26年山东省桓台第一中学高二下册期中数学试卷【附答案】

/数学一、单选题1.小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（）A.12 B.14 C.16 D.242.若函数在处可导，则（）A. B. C. D.3.函数的极小值为（）A. B. C.15 D.174.在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（）A.5 B.4 C.3 D.25.已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（）A.函数的增区间是B.函数的减区间是C.是函数的极大值点D.是函数的极大值点6.已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.8.设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（）A. B. C. D.二、多选题9.下列各式正确的是（）A. B.C. D.10.李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（）A.若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法B.若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法C.若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法D.若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法11.对于函数，则（）A.函数的单调递减区间为B.C.若方程有6个不等实数根，则D.对任意正实数，且，若，则三、填空题12.已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________13.甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有___________种.（用数字作答）14.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.四、解答题15.已知的展开式的二项式系数和为．（1）求；（2）求的展开式中含的项；（3）若，求．16.已知函数．（1）求的最值；（2）若，求的取值范围．17.甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人．（1）若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？（2）若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？（3）若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？18.已知函数（1）讨论函数的单调性（2）若函数的极大值为．①求实数a的值；②令，实数.求证：有两个极小值点，且.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递增，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.

数学一、单选题1.小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（）A.12 B.14 C.16 D.24答案：B解析：思路：根据分类加法计数原理即可求解.解答过程：根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种），总计种方式．故选：B2.若函数在处可导，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用导数的定义求解.解答过程：因为函数在处可导，所以.故选：B.3.函数的极小值为（）A. B. C.15 D.17答案：B解析：思路：求得，得出函数的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解.解答过程：由函数，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以是极小值点，则函数的极小值为.故选：B.4.在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：A解析：思路：先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可．解答过程：因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以仅有最大，则，的通项公式，其中，当时，是有理项，所以，即的展开式中有理项的项数是5．故选：A．5.已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（）A.函数的增区间是B.函数的减区间是C.是函数的极大值点D.是函数的极大值点答案：C解析：思路：根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.解答过程：根据的图象可知：当时，；时，，当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.因此函数在时取得极小值，在取得极大值.故ABD错误，C正确.故选：C6.已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用解方程组法可得，由单调性可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解.解答过程：因为，可得，联立方程，消去可得，因为为增函数，则在内恒成立，即在内恒成立，又因为，当且仅当，即时，等号成立，可得，所以a的取值范围是.故选：D.7.已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案.解答过程：令，，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以等价于，即，所以，即不等式的解集为．故选：A．8.设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出的导数，再分别求出的单调递减区间和的单调递增区间，最后根据“缓减区间”的定义判断各选项即可.解答过程：由题意得，又，由，得，解得，，即的单调递减区间为，．设，则．由得，即，又，则，解得，，即的单调递增区间为，．由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为，，而是的子集，是“缓减区间”；不是的子集，不是“缓减区间”；是的子集，是“缓减区间”；是的子集，是“缓减区间”.二、多选题9.下列各式正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：根据排列数和组合数的公式和性质进行计算即可.解答过程：对A选项，，A正确；对B选项，左边=，B错误；对C选项，方法一：，方法二：，C正确；对D选项，，故D错误.故选：AC.10.李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（）A.若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法B.若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法C.若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法D.若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法答案：AB解析：思路：考虑在各选项的条件下，3个人分书的本数可能的情况，结合平均分组以及不平均分组问题的解法求解各选项中的分法，即可求得答案.解答过程：若刚好每人分到3本书，则有种不同的分法，故A正确；若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是，，，所以有种不同的分法，故B正确；若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是，，，所以有种不同的分法，故C不正确；若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是，，，所以有种不同的分法，故D不正确．故选：AB11.对于函数，则（）A.函数的单调递减区间为B.C.若方程有6个不等实数根，则D.对任意正实数，且，若，则答案：ACD解析：思路：对于A，由结合定义域可得的递减区间；对于B，由题可得在上单调递增，随后利用可判断选项正误；对于C，由AB分析可得大致图像，再由为偶函数及，可得图像，最后由数形结合思想可判断选项正误；对于D，由AB分析，设，可得，再设，由，可得，随后构造函数，利用其单调性可判断选项正误.解答过程：定义域为，.对于A，，从而的单调递减区间为：，故A正确；对于B，，则在上单调递增.注意到，又，则，故B错误；对于C，因，，，结合单调性可画出大致图象.又，，则为偶函数，轴右侧图像与图像一致，据此可画出大致图像，又，则为得到图像，需在x轴上方图像不变，在x轴下方图像沿x轴翻折，据此得到图像如下：为使方程有6个根，则图像与直线有6个交点，从而，故C正确；对于D，设，由AB分析，若，则.设，因，则，则.从而.令，，再令，则在上递增，则，从而在上单调递增，从而.则时，，故D正确.三、填空题12.已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________答案：1解析：思路：首先根据导数的几何意义求出直线与曲线的交点（切点），然后根据切点在直线上求出，最后求出直线与的交点（切点）即可求出.解答过程：设直线在处的切点坐标为，在处的切点坐标为，，，因为直线是曲线和的公切线，所以，解得，则，把代入直线中可得，又，解得，把代入直线中可得，再把代入中可得，即，所以.故答案为：113.甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有___________种.（用数字作答）答案：60解析：思路：利用间接法可求得甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位的分配方法数.解答过程：甲、乙、丙、丁等6名大学生被平均分到三个单位有.其中甲、乙在同一个单位的分法有种，丙、丁在同一个单位的分法有种，甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有种，故甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有.故答案为：.14.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.答案：解析：思路：令，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.解答过程：由题意知有两个相异实根，即，也即与的图象有两个交点.，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减.且，当时，，所以在处取得极大值也即是最大值为.画出的图象如下图所示，由图可知，要使与的图象有两个交点，则需.故答案为：四、解答题15.已知的展开式的二项式系数和为．（1）求；（2）求的展开式中含的项；（3）若，求．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由二项式系数和可得出关于的等式，解之即可；（2）利用二项展开式通项可求出展开式中含的项；（3）令可得出的值，令可得出的值，即可得出的值.（1）的展开式的二项式系数和为，解得.（2）展开式的通项公式为,令，解得，代入通项公式得.（3）因为，令，得，令，得，所以.16.已知函数．（1）求的最值；（2）若，求的取值范围．答案：（1）最小值为，无最大值（2）解析：思路：（1）求出导函数并求出单调区间，即可求解其最值.（2）将问题转化为在上恒成立，令，利用导数法求得的最大值，令，利用导数研究其单调性，求出，最后利用单调性求得的取值范围.（1）的定义域为，求导得．则当单调递减；当单调递增，所以，无最大值．（2）因为在上恒成立，即在上恒成立．令，则．因为方程中，故该方程有两个不相等的根，且，故有且仅有一个正根，记为，所以，即．故当时，单调递增；当时，单调递减，所以．令，则．故当时，单调递减；当时，单调递增．令，解得或，所以．易知在上单调递增，所以．又，故的取值范围为．17.甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人．（1）若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？（2）若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？（3）若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先平均分成3组，然后利用全排列和分步计数原理求解即可；（2）先将6名学生分成3组，其中甲、乙、丙在同一组，可分为两种情况：①甲、乙、丙为一组，其余3人分成两组；②甲、乙、丙与另外1人组成一组，其余2人各为一组。计算出两种情况下的安排方法数再相加即可；（3）先将甲、乙、丙分别安排到3个社区，然后剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，进而利用分步乘法计数原理求解即可.（1）将6名学生平均分成3组，分法数为（种），再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种），根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）；（2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法．将剩下的3人分成2组，分法数为（种），再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种），根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）；②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法．再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种），根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）；综上不同的安排方法有（种）；（3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种），剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种），根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）.18.已知函数（1）讨论函数的单调性（2）若函数的极大值为．①求实数a的值；②令，实数.求证：有两个极小值点，且.答案：（1）当时，在递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）①；②，则，可知的定义域为，构造，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，且当趋近于0或时，趋近于，可知在内值域为，令，可得，则，且，令，解得，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，由的单调性和值域可知关于x的方程有2个不同的实数根，不妨设，因为，则有：当时，则，可知在内单调递减；当时，则，可知在内单调递增；当时，则，可知在内单调递减；当时，则，可知在内单调递增；所以有两个极小值点，又因为，则，，所以.解析：思路：（1）先求的定义域，再求导，根据的范围分类讨论即可求解；（2）①根据的极大值即可求；②由