12.5 分式方程的应用 同步练习-2026-2027学年冀教版数学八年级上册

—第页—12.5分式方程的应用同步练习（基础巩固·能力提升·素养拓展）2026-2027学年冀教版数学八年级上册📖一、基础巩固1.一项工程，甲队单独施工需x天完成，乙队单独施工需y天完成，两队合作一天完成的工作量是（）A.1/(x+y)B.1/x+1/yC.xy/(x+y)D.1/x−1/y2.甲队单独完成一项工程需10天，乙队单独完成同一项工程需15天，两队合作完成这项工程所需的天数是（）A.25天B.6天C.12.5天D.5天3.某工厂原计划每天生产x个零件，实际每天比原计划多生产5个，则生产600个零件实际所花的天数是（）A.600/xB.600/(x+5)C.600/x+5D.600/x−54.一项工程，甲队单独施工需12天完成，甲队每天完成的工作量是______。5.甲、乙两地相距240千米，一辆汽车行驶3小时行完全程，则该汽车的速度是______千米/时。6.一项工程，甲队单独做需a天完成，乙队单独做需b天完成，两队合作3天完成的工作量是______。🚀二、能力提升7.一项工程，甲队单独做需a天完成，乙队单独做需b天完成，若两队合作完成这项工程，所需的天数是（）A.a+bB.ab/(a+b)C.(a+b)/(ab)D.1/(a+b)8.一项工程，甲队单独施工需20天完成，乙队单独施工需30天完成。现由甲队先单独施工5天，再由甲、乙两队合作完成余下工程，求甲、乙两队合作的天数。9.某商店用1200元购进甲种水果，用800元购进乙种水果。已知甲种水果每千克的进价比乙种水果每千克的进价高2元，且购进的甲、乙两种水果的质量相同。求乙种水果每千克的进价。10.某工程甲队单独做需x天完成，乙队单独做需(x+5)天完成，两队合作6天恰好完成这项工程，根据题意可列方程______。11.小华从A地骑自行车到B地，全程24千米；返回时改乘汽车，汽车的速度是骑车速度的3倍，返回比去时少花1小时。求小华骑车的速度。🌟三、素养拓展12.一项工程，甲队单独施工需40天完成，乙队单独施工需60天完成。

（1）若两队合作，需要多少天完成？

（2）若甲队先单独施工10天，再由两队合作完成余下工程，两队合作还需要多少天？13.甲、乙两个工程队参与一项筑路工程，甲队单独施工需30天完成，乙队单独施工需45天完成。

（1）若乙队先单独施工15天，再由甲、乙两队合作完成余下工程，求两队合作的天数；

（2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为1.2万元，乙队每天的施工费用为0.8万元，求完成这项工程的总费用。14.某超市经营一种水果，第一次用600元购进，很快售完；第二次用1320元购进同种水果。已知第二次每千克的进价比第一次高2元，第二次购进的质量是第一次的2倍。

（1）求第一次购进这种水果每千克的进价；

（2）若两次购进的水果都按每千克25元的价格销售完，求两次销售这种水果获得的总利润。✅自评区完成作业后请对照本表逐项自评，全部打√视为本课达标。自评项目达标标准自评概念与法则能准确说出本课核心概念、法则及其适用条件□基本计算基础题全部正确，书写规范、符号无误□方法运用能独立完成提升题并写出完整过程□错因订正对照解析订正错题，标注出错原因□📝答案解析一、基础巩固1.【答案】B【解析】①考点定位工程问题的基本关系是：工作效率×工作时间=工作量。把全部工作量记为1，则甲队每天完成1/x，乙队每天完成1/y。②解题思路两队合作一天完成的工作量就是两队工作效率之和，即1/x+1/y。故选B。③避坑指南注意区分“两队合作一天”与“两队合作完成全部工程”：前者是一天的工作量，结果是1/x+1/y；后者是所需天数，结果是xy/(x+y)。把全部工作量记为1是解工程问题的关键一步。2.【答案】B【解析】①考点定位两队合作时，工作效率等于两队工作效率之和；把全部工作量记为1，甲队每天完成1/10，乙队每天完成1/15。②解题思路两队合作每天完成1/10+1/15=3/30+2/30=5/30=1/6。所需的合作天数为1÷1/6=6（天）。故选B。③避坑指南最典型的错误是把两个天数相加得25天，这相当于认为两队一天只做一份工作量的两队之和，忽略了效率的可加性。合作问题的结果是“效率相加、天数变少”，答案一定小于其中任何一队单独完成所需的天数。3.【答案】B【解析】①考点定位销售与生产问题中常用的关系是：工作总量÷工作效率=工作时间。这里的工作效率就是每天的产量。②解题思路实际每天生产(x+5)个零件，生产600个零件实际所花的天数为600÷(x+5)，即600/(x+5)。故选B。③避坑指南不要写成600/x+5，效率在分母上，加5只能加到分母里，不能提到分式外面。另外要看清问的是“实际”还是“原计划”，两者只差5个，但对应的分式不同。4.【答案】1/12【解析】①考点定位工程问题中通常把全部工作量记为1，工作效率=1÷单独完成所需的天数。②解题思路把这项工程的总工作量记为1，甲队12天完成，则甲队每天完成1÷12=1/12。③避坑指南工作效率必须用分数表示，直接写12就变成了“每天完成12份工作量”，与把总量记为1表示不一致，后续列方程必然出错。记住：单独完成需n天，效率就是1/n。5.【答案】80【解析】①考点定位行程问题的基本关系是：路程=速度×时间，变形得速度=路程÷时间。②解题思路速度=240÷3=80（千米/时），所以该汽车的速度是80千米/时。③避坑指南计算时要注意单位是否统一，本题时间单位是小时、路程单位是千米，速度单位就是千米/时，不需要换算。若题目给出的时间单位不是小时，要先统一单位再代入关系式计算。6.【答案】3/a+3/b【解析】①考点定位把全部工作量记为1，甲队每天完成1/a，乙队每天完成1/b，两队合作每天完成1/a+1/b。②解题思路两队合作3天完成的工作量=3×(1/a+1/b)=3/a+3/b。③避坑指南求工作量的方法是“工作效率×工作时间”，不能把天数与天数相加。若要判断3天能否完成全部工程，还应与1比较大小，本题只求完成的工作量，写出3/a+3/b即可。二、能力提升7.【答案】B【解析】①考点定位把全部工作量记为1，先求合作的工作效率，再用“工作量÷工作效率”求合作所需的天数。②解题思路甲队每天完成1/a，乙队每天完成1/b，合作每天完成1/a+1/b=(a+b)/(ab)。所以合作所需的天数为1÷[(a+b)/(ab)]=ab/(a+b)。故选B。③避坑指南本题只有答案ab/(a+b)才是天数，其余选项都只是中间结果。求合作天数时也可以直接在方程1/a+1/b=1/t中解出t，这样不容易把“效率”与“天数”弄混。8.【答案】9天【解析】①考点定位先算出已完成的工程量，剩下的工程量由两队合作完成，利用“合作效率×合作天数=剩余工程量”列方程。②解题思路设两队合作x天完成余下工程。把总工作量记为1，甲队每天完成1/20，乙队每天完成1/30。甲队先做5天完成5×1/20=1/4，剩余工作量为1−1/4=3/4。列方程：x(1/20+1/30)=3/4，即x×1/12=3/4，解得x=9。经检验，x=9符合题意，且两队合作的效率为正，完成的工作量9×1/12=3/4恰好等于剩余量。答：甲、乙两队合作9天。③避坑指南列方程前一定要先算清“剩余工程量”，把甲队先做的5天也算进总工作量里，否则会把20天、30天直接拿来用。解出结果后要检验是否符合实际：合作天数必须是正数，且两队合作完成的工作量不能超过工程量1。9.【答案】4元/千克【解析】①考点定位销售问题的核心关系是：总价÷单价=数量。两种水果质量相同，可以用“甲的质量=乙的质量”作为等量关系列方程。②解题思路设乙种水果每千克的进价为x元，则甲种水果每千克的进价为(x+2)元。1200元购进甲种水果1200/(x+2)千克，800元购进乙种水果800/x千克。列方程：1200/(x+2)=800/x。去分母得1200x=800(x+2)，即1200x=800x+1600，解得400x=1600，x=4。检验：x=4时，1200/(4+2)=200（千克），800/4=200（千克），两种水果质量相同，符合题意。答：乙种水果每千克的进价是4元。③避坑指南方程两边的分式必须代表同一类量，本题都用“质量”。解出x=4后不仅要验根，还要检查它是否符合实际：进价必须为正数，算出的质量也必须为正。若把方程列成(x+2)/1200=x/800，虽然形式上也是等量关系，但两边代表的是单价的倒数，容易在解方程时算错。10.【答案】1/x+1/(x+5)=1/6【解析】①考点定位把全部工作量记为1，由“两队合作的效率之和=合作时的工作效率”列出方程。②解题思路甲队每天完成1/x，乙队每天完成1/(x+5)，两队合作每天完成1/x+1/(x+5)；而6天完成全部工程说明合作每天完成1/6。所以可列方程1/x+1/(x+5)=1/6。③避坑指南也可以列成6(1/x+1/(x+5))=1，两种写法等价。要注意“6天恰好完成”对应的效率是1/6，不能写成6；若列成x+(x+5)=6，那是把天数当成效率相加，是完全错误的。11.【答案】16千米/时【解析】①考点定位行程问题中“时间=路程÷速度”，去时与返回的路程相同，可以围绕“去时的时间−返回的时间=1”列方程。②解题思路设小华骑车的速度为v千米/时，则汽车的速度为3v千米/时。去时花的时间为24/v，返回花的时间为24/(3v)=8/v。根据返回比去时少花1小时，列方程：24/v−8/v=1，即16/v=1，解得v=16。检验：v=16≠0，且v=16千米/时符合骑自行车的实际情况，此时去时24/16=1.5（小时），返回24/48=0.5（小时），相差1小时，符合题意。答：小华骑车的速度是16千米/时。③避坑指南列方程时要分清哪个时间长：骑车速度快不过汽车，所以骑车花的时间多。解出结果后必须检验是否符合实际意义，速度必须为正数，且与生活经验相符；若解出负数或使分母为零的值，都要舍去。三、素养拓展12.【答案】（1）24天；（2）18天【解析】①考点定位工程问题把总工作量记为1，甲队效率为1/40，乙队效率为1/60，两问都围绕“工作效率×工作时间=工作量”处理。②解题思路（1）设两队合作需t天完成，则t(1/40+1/60)=1。因为1/40+1/60=3/120+2/120=5/120=1/24，所以t×1/24=1，解得t=24。（2）设两队合作还需要y天，甲队先做10天完成10/40=1/4，剩余3/4由两队合作完成，列方程：y×1/24=3/4，解得y=18。两问的结果都为正数，且各自完成的工作量都不超过1，符合题意。③避坑指南两问的区别在于第（2）问要先算剩余工程量，不能把第（1）问的24天直接拿来减。注意“合作还需要多少天”只算合作的那一段，甲队先做的10天不计入合作天数，这是最容易被忽略的地方。13.【答案】（1）12天；（2）36万元【解析】①考点定位第（1）问是工程问题，总工作量记为1，甲队效率为1/30，乙队效率为1/45；第（2）问要把两队各自实际施工的天数分别乘以每天的施工费用再相加。②解题思路（1）设两队合作x天完成余下工程。乙队先单独施工15天完成15/45=1/3，剩余2/3。甲、乙合作的效率之和为1/30+1/45=3/90+2/90=5/90=1/18。列方程：x×1/18=2/3，解得x=12。（2）甲队实际施工12天，费用为12×1.2=14.4（万元）；乙队实际施工15+12=27天，费用为27×0.8=21.6（万元）；总费用为14.4+21.6=36（万元）。答：合作12天，总费用36万元。③避坑指南第（2）问最容易出错的是乙队的施工天数：它既要算先单独施工的15天，也要算合作时的12天，漏掉任一段都会算错费用。求出总费用后要检验是否符合实际：两队的天数