直接计算极限出现无穷大减无穷大的情况时，需要先通分，将其转化为一个分式，再进行化简计算。例如，计算(\lim_{x\to1^-}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right))，先对原式进行通分，(x^2-1=(x-1)(x+1))，所以原式(=\lim_{x\to1^-}\frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to1^-}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2})，右极限的计算方法相同，结果也为(\frac{1}{2})。3.有理化法对于含有根式的函数，当直接计算极限出现0除以0或无穷大减无穷大的情况时，可以通过有理化的方法消去根式，再进行计算。有理化包括分子有理化和分母有理化，具体采用哪种方法取决于函数的形式。例如，计算(\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x})，这里采用分子有理化，分子分母同乘以(\sqrt{1+x}+1)，得到：[\begin{align*}\lim_{x\to0^+}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}&=\lim_{x\to0^+}\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}\&=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}\&=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\&=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}\&=\frac{1}{2}\end{align*}]左极限的计算方法相同，结果也为(\frac{1}{2})。（三）利用极限的运算法则极限的运算法则包括四则运算法则、复合函数的极限运算法则等，在计算左极限和右极限时同样适用。需要注意的是，只有当参与运算的各个单侧极限都存在时，才能使用四则运算法则。1.四则运算法则设(\lim_{x\tox_0^-}f(x)=A)，(\lim_{x\tox_0^-}g(x)=B)，则有：(\lim_{x\tox_0^-}[f(x)\pmg(x)]=A\pmB)(\lim_{x\tox_0^-}[f(x)\cdotg(x)]=A\cdotB)若(B\neq0)，则(\lim_{x\tox_0^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B})右极限的四则运算法则与左极限类似。例如，计算(\lim_{x\to1^-}(x^2+2x-3))，可以分别计算各项的左极限：(\lim_{x\to1^-}x^2=1^2=1)，(\lim_{x\to1^-}2x=2\times1=2)，(\lim_{x\to1^-}(-3)=-3)，然后根据四则运算法则，(\lim_{x\to1^-}(x^2+2x-3)=1+2-3=0)。2.复合函数的极限运算法则设函数(y=f[g(x)])是由函数(u=g(x))和函数(y=f(u))复合而成，若(\lim_{x\tox_0^-}g(x)=u_0)，且在(x_0)的某左邻域内（除(x_0)外）(g(x)\nequ_0)，(\lim_{u\tou_0}f(u)=A)，则(\lim_{x\tox_0^-}f[g(x)]=A)。例如，计算(\lim_{x\to0^-}\sin(x^2+1))，令(u=x^2+1)，当(x\to0^-)时，(u\to0^2+1=1)，而(\lim_{u\to1}\sinu=\sin1)，所以根据复合函数的极限运算法则，(\lim_{x\to0^-}\sin(x^2+1)=\sin1)。（四）利用无穷小量的性质无穷小量是指极限为0的变量，其具有一些重要的性质，例如：有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量；有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量；常数与无穷小量的乘积是无穷小量等。在计算左极限和右极限时，经常会用到有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量这一性质。例如，计算(\lim_{x\to0^-}x\sin\frac{1}{x})，因为(|\sin\frac{1}{x}|\leq1)，即(\sin\frac{1}{x})是有界函数，而(\lim_{x\to0^-}x=0)，即(x)是当(x\to0^-)时的无穷小量，根据有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量，可得(\lim_{x\to0^-}x\sin\frac{1}{x}=0)，同理右极限(\lim_{x\to0^+}x\sin\frac{1}{x}=0)。（五）利用重要极限微积分中有两个重要极限，分别是(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1)和(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e)（或(\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e)），在计算左极限和右极限时，这两个重要极限同样适用，只需将(x\to0)或(x\to\infty)替换为对应的单侧趋近即可。例如，计算(\lim_{x\to0^+}\frac{\sin3x}{x})，令(t=3x)，当(x\to0^+)时，(t\to0^+)，则(\frac{\sin3x}{x}=3\cdot\frac{\sint}{t})，所以(\lim_{x\to0^+}\frac{\sin3x}{x}=3\lim_{t\to0^+}\frac{\sint}{t}=3\times1=3)，左极限的计算方法相同，结果也为3。再如，计算(\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x})，令(t=\frac{x}{2})，则(x=2t)，当(x\to+\infty)时，(t\to+\infty)，原式可转化为：[\begin{align*}\lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{6t}&=\lim_{t\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^6\&=\left[\lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^6\&=e^6\end{align*}]如果计算左极限(\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x})，令(t=-x)，当(x\to-\infty)时，(t\to+\infty)，则：[\begin{align*}\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{2}{t}\right)^{-3t}&=\lim_{t\to+\infty}\left[\left(1+\frac{-2}{t}\right)^{\frac{t}{-2}}\right]^6\&=\left[\lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{-2}{t}\right)^{\frac{t}{-2}}\right]^6\&=e^6\end{align*}]四、左极限与右极限在微积分中的应用左极限与右极限的概念不仅是研究函数间断点的基础，在微积分的其他领域也有着广泛的应用，例如判断函数的连续性、计算分段函数的导数、判断反常积分的收敛性等。（一）判断函数的连续性函数在某点连续的定义是函数在该点处的极限值等于函数值，即(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0))，而(\lim_{x\tox_0}f(x))存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即(\lim_{x\tox_0^-}f(x)=\lim_{x\tox_0^+}f(x)=f(x_0))。因此，判断函数在某点是否连续，需要分别计算左极限、右极限和函数值，然后比较三者是否相等。例如，判断函数(f(x)=\begin{cases}e^x,&x<0\1,&x=0\x+1,&x>0\end{cases})在(x=0)处是否连续。首先计算左极限(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}e^x=e^0=1)，右极限(\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x+1)=0+1=1)，函数值(f(0)=1)，因为(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=1)，所以函数在(x=0)处连续。再如，判断函数(f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq1\2x-1,&x>1\end{cases})在(x=1)处是否连续。左极限(\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x^2=1^2=1)，右极限(\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(2x-1)=2\times1-1=1)，函数值(f(1)=1^2=1)，三者相等，所以函数在(x=1)处连续。（二）计算分段函数的导数对于分段函数，在分段点处的导数需要通过左导数和右导数来计算。左导数的定义是(f'-(x_0)=\lim{x\tox_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})，右导数的定义是(f'+(x_0)=\lim{x\tox_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})。函数在分段点处可导的充要条件是左导数和右导数都存在且相等。例如，求分段函数(f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq0\\sinx,&x>0\end{cases})在(x=0)处的导数。首先计算左导数：[f'-(0)=\lim{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2-0}{x}=\lim_{x\to0^-}x=0]然后计算右导数：[f'+(0)=\lim{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{\sinx-0}{x}=1]因为(f'-(0)=0\neqf'+(0)=1)，所以函数在(x=0)处不可导。再如，求分段函数(f(x)=\begin{cases}e^x,&x\leq0\x+1,&x>0\end{cases})在(x=0)处的导数。左导数：[f'-(0)=\lim{x\to0^-}\frac{e^x-e^0}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{e^x-1}{x}=1]（这里利用了重要极限(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1)）右导数：[f'+(0)=\lim{x\to0^+}\frac{(x+1)-1}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1]因为(f'-(0)=f'+(0)=1)，所以函数在(x=0)处可导，且导数为1。（三）判断反常积分的收敛性反常积分包括无穷限的反常积分和无界函数的反常积分（瑕积分），在判断反常积分的收敛性时，左极限和右极限的概念起着重要作用。1.无穷限的反常积分对于无穷限的反常积分(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx)，其定义为(\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx)，如果该极限存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散。这里的(\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx)就是一种右极限的形式，当(b)从右侧无限趋近于(+\infty)时，定积分(\int_{a}^{b}f(x)dx)的极限。例如，判断反常积分(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx)的收敛性，根据定义：[\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=\lim_{b\to+\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^2}dx=\lim_{b\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)\Bigg|{1}^{b}=\lim{b\to+\infty}\left(-\frac{1}{b}+1\right)=1]极限存在，所以该反常积分收敛，且收敛于1。2.无界函数的反常积分（瑕积分）对于无界函数的反常积分，假设函数(f(x))在((a,b])上连续，且(\lim_{x\toa^+}f(x)=\infty)（即(x=a)是瑕点），则反常积分(\int_{a}^{b}f(x)dx)的定义为(\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx)，如果该极限存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散。这里的(\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx)就是右极限的应用，当(\varepsilon)从右侧趋近于0时，定积分(\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx)的极限。例如，判断反常积分(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx)的收敛性，因为(\lim_{x\to0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty)，所以(x=0)是瑕点，根据定义：[\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}2\sqrt{x}\Bigg|{\varepsilon}^{1}=\lim{\varepsilon\to0^+}(2-2\sqrt{\varepsilon})=2]极限存在，所以该反常积分收敛，且收敛于2。五、左极限与右极限的常见误区及注意事项在学习和应用左极限与右极限的过程中，容易出现一些误区，需要特别注意以下几点：（一）混淆极限存在与函数值存在的概念极限存在是指函数在某点附近的变化趋势，与函数在该点的函数值是否存在无关。例如，函数(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1})在(x=1)处无定义，但左极限和右极限都存在且相等，极限存在；而函数(f(x)=\begin{cases}1,&x=0\0,&x\neq0\end{cases})在(x=0)处函数值存在，但左极限和右极限都为0，与函数值不相等，函数在该点不连续。因此，极限存在与否与函数在该点是否有定义、函数值是多少没有必然联系，只与函数在该点附近的变化趋势有关。（二）忽略分段函数分段点处的单侧极限计算对于分段函数，在分段点处的极限、连续性和导数都需要通过左极限和右极限来判断，不能直接代入分段点的函数表达式计算。例如，函数(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\x-1,&x\geq0\end{cases})，在计算(x=0)处的极限时，不能直接代入(x\geq0)时的表达式(x-1)计算左极限，而应该代入(x<0)时的表达式(x+1)计算左极限，代入(x\geq0)时的表达式(x-1)计算右极限，然后比较两者是否相等。（三）错误认为左极限和右极限一定同时存在或同时不存在左极限和右极限的存在性是相互独立的，一个函数在某点可能只有左极限存在，只有右极限存在，或者两者都存在但不相等，也可能两者都不存在。例如，函数(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x},&x<0\\sin\frac{1}{x},&x>0\end{cases})，在(x=0)处，左极限(\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty)（不存在有限值），右极限(\lim_{x\to0^+}\sin\frac{1}{x})不存在，因为函数值无限振荡；而函数(f(x)=\begin{cases}1,&x<0\x,&x\geq0\end{cases})，在(x=0)处，左极限(\lim_{x\to0^-}1=1)，右极限(\lim_{x\to0^+}x=0)，左极限存在，右极限也存在，但两者