应用基础数值 9

应用数值分析第十五讲数值积分与数值微分2求积分式

34复化求积公式5教学小结提纲Newton—Cotes公式1问题引入教学目标与重难点教学目标运用插值型积分公式、Newton-Cotes公式解决问题。能比较公式之间的优劣，解释公式的稳定性与收敛性。

1.能说出插值型积分公式及其特点；2.能说出Newton-Cotes公式及其特点；

3.运用插值型积分公式、Newton-Cotes公式解决相关问题。教学重点教学难点一问题引入一、问题引入在工程应用中常会遇到计算定积分由Newton－Leibniz公式，若F(x)是f(x)在[a,b]上的原函数则但公式要求f(x)在[a,b]上连续，且积分区间是有限区间。所以在工程应用中计算定积分常会出现以下困难1）f(x)不是连续函数，甚至也不是解析函数，而是通过实验、测量或计算得出的一组数据。2）f(x)的原函数不能用初等函数表示。如被积函数为一、问题引入3）f(x)的原函数表达式相当复杂，而且不同的被积函数f(x)，其原函数的表达形式一般来说是不同的。因此在工程计算中，需要构造一种积分方法，使其在误差范围内计算时既能节省工作量，又方便可行，这就是数值积分所要解决的问题如二求积公式二、求积公式1.数值积分的基本思想由定积分的定义其中。我们希望用被积函数f(x)在积分区间[a,b]内某些点处函数值的线性组合来近似代替定积分，即有求积公式其中称为求积节点，它只与积分区间[a,b]有关。Aj称为求积系数，它与求积节点xj有关，与f(x)的具体表达形式无关。E(f)称为余项。二、求积公式2.代数精度定义1

若求积公式（14.1）对所有次数不超过r次的多项式均能准确成立，而至少有一个r+1次多项式不能准确成立。则称求积公式（14.1）具有r次代数精度定理1

对任意给定的n+1个相异节点总存在相应的求积系数使求积公式（14.1）至少具有n次代数精度证明在求积公式（14.1）中分别令二、求积公式则有线性方程组方程组（14.2）的系数行列式是Vandermonde行列式。由于节点是相异节点，故方程组（14.2）的系数行列式不等于0。由Cramer法则，方程组有唯一的解二、求积公式3.插值型求积公式可以通过求解方程组（14.2）的方法来构造求积公式，称之为待定系数法。但当n比较大时，求解方程组（14.2）是较困难的事。由求积公式的唯一性，可采取对被积函数利用插值多项式近似代替的方法来构造求积公式。以求积节点xj为插值节点对f(x)进行Langrange插值有其中对（14.3）两端在[a,b]上积分，有二、求积公式令其中且与ξ

有关，由（14.4）式得求积公式二、求积公式定义2

若积分区间的端点为求积节点，称此类求积公式为闭型公式。若积分区间的端点不是求积节点，称求积公式为开型公式。若只有一个端点是求积节点，称求积公式为半开半闭公式。应用中对求积公式（14.1），常将余项E(f)舍去，得近似公式称E(f)为截断误差当时由此得知（14.4）式求积公式具有n次代数精度。三Newton-Cotes公式三、Newton—Cotes公式1.Newton—Cotes公式

将区间[a,b

]n等分，步长，求积节点为令，Lagrange插值基函数为求积系数Aj可表示为三、Newton—Cotes公式令称为Cotes系数，则求积公式可化为若取，由（14.6）有常见的Newton—Cotes公式三、Newton—Cotes公式（1）梯形公式（n=1）由(14.5），(14.6)式有故有求积公式近似公式为截断误差三、Newton—Cotes公式（2）Simpson公式（n=2，抛物形公式）故有近似公式三、Newton—Cotes公式其几何意义是用抛物线围成曲边梯形的面积近似代替以f(x)围成的曲边梯形的面积。如图所示三、Newton—Cotes公式(3)Cotes公式（n=4）定理2

设，则Simpson积分公式的余项为其中三、Newton—Cotes公式n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840几个低阶Cotes公式的求积系数三、Newton—Cotes公式定理3

当为偶数时（偶数等分），n+1个求积节点的Newton—Cotes公式至少具有n+1次代数精度。当n=8和n≥10时的n阶Newton—Cotes系数中，系数将有正有负。从定理1知，n+1个求积节点的Newton—Cotes求积公式至少具有n次代数精度，但由定理2知，当n=2时，Simpson公式具有3次代数精度。事实上当为偶数时有如下定理。例1

对定积分，试分别用梯形公式,Simpson公式，Cotes公式作近似计算。解:1)Newton—Leibniz公式，得准确值2)梯形公式三、Newton—Cotes公式3)Simpson公式4)Cotes公式3.

Newton—Cotes公式的稳定性

稳定性，即计算过程中舍入误差对最后计算结果的影响。设节点xj

处的准确值为，参加计算的近似值记为，令三、Newton—Cotes公式令，利用Cotes公式(14.6)式计算引起计算结果的误差有估计式当Cotes系数同号时有从而即公式是稳定的。三、Newton—Cotes公式当Cotes系数不同号时有从而有可能很大，稳定性得不到保证。事实上，仅当n≤7和n=9时Cotes系数才全是正的，其余的Cotes系数有正有负故一般不采用高阶的Newton—Cotes公式做数值积分。四复化求积分式四、复化求积公式由于高次Newton—Cotes公式的求积系数有正有负，引起数值计算的不稳定。另一方面,，Newton—Cotes公式是通过对被积函数f(x)进行Lagrange插值而构造出的积分公式，由于高次插值将会出现振荡现象。因此在实用中一般不采用高次Newton—Cotes公式进行数值积分。受分段插值的启示，对积分也可进行分段积分，称之为复化求积。其基本思想是将区间[a,b]分成n个小区间，在每个小区间上用低次Newton—Cotes公式作数值积分，再求和。将区间[a,b]n等分，步长，节点为为计算的方便，常取四、复化求积公式由定积分对积分区间的可加性有1.复化梯形公式使用梯形求积公式，有在（14.7）式右端对每个子区间上的积分四、复化求积公式称（14.8）式为复化梯形公式。用Tn表示将区间[a,b]n等分的复化梯形公式，进一步将子区间分为2个子区间也即将区间[a,b]进行2n等分，此时有此时的复化梯形公式为四、复化求积公式记由（14.8）和（14.9）有同理则得复化梯形公式Tn的余项表达式为设，则四、复化求积公式由闭区间上连续函数的介质定理，存在使故复化梯形公式的余项为2.复化Simpson公式在（14.7）式右端对每个子区间上的积分使用Simpson公式得复化Simpson公式四、复化求积公式由(14.8),(14.9)有由(14.10),(14.11)有四、复化求积公式同理类似于复化梯形公式余项的推导，可得复化Simpson公式的余项为

四、复化求积公式3.复化Cotes公式在（14.7）式右端对每个子区间上的积分使用Cotes公式，得复化Cotes公式clc;clear;formatlong;a=0;b=1;n=12;symsx;fun=4/(1+x^2);Hfun=@ComsimpsonRIvalue=feval(Hfun,fun,a,b,n）运行结果：Ivalue=3.252703751416491四、复化求积公式递推公式为当时，复化Cotes公式的余项为四、复化求积公式4.变步长方法数值积分可以用定步长积分法。定步长法在使用前，需首先确定一个适当的步长，即确定区间[a,b]的等分数n。但步长的选取是相当困难的，步长取大了，难以保证精度，取小了，将会增加计算工作量。因此实用中常用变步长法求积分变步长法也称逐次折半法，反复使用复化求积公式计算积分，直到相邻两次结果之差的绝对值小于误差精度为止。为便于计算机的编程，常取等分，对复化梯形公式，反复利用（14.9），（14.10）式计算积分值，直到对复化Simpson公式，反复利用（14.9），（14.10），（14.12）式直到四、复化求积公式对复化Cotes公式，反复利用（14.9），（14.10），（14.12）和（14.14）式直到为止例3

对积分，利用变步长方法求其近似值，使其精度达到解取1)复化梯形公式，由（14.9），（14.10）式有四、复化求积公式继续以上过程的计算，结果如表所示kTnkTnkTn00.920735540.945985080.946082710.939793350.946059690.946083020.944513560.9460765100.946083130.945690970.94608152)复化Simpson公式由复化梯形公式表中的数据和公式（14.12）得复化结果如表所示Simpson公式的计算四、复化求积公式kSnkSn00.946145930.946083010.946086940.946083120.9460833由复化Simpson公式表中的数据和公式（9.3.9）得计算结果如表所示。显然复化Cotes公式比复化Simpson公式的计算工作量少，而复化Simpson公式比复化梯形公式的计算工作量少。3)