3.3.2二次根式的混合运算-教学教学课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册3.3.2二次根式的混合运算专项练习（全文1231字）##核心考点掌握二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；会运用整式乘法公式（单项式乘多项式、多项式乘多项式、平方差、完全平方公式）进行二次根式计算；运算结果化为最简二次根式；能区分整式运算与二次根式运算的异同。答题要求：整式的运算法则、乘法公式在二次根式中仍然适用；运算顺序不能乱；同类二次根式最后合并；结果分母不含根号。##一、知识梳理1.运算顺序：和实数、整式混合运算一致。先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面。2.常用乘法公式：平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2}$单项式乘多项式：$\(m(a+b)=ma+mb\)$多项式乘多项式：$\((a+b)(m+n)=am+an+bm+bn\)$3.运算要点：①二次根式的乘除优先于加减；②能用乘法公式优先用公式简化计算；③每一步运算结果尽量化简；④最后合并同类二次根式；⑤最终结果必须是最简二次根式，分母不带根号。4.重要提醒：公式中的$\(a,b\)$可以是二次根式；不要在乘除还没算完的时候就盲目合并根式；注意符号，完全平方公式中间项是$2ab$，不要漏掉系数2。##二、选择题（每题5分，共30分）1.$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$的结果是（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$\sqrt{3}$2.计算$\sqrt{2}(\sqrt{8}-\sqrt{2})$等于（）A.$\sqrt{16}-\sqrt{4}$B.$2$C.$4$D.$6$3.$(\sqrt{5}+2)^2$展开结果为（）A.$\(5+4=9\)$B.$5+2\sqrt{5}+4=9+2\sqrt{5}$C.$5+4\sqrt{5}+4=9+4\sqrt{5}$D.$5-4\sqrt{5}+4=9-4\sqrt{5}$4.下列计算正确的是（）A.$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{10}$B.$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=3\sqrt{2}$C.$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+3=5$D.$\sqrt{12}\div\sqrt{3}=4$5.计算$(2\sqrt{3}-\sqrt{6})\div\sqrt{3}$结果是（）A.$2-\sqrt{2}$B.$2-\sqrt{6}$C.$1$D.$2\sqrt{3}-\sqrt{2}$6.化简$(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})$等于（）A.$2$B.$12$C.$\sqrt{2}$D.$\sqrt{7}-\sqrt{5}$##三、填空题（每题6分，共30分）1.$\sqrt{3}(\sqrt{12}-\sqrt{3})=$__________。2.$(\sqrt{6}-3)^2=$__________。3.$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=$__________。4.$\sqrt{27}-\sqrt{3}\times\sqrt{4}=$__________。5.$(\sqrt{2}+1)^2=$__________。##四、解答题（每题10分，共40分）1.基础混合运算：（1）$\sqrt{2}(\sqrt{18}-\sqrt{2})$（2）$\sqrt{48}\div\sqrt{3}+\sqrt{\dfrac12}\times\sqrt{12}$2.乘法公式计算：（1）$(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})$（2）$(2\sqrt{2}-3)^2$3.较复杂混合运算：（1）$(\sqrt{6}-2\sqrt{15})\times\sqrt{3}-6\sqrt{\dfrac12}$（2）$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})-(\sqrt{3}-1)^2$4.求值题：已知$a=\sqrt{2}+1$，求代数式$a^2-2a$的值。##五、参考答案与解析选择题：1.A；平方差$(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$；2.B；原式$=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$；3.C；完全平方展开$(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot2+2^2$；4.B；A不能直接合并；C漏$2ab$项；D结果等于2；5.A；$2\sqrt{3}\div\sqrt{3}-\sqrt{6}\div\sqrt{3}=2-\sqrt{2}$；6.A；$7-5=2$。填空题：1.$9$；2.$15-6\sqrt{6}$；3.$-1$；4.$\sqrt{3}$；5.$3+2\sqrt{2}$。解答题：1.（1）原式$=\sqrt{36}-\sqrt{4}=6-2=4$；（2）原式$=\sqrt{16}+\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$。2.（1）原式$=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2=10-7=3$；（2）原式$=(2\sqrt{2})^2-2\times2\sqrt{2}\times3+3^2=8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2}$。3.（1）原式$=\sqrt{18}-2\sqrt{45}-6\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}-6\sqrt{5}-3\sqrt{2}=-6\sqrt{5}$；（2）原式$=(9-5)-(3-2\sqrt{3}+1)=4-(4-2\sqrt{3})=2\sqrt{3}$。4.解：$a^2-2a=a(a-2)$，代入$a=\sqrt{2}+1$原式$=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1-2)=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$。答：代数式的值为1。##六、易错点总结二次根式混合运算四类高频丢分点。第一，运算顺序出错，先加减后乘除，违背“先乘除后加减”。第二，使用完全平方公式时漏掉中间的$2ab$项，直接写成$(a\pmb)^2=a^2+b^2$，这是最常见错误；平方差公式要分清同号项、异号项。第三，分配律漏乘，单项式乘多项式时只乘第一项，后面括号内项忘记相乘。第四，计算完成没有化简，或者分母还留有根号；合并同类二次根式出错。整式乘法公式在二次根式运算完全通用，做题固定流程：观察式子，优先用乘法公式简化；按顺序先乘方、乘除；化简所有二次根式；合并同类二次根式；检查结果是否最简。做完可以代入近似小数验算结果。（全文：1231字）下一节：**第4章一元二次方程4.1一元二次方程**，同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册3.3.2二次根式的混合运算授课教师：.

班

级：

8年级（

）班.

时

间：.

2026/9/28

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章二次根式01教学目标理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。01掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。02通过类比整式运算，培养归纳推理能力。0302新知导入

02新知导入

02新知导入二次根式的加减的一般运算步骤：1.化：先将每一个二次根式化简.2.找：找出被开方数相同的二次根式.3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.回顾：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，是什么？先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的.03新知探究做一做

你还有其它方法吗？03新知探究

03新知探究二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和结合律进行的.

B

C

返回返回3．[张家界市期末]如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为___.203新知探究

例3

可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.03新知探究

例4

03新知探究

例5

怎么将分母有理化？

03新知探究

例5

03新知探究

04课堂练习【知识技能类作业