函数项级数一致收敛中的极限四则交换

函数项级数一致收敛中的极限四则交换在数学分析的领域中，函数项级数的一致收敛性是一个核心概念，它架起了级数的无限求和与函数的极限、连续、可微、可积等性质之间的桥梁。其中，极限的四则交换问题，即极限运算与级数求和运算的交换顺序，是一致收敛性应用的重要体现。深入理解这一问题，不仅能帮助我们掌握函数项级数的基本理论，还能为解决实际数学问题提供有力的工具。一、函数项级数一致收敛的基本概念（一）函数项级数的定义设${u_n(x)}$是定义在数集$D$上的函数序列，称表达式$$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$$为定义在$D$上的函数项级数。对于每一个固定的$x_0\inD$，函数项级数就成为一个数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x_0)$。如果这个数项级数收敛，就称$x_0$是函数项级数的收敛点；如果发散，就称$x_0$是发散点。函数项级数的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域，记为$E\subseteqD$。在收敛域$E$上，函数项级数的和是$x$的函数，记为$S(x)$，即$$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x),\quadx\inE$$这个函数$S(x)$称为函数项级数的和函数。（二）一致收敛的定义函数项级数的一致收敛性是比逐点收敛更强的收敛性概念。设函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在数集$E$上收敛于和函数$S(x)$，即对于每一个$x\inE$，有$$\lim_{n\to\infty}S_n(x)=S(x)$$其中$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)$是级数的部分和函数。如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在一个只与$\varepsilon$有关的正整数$N$，使得当$n>N$时，对于所有的$x\inE$，都有$$|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon$$则称函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在数集$E$上一致收敛于和函数$S(x)$，记作$$S_n(x)\rightrightarrowsS(x)\quad(n\to\infty),\quadx\inE$$一致收敛的几何意义是：对于任意给定的$\varepsilon>0$，当$n$足够大时，部分和函数序列${S_n(x)}$的图像都落在以和函数$S(x)$的图像为中心，宽度为$2\varepsilon$的带形区域内。（三）一致收敛的判别法判断函数项级数的一致收敛性，有多种常用的判别法，其中最基本的是柯西一致收敛准则：柯西一致收敛准则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在数集$E$上一致收敛的充要条件是：对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，对于任意的正整数$p$，以及所有的$x\inE$，都有$$|S_{n+p}(x)-S_n(x)|=\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x)\right|<\varepsilon$$此外，还有一些常用的判别法，如魏尔斯特拉斯判别法（M判别法）、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等。魏尔斯特拉斯判别法如果存在一个收敛的正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}M_n$，使得对于所有的$x\inE$，都有$$|u_n(x)|\leqM_n,\quadn=1,2,\cdots$$则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$E$上一致收敛。阿贝尔判别法设：函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$在数集$E$上一致收敛；对于每一个$x\inE$，数列${b_n(x)}$单调；函数序列${b_n(x)}$在$E$上一致有界，即存在正数$M$，使得对于所有的$x\inE$和正整数$n$，都有$|b_n(x)|\leqM$。则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$在$E$上一致收敛。狄利克雷判别法设：函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$的部分和序列${S_n(x)}$在数集$E$上一致有界；对于每一个$x\inE$，数列${b_n(x)}$单调；函数序列${b_n(x)}$在$E$上一致收敛于0。则函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$在$E$上一致收敛。这些判别法从不同的角度给出了函数项级数一致收敛的条件，在实际应用中可以根据具体情况选择合适的判别法。二、极限与级数求和的交换顺序（一）问题的提出在数学分析中，我们经常会遇到这样的问题：对于一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$，当$x\tox_0$时，级数的和函数的极限是否等于级数各项的极限的和，即$$\lim_{x\tox_0}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\tox_0}u_n(x)$$如果这个等式成立，我们就说极限运算与级数求和运算可以交换顺序。类似地，对于函数项级数的导数和积分，也存在着类似的交换顺序问题，即$$\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x)$$和$$\int_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}u_n(x)dx$$这些交换顺序的问题在数学分析中具有重要的意义，它们不仅是理论研究的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。（二）极限与级数求和交换的条件要使极限运算与级数求和运算能够交换顺序，需要满足一定的条件。其中，函数项级数的一致收敛性是一个关键的条件。定理1设函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在点$x_0$的某去心邻域$U^o(x_0)$内一致收敛于和函数$S(x)$，且对于每一个$n$，$\lim_{x\tox_0}u_n(x)=a_n$存在，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且$$\lim_{x\tox_0}S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$即$$\lim_{x\tox_0}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\tox_0}u_n(x)$$证明首先，证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛。根据柯西一致收敛准则，对于任意给定的$\varepsilon>0$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，对于任意的正整数$p$，以及所有的$x\inU^o(x_0)$，都有$$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x)\right|<\varepsilon$$令$x\tox_0$，根据极限的保不等式性，有$$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_k\right|\leq\varepsilon$$这说明级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$满足柯西收敛准则，因此收敛，设其和为$A$，即$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=A$。接下来，证明$\lim_{x\tox_0}S(x)=A$。由于$S_n(x)\rightrightarrowsS(x)\(n\to\infty),x\inU^o(x_0)$，所以对于任意给定的$\varepsilon>0$，存在正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时，对于所有的$x\inU^o(x_0)$，都有$$|S_n(x)-S(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$$又因为$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=A$，所以存在正整数$N_2$，使得当$n>N_2$时，有$$|S_n^a-A|<\frac{\varepsilon}{3}$$其中$S_n^a=\sum_{k=1}^{n}a_k$是级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的部分和。另外，对于每一个$n$，$\lim_{x\tox_0}u_n(x)=a_n$，所以$\lim_{x\tox_0}S_n(x)=S_n^a$。因此，对于上述的$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$$|S_n(x)-S_n^a|<\frac{\varepsilon}{3}$$取$N=\max{N_1,N_2}$，当$n>N$且$0<|x-x_0|<\delta$时，有$$|S(x)-A|\leq|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-S_n^a|+|S_n^a-A|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon$$这就证明了$\lim_{x\tox_0}S(x)=A$，即$$\lim_{x\tox_0}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\tox_0}u_n(x)$$（三）定理的推广与应用定理1给出了极限与级数求和交换顺序的一个充分条件，但并不是必要条件。也就是说，即使函数项级数不一致收敛，极限与级数求和的交换顺序也可能成立。但是，一致收敛性是一个比较容易验证的条件，因此在实际应用中，定理1具有重要的价值。例1考察函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$在$x\in(-1,1)$上的极限与级数求和的交换顺序。首先，求级数的和函数$S(x)$。当$x=0$时，级数的每一项都为0，所以$S(0)=0$。当$x\neq0$时，级数是一个等比级数，公比为$q=\frac{1}{1+x^2}$，且$|q|<1$，所以和函数为$$S(x)=\frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{1-\frac{1}{1+x^2}}=\frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{\frac{x^2}{1+x^2}}=1$$因此，和函数$S(x)$为$$S(x)=\begin{cases}0,&x=0\1,&x\neq0\end{cases}$$接下来，计算$\lim_{x\to0}S(x)$和$\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to0}u_n(x)$。显然，$\lim_{x\to0}S(x)=1$。而对于每一个$n$，$\lim_{x\to0}u_n(x)=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}=0$，所以$\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to0}u_n(x)=0$。这说明$$\lim_{x\to0}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\neq\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to0}u_n(x)$$为什么会出现这种情况呢？这是因为函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$在$x=0$的邻域内不一致收敛。我们可以用一致收敛的定义来验证这一点。对于任意的正整数$n$，取$x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$，则$$S_n(x_n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x_n^2}{(1+x_n^2)^k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\frac{1}{n}}{(1+\frac{1}{n})^k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)^k$$这是一个等比级数的和，公比为$q=\frac{n}{n+1}$，所以$$S_n(x_n)=\frac{1}{n}\cdot\frac{\frac{n}{n+1}\left(1-\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\right)}{1-\frac{n}{n+1}}=\left(1-\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\right)$$由于$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}$，所以$$\lim_{n\to\infty}S_n(x_n)=1-\frac{1}{e}>0$$而$S(x_n)=1$，所以$$|S_n(x_n)-S(x_n)|=\left(1-\frac{1}{e}\right)-1=\frac{1}{e}>0$$这说明对于$\varepsilon=\frac{1}{2e}$，无论$n$多大，都存在$x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$使得$|S_n(x_n)-S(x_n)|\geq\varepsilon$，因此级数在$x=0$的邻域内不一致收敛。这个例子说明，当函数项级数不一致收敛时，极限与级数求和的交换顺序可能不成立。而如果函数项级数一致收敛，根据定理1，极限与级数求和的交换顺序就一定成立。例2考察函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$在$x\in(-\infty,+\infty)$上的极限与级数求和的交换顺序。首先，用魏尔斯特拉斯判别法判断级数的一致收敛性。由于对于所有的$x\in(-\infty,+\infty)$，有$$\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}$$而正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛，所以根据魏尔斯特拉斯判别法，函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛。接下来，计算$\lim_{x\to0}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$和$\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to0}u_n(x)$。对于每一个$n$，$\lim_{x\to0}u_n(x)=\lim_{x\to0}\frac{\sin(nx)}{n^2}=0$，所以$\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to0}u_n(x)=0$。而级数的和函数$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$是一个连续函数（因为一致收敛的连续函数项级数的和函数连续），所以$\lim_{x\to0}S(x)=S(0)=0$。因此$$\lim_{x\to0}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to0}u_n(x)=0$$这说明在一致收敛的条件下，极限与级数求和的交换顺序成立。三、导数与级数求和的交换顺序（一）问题的提出除了极限与级数求和的交换顺序，我们还经常会遇到导数与级数求和的交换顺序问题，即$$\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x)$$这个等式成立的条件是什么呢？这也是数学分析中一个重要的问题。（二）导数与级数求和交换的条件定理2设函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$满足以下条件：在区间$[a,b]$上收敛于和函数$S(x)$；每一个$u_n(x)$在$[a,b]$上具有连续的导数$u_n'(x)$；导数级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x)$在$[a,b]$上一致收敛。则和函数$S(x)$在$[a,b]$上具有连续的导数，且$$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x),\quadx\in[a,b]$$即$$\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x)$$证明设$\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x)=\sigma(x)$，$x\in[a,b]$，由于$u_n'(x)$连续且级数一致收敛，所以$\sigma(x)$在$[a,b]$上连续。对$\sigma(t)$从$a$到$x$积分，根据积分与级数求和的交换顺序（将在下一节讨论），有$$\int_{a}^{x}\sigma(t)dt=\int_{a}^{x}\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(t)dt=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{x}u_n'(t)dt=\sum_{n=1}^{\infty}[u_n(x)-u_n(a)]=S(x)-S(a)$$因为$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$[a,b]$上收敛于$S(x)$，所以$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(a)=S(a)$。对上式两边求导，根据变上限积分的求导法则，有$$\sigma(x)=S'(x)$$即$$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x)$$且$S'(x)=\sigma(x)$连续，这就证明了定理。（三）定理的应用例3求函数$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^2}$的导数$S'(x)$。首先，计算导数级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-\sin(nx)}{n}$。现在需要判断这个导数级数在区间$[a,b]$上的一致收敛性，其中$a>0$，$b<2\pi$（避免在$x=0,2\pi$等点出现问题）。用狄利克雷判别法来判断。令$a_n(x)=\sin(nx)$，$b_n(x)=-\frac{1}{n}$。首先，部分和序列$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\sin(kx)$有界，因为$$|S_n(x)|=\left|\frac{\cos\frac{x}{2}-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}}\right|\leq\frac{2}{2\left|\sin\frac{x}{2}\right|}=\frac{1}{\left|\sin\frac{x}{2}\right|}$$当$x\in[a,b]$且$a>0$，$b<2\pi$时，$\left|\sin\frac{x}{2}\right|\geq\sin\frac{a}{2}>0$，所以$|S_n(x)|\leq\frac{1}{\sin\frac{a}{2}}$，即部分和序列一致有界。其次，数列${b_n(x)}=\left{-\frac{1}{n}\right}$单调递减且一致收敛于0。根据狄利克雷判别法，导数级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-\sin(nx)}{n}$在$[a,b]$上一致收敛。又因为原级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^2}$在$[a,b]$上收敛（用魏尔斯特拉斯判别法，$\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}$，而$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛），且每一个$u_n(x)=\frac{\cos(nx)}{n^2}$具有连续的导数$u_n'(x)=\frac{-\sin(nx)}{n}$，所以根据定理2，和函数$S(x)$的导数为$$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-\sin(nx)}{n}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}$$我们知道，当$x\in(0,2\pi)$时，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}=\frac{\pi-x}{2}$，所以$$S'(x)=-\frac{\pi-x}{2}=\frac{x-\pi}{2},\quadx\in(0,2\pi)$$这个结果可以通过直接对和函数求导来验证，因为$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^2}$是一个已知的傅里叶级数，其和函数为$S(x)=\frac{x^2}{4}-\frac{\pix}{2}+\frac{\pi^2}{6}$，$x\in[0,2\pi]$，求导后得到$S'(x)=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}=\frac{x-\pi}{2}$，与我们通过级数求导得到的结果一致。例4考察函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}$在$x\in(0,2\pi)$上的导数与级数求和的交换顺序。首先，原级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}$在$x\in(0,2\pi)$上收敛于和函数$S(x)=\frac{\pi-x}{2}$。其导数级数为$\sum_{n=1}^{\infty}\cos(nx)$，这个级数在$x\in(0,2\pi)$上是发散的，因为通项$\cos(nx)$不趋于0（当$n\to\infty$时，$\cos(nx)$在$[-1,1]$上振荡）。这说明导数级数不一致收敛，因此不能直接对原级数逐项求导。实际上，原级数的和函数$S(x)=\frac{\pi-x}{2}$在$x\in(0,2\pi)$上的导数为$S'(x)=-\frac{1}{2}$，而导数级数$\sum_{n=1}^{\infty}\cos(nx)$发散，所以$$\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}\right)'\neq\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin(nx)}{n}\right)'$$这个例子说明，当导数级数不一致收敛时，导数与级数求和的交换顺序可能不成立。四、积分与级数求和的交换顺序（一）问题的提出积分与级数求和的交换顺序问题，即$$\int_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}u_n(x)dx$$这个等式成立的条件是什么呢？这也是一致收敛性应用的一个重要方面。（二）积分与级数求和交换的条件定理3设函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在区间$[a,b]$上一致收敛于和函数$S(x)$，且每一个$u_n(x)$在$[a,b]$上连续，则和函数$S(x)$在$[a,b]$上可积，且$$\int_{a}^{b}S(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}u_n(x)dx$$即$$\int_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}u_n(x)dx$$证明由于$u_n(x)$连续且级数一致收敛，所以和函数$S(x)$在$[a,b]$上连续（一致收敛的连续函数项级数的和函数连续），因此$S(x)$在$[a,b]$上可积。对于任意给定的$\varepsilon>0$，由于级数一致收敛，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，对于所有的$x\in[a,b]$，都有$$|S_n(x)-S(x)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$$其中$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)$是部分和函数。根据定积分的性质，有$$\left|\int_{a}^{b}S_n(x)dx-\int_{a}^{b}S(x)dx\right|=\left|\int_{a}^{b}(S_n(x)-S(x))dx\right|\leq\int_{a}^{b}|S_n(x)-S(x)|dx<\int_{a}^{b}\frac{\varepsilon}{b-a}dx=\varepsilon$$这说明$$\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}S_n(x)dx=\int_{a}^{b}S(x)dx$$而$$\int_{a}^{b}S_n(x)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{n}u_k(x)dx=\sum_{k=1}^{n}\int_{a}^{b}u_k(x)dx$$所以$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{a}^{b}u_k(x)dx=\int_{a}^{b}S(x)dx$$即$$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}u_n(x)dx=\int_{a}^{b}S(x)dx$$这就证明了定理。（三）定理的推广与应用定理3中的条件可以适当放宽，例如，$u_n(x)$不一定连续，只要可积且级数一致收敛，结论仍然成立。此外，对于无穷区间上的积分，也有类似的定理，但需要更严格的条件。例5计算积分$\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}dx$。首先，判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}$在区间$[0,1)$上的一致收敛性。这是一个等比级数，公比为$x$，和函数为$S(x)=\frac{1}{1-x}$，$x\in[0,1)$。现在，用魏尔斯特拉斯判别法判断一致收敛性。对于$x\in[0,1-\delta]$（其中$0<\delta<1$），有$|x^{n-1}|\leq(1-\delta)^{n-1}$，而正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}(1-\delta)^{n-1}$收敛（公比为$1-\delta<1$），所以级数在$[0,1-\delta]$上一致收敛。但在区间$[0,1)$上，级数不一致收敛。因为对于任意的正整数$n$，取$x_n=1-\frac{1}{n}$，则$$|S_n(x_n)-S(x_n)|=\left|\frac{1-x_n^n}{1-x_n}-\frac{1}{1-x_n}\right|=\frac{x_n^n}{1-x_n}=n\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$由于$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\frac{1}{e}$，所以$\lim_{n\to\infty}|S_n(x_n)-S(x_n)|=\frac{n}{e}\to\infty$，这说明级数在$[0,1)$上不一致收敛。但是，我们可以在区间$[0,1)$内任意一个闭区间$[0,1-\delta]$上进行积分与级数求和的交换。首先，计算级数的和函数$S(x)=\frac{1}{1-x}$，$x\in[0,1)$，则积分$$\int_{0}^{1}S(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x}dx=-\ln(1-x)\big|_{0}^{1}=+\infty$$这说明积分发散。另一方面，计算级数各项的积分和：$$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}x^{n-1}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x^n}{n}\big|{0}^{1}\right)=\sum{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$这是调和级数，也是发散的。虽然积分和级数都发散，但它们的发散性是一致的，这说明在这种情况下，积分与级数求和的交换顺序在发散的意义下仍然成立。例6计算积分$\int_{0}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}dx$。首先，用魏尔斯特拉斯判别法判断级数的一致收敛性。由于$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$，而$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛，所以级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$在$[0,\pi]$上一致收敛。根据定理3，积分与级数求和可以交换顺序，所以$$\int_{0}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n^2}dx$$计算每一项的积分：$$\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n^2}dx=\frac{1}{n^2}\cdot\left(-\frac{\cos(nx)}{n}\right)\big|_{0}^{\pi}=\frac{1}{n^3}(1-\cos(n\pi))$$当$n$为偶数时，$\cos(n\pi)=1$，所以积分值为0；当$n$为奇数时，$\cos(n\pi)=-1$，所以积分值为$\frac{2}{n^3}$。因此，级数的和为$$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n^2}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{(2k-1)^3}$$已知$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\zeta(3)$（黎曼ζ函数），而$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^3}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^3}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^3}+\frac{1}{8}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3}$$所以$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^3}=\zeta(3)-\frac{1}{8}\zeta(3)=\frac{7}{8}\zeta(3)$$因此$$\int_{0}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}dx=2\times\frac{7}{8}\zeta(3)=\frac{7}{4}\zeta(3)$$这个结果也可以通过先求级数的和函数再积分来验证，因为$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$是一个傅里叶级数，其和函数为已知函数，积分后可以得到相同的结果。五、极限四则交换的进一步讨论（一）极限的四则运算与级数求和的结合在前面的讨论中，我们分别研究了极限与级数求和、导数与级数求和、积分与级数求和的交换顺序问题。实际上，这些问题都可以看作是极限的四则运算与级数求和的结合。极限的四则运算包括加法、减法、乘法、除法，而级数求和本身就是一种极限运算，即部分和序列的极限。因此，极限与级数求和的交换顺序，本质上是两种极限运算的交换顺序，即$$\lim_{x\tox_0}\lim_{n\to\infty}S_n(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\tox_0}S_n(x)$$其中$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)$。导数是一种特殊的极限，即$$S'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{S(x+\Deltax)-S(x)}{\Deltax}$$所以导数与级数求和的交换顺序，也是两种极限运算的交换顺序，即$$\lim_{\Deltax\to0}\lim_{n\to\infty}\frac{S_n(x+\Deltax)-S_n(x)}{\Deltax}=\lim_{n\to\infty}\lim_{\Deltax\to0}\frac{S_n(x+\Deltax)-S_n(x)}{\Deltax}$$积分也是一种特殊的极限，即黎曼和的极限，所以积分与级数求和的交换顺序，同样是两种极限运算的交换顺序。（二）一致收敛性的本质一致收敛性的本质是，部分和函数序列${S_n(x)}$在数集$E$上的收敛速度是均匀的，不依赖于$x$的位置。这种均匀收敛性保证了极限运算与级数求和运算的交换顺序是可行的。在数学分析中，一致收敛性是一个非常重要的概念，它不仅在函数项级数的理论中起着关键作用，在函数序列的理论中也有类似的应用。函数序列的一致收敛性与函数项级数的一致收敛性是等价的，因为函数项级数的部分和序列就是一个函数序列。（三）非一致收敛情况下的交换顺序虽然一致收敛性是极限与级数求和交换顺序的一个充分条件，但并不是必要条件。也就是说，当函数项级数不一致收敛时，极限与级数求和的交换顺序也可能成立。例7考察函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$在区间$[0,1]$上的积分与级数求和的交换顺序。在例1中，我们已经知道这个级数在$[0,1]$上不一致收敛，和函数为$$S(x)=\begin{cases}0,&x=0\1,&x\in(0,1]\end{cases}$$计算积分$\int_{0}^{1}S(x)dx=\int_{0}^{1}1dx=1$。另一方面，计算级数各项的积分和：$$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}dx$$令$t=x^2$，则$dx=\frac{dt}{2\sqrt{t}}$，当$x=0$时，$t=0$；当$x=1$时，$t=1$，所以积分变为$$\int_{0}^{1}\frac{t}{(1+t)^n}\cdot\frac{dt}{2\sqrt{t}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{t}}{(1+t)^n}dt$$令$u=\sqrt{t}$，则$t=u^2$，$d