5 瞬态质量分析

第五章控制系统瞬态质量分析主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@第五章主要内容5.1典型输入信号和时域指标5.2一阶系统的时域响应5.3二阶系统的时域响应5.4高阶系统分析5.5系统暂态特性与开环频率特性关系25.1典型输入信号和时域指标3对线性系统，时域分析法的步骤和要点是：

（1）建立数学模型（微分方程式，传递函数）

（2）选择合适的输入函数（典型信号）。取决于系统常见工作状态，同时，在所有可能的输入信号中，选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。

（3）求出系统输出随时间变化的关系（系统响应）

C(s)=G(s)R(s)c(t)=L−1[C(s)]

（4）根据时间响应确定系统的性能，包括稳定性、快速性和准确性等方面指标，看这些指标是否符合生产工艺的要求。45.1.1典型输入信号：（2）斜坡信号其数学表达式为（3）脉冲信号其数学表达式为（1）阶跃信号其数学表达式为t

f(t)01tf(t)0t

f(t)05（4）抛物线信号其数学表达式为（5）正弦函数其数学表达式为tf(t)0tf(t)065.1.2阶跃响应指标：

系统输出（响应）：由动态（过渡）过程和稳态过程两部分组成:（2）稳态过程：时间t趋于无穷大时的响应过程，稳态过程表征输出量最大限度复现输入量的程度，用稳态性能描述。（1）动态（过渡）过程：系统从刚加入输入信号后，到系统输出量达到稳态值前的响应过程，称为动态（过渡）过程。在这一期间，由于系统具有惯性、摩擦以及其它一些原因，输出量不可能完全复现输入量的变化。根据结构和参数选择情况，过渡过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式，如图所示。显然，一个可以运行的控制系统，其过渡过程必须是衰减的（稳定的）。7c(t)t0c(t)t0c(t)t0返回8

td，tr

,

tp

,

p

,

ts

等性能指标来衡量动态性能;ess稳态误差来衡量稳态准确性，其具体的定义见下一页：

pc(t)t010.50.05或0.02tr

tp

tstd工程上常用的性能指标动态性能指标：td，延迟时间，指响应曲线第一次达到稳态值的50%所需时间；tr

,

上升时间，指响应曲线从其稳态值的10%到90%所需时间；对于有振荡的系统，则取响应从0到第一次上升到稳态值所需的时间；tp

,峰值时间，指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值所需的时间；

p%,最大超调量，指输出响应的最大值超过稳态值的最大偏离量与稳态值之比的百分数。ts，调节时间，在响应曲线稳态上，取±∆（∆=5%或2%）作为误差带，响应曲线达到并不再超出该误差带所需的最小时间。稳态性能指标：ess

稳态误差，当时间趋于无穷时，响应曲线的实际值与期望值之差。9系统三大性能指标td、tr

、

tp

，表征系统响应初始段的快慢，衡量系统响应的初始快速性；ts

，表示系统的过渡过程时间，反映系统的总体快速性；

p%

，是对动态偏差的度量，反映系统响应过程的平稳性；ess，稳态误差来衡量稳态准确性，复现输入信号的精度。后三者被称为系统的三大性能指标。105.2一阶系统的时域分析凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。11T＝RC，时间常数。其典型结构图及传递函数为：RC

r(t)c(t)1Ts﹣+R(s)C(s)12tc(t)

０T

2T3T4T

当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。5.2.1单位阶跃响应

响应曲线在[0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。0.6320.950.9820.8651.013

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0

一阶系统响应具备两个重要的特点：①可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。②响应曲线的初始斜率等于1/T。14一阶系统的瞬态响应指标延迟td、上升tr、调整时间ts根据定义：︱c(ts)

1︱=

(

取5%或2%)5.3二阶系统的时域分析155.3.1

二阶系统单位阶跃响应1.二阶系统的数学模型标准化二阶系统的结构图为：闭环传递函数为

二阶系统有两个结构参数

(阻尼比)和

n(无阻尼振荡频率)

。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。s(s+2

n)R(s)C(s)

n2

﹣+微分方程式为：16

对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的。

例如RLC电路RCr(t)c(t)L17

j

05.3.2

二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环特征方程，即

s2+2

ns+

n2=0其两个特征根为：

上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比

的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：s1s2(1)

>1时，特征根为一对不等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。(2)

=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。18(3)

0<

<1

时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。

j

0s1=s2=

n

ns1s2

j

d

n

j

0

(4)=0时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。19

j

0

j

n

j

0(5)

<0时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现为幅值随时间增加而发散。-j

n

20

j

0s1s2

j

0s1=s2

ns1s2

j

d

n

j

0

j

0

j

n

阻尼比取不同值时，二阶系统根的分布215.3.3单位阶跃响应由式，其输出的拉氏变换为式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。

对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。（1）欠阻尼情况22

j

ns1s2

j

d

n0

23

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数

和

n决定。

c(t)t0c(t)t0（2）无阻尼情况c(t)=1cos

nt(t>0

)（3）临界阻尼情况24

此时响应是稳态值为1的非周期上升过程，其变化率t=0，变化率为0；t>0变化率为正，c(t)单调上升；

t→∞

，变化率趋于0。整个过程不出现振荡。tc(t)01

s1,2=-n（4）过阻尼情况25

响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。（不同于一阶系统）26tc(t)0127横坐标

nt

，曲线只是

的函数。

=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,228

p5.3.4欠阻尼二阶系统的动态性能指标

用tr

,

tp

,

p

,

ts

四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。c(t)t010.50.05或0.02tr

tp

tstd(1)上升时间tr

：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。29(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。30(3)超调量

p

：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。31

p只是

的函数，其大小与自然频率

n无关。

=0.2

p=52.7%=0.4

p=25.4%=0.6

p=9.5%

=0.707

p=4.3%

p

(4)调节时间ts

：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%所需要的时间。

c(t)c()c()(t

ts)32

工程上，当0.1<

<0.9

时，通常用下列二式近似计算调节时间。△=5%△=2%33总结：各性能指标之间是有矛盾的。(1)ωn

一定，使trtp

使ts

(

一定范围)必须必须必须(2)

一定，使

trtpts

ωn

(3)

p

只由

决定必须34例5-2单位负反馈随动系统如图所示

与典型二阶系统比较可得：K=

n21+KA=2

n

s(s+1)R(s)C(s)K﹣+1+As解:

系统的闭环传递函数为35(2)求

K和A的值

(=0.05)

36例5-3已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。

解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出超调量和峰值时间。

p=20%tp=0.1

求解上述二式，得到

=0.456，

n=39.6(rad/s)。于是二阶系统的开环传递函数为

1c(t)t01.20.15.4高阶系统的时域分析G(s)，H(s)一般是复变量s的多项式之比，故上式可记为375.4.1高阶系统的阶跃响应控制系统的基本结构如图所示。

其闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)38式中，zj,pi是零点和极点，系统有n个极点和m个零点。设输入为单位阶跃函数，求得C(s)，假设系统的n个极点互不相同，应用部分分式法，取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位阶跃响应的时间表达式：

根据能量的有限性，分子多项式的阶次m不高于分母多项式的阶次n。对上式进行因式分解，可以表示为

39

5.4.2闭环零、极点对系统的影响

1）高阶系统动态响应各分量的性质完全取决于极点在s平面上的位置，若极点位于左半平面，对应极点的分量将是衰减的，若极点位于右半平面，对应极点的分量是渐增的，若极点位于实轴上该分量是非振荡的，否则是振荡的，若位于虚轴上则是等幅振荡的。式中，K为稳态值，而Ai是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。上式表明，如果系统的所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的。40

2）如果所有极点位于s左半平面，则各留数的相对大小决定了各分量的比重，若某一极点附近有零点存在，则该极点留数会较小，对系统的影响就会变小。当某一极点远离零点，越靠近其他极点和原点，则相应系数越大，对系统的影响就会变大；

一个零点和一个极点距离非常近，两者对系统的作用将会抵消，把这一对零极点称为偶极子。

3）位于s左半平面的且远离虚轴的极点，不仅其留数小，衰减速度也快，持续时间短，因此，对系统的动态行为影响小。在工程上常忽略这种极点。4）如果所有闭环极点都位于s的左半平面，则系统响应中所有指数项和阻尼振荡项都将随时间t的增大而趋近于0，于是系统单位阶跃稳态输出c(∞)为K。41

5.4.3闭环主导极点

在稳定的高阶系统里，对系统瞬态响应起主导作用的极点，称为