4.1.2 垂线 教学教学课件 -2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

#华东师大版七年级上册4.1.2垂线专项练习（约1212字）##一\(AB、CD\)知识点梳理**垂线定义**：两条直线相交，如果夹角是$90^\circ$，就称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。记作：$AB\perpCD$，垂足为$O$。两条重要基本事实：1.**过一点有且只有一条直线与已知直线垂直**（点可以在直线上，也可以在直线外）。2.**垂线段最短**：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。**点到直线的距离**：直线外一点到这条直线的**垂线段的长度**，叫做点到直线的距离。要点：1.垂直是相交的特殊情况，垂直一定相交，相交不一定垂直。2.画垂线可以用三角尺或量角器；线段\(AB、CD\)射线的垂线，是指它们所在直线的垂线。易错提醒：点到直线的距离是**长度（数值）**，不是垂线段这条线段本身；混淆“垂线段最短”和“两点之间线段最短”；误认为一条直线只有一条垂线；过一点画线段的垂线，垂足可能在线段延长线上；判断垂直只看夹角是否$90^\circ$，和摆放方向无关。##二\(AB、CD\)基础巩固1.选择题（1）下列说法正确的是（）A.两条直线相交，就是互相垂直B.互相垂直的两条直线夹角一定是$90^\circ$C.点到直线的距离就是垂线段D.直线外一点到直线只能画一条斜线段（2）直线$AB\perpCD$，交点为$O$，则$\angleBOC$度数为（）A.$45^\circ$B.$90^\circ$C.$120^\circ$D.$180^\circ$2.填空（1）过一点有且只有____条直线与已知直线垂直。（2）直线外一点到直线上所有点连线中，____最短。（3）点到直线的距离，是点到直线的________。##三\(AB、CD\)能力提升1.判断对错，对打√，错打×①垂直是相交的一种特殊情况（）②点到直线的距离是垂线段（）③过直线外一点，可以画无数条直线和已知直线垂直（）④线段的垂线，是线段所在直线的垂线（）2.直线$AB\(AB、CD\)CD$交于$O$，$OE\perpAB$，$\angleCOE=50^\circ$，求$\angleBOD$。3.简述生活中利用“垂线段最短”的实例。##四\(AB、CD\)列式与实际应用题1.如图，公路$l$旁有村庄$P$，要修一条小路连接村庄到公路，怎样修路路程最短？写出作图方法和依据。2.直线$AB$与$CD$相交于点$O$，$OE\perpCD$，$\angleAOE=42^\circ$，求$\angleBOD$度数。##五\(AB、CD\)参考答案与解析###基础巩固1.（1）答案：B。解析：垂直是夹角$90^\circ$的相交；距离是垂线段的长度，不是线段本身。（2）答案：B。解析：垂直相交，夹角$90^\circ$。2.（1）一；（2）垂线段；（3）垂线段的长度。###能力提升1.①√；②×；③×；④√。2.解：$OE\perpAB$，$\angleAOE=90^\circ$，$\angleAOC=90^\circ-50^\circ=40^\circ$。$\angleBOD=\angleAOC=40^\circ$（对顶角相等）。答：$\angleBOD=40^\circ$。3.示例：从河边向村庄引水，沿垂线段铺设水管，节省材料。###应用题1.解：过点$P$作公路$l$的垂线段，垂足为$Q$，沿$PQ$修路最短。依据：**垂线段最短**。答：过$P$作公路的垂线，垂足为修路终点。2.解：$OE\perpCD$，$\angleEOD=90^\circ$。$\angleAOE+\angleEOD+\angleBOD=180^\circ$$\angleBOD=180^\circ-90^\circ-42^\circ=48^\circ$。答：$\angleBOD=48^\circ$。##六\(AB、CD\)专项小结垂线核心：垂直定义\(AB、CD\)两条基本事实\(AB、CD\)点到直线距离。高频易错：**距离是长度，不是线段**，这个概念填空选择题高频丢分。区分两个最短：两点之间线段最短；点到直线，垂线段最短，不要混淆。题型：垂直概念判断；角度计算（结合对顶角\(AB、CD\)邻补角）；作图题；生活实际应用。几何计算题思路：看到垂直直接得到$90^\circ$，再结合对顶角\(AB、CD\)邻补角来计算其他角。做题技巧：看到“点到直线距离”，立刻警惕概念陷阱；画线段垂线，垂足不一定在线段上，有可能在延长线上。答题写依据时，分清两个基本事实，不要写混理由。本节是相交线重点，后面学习平行线\(AB、CD\)三角形的高都会用到垂线知识。做题注意几何语言规范，计算角度时写出推理依据，为同位角\(AB、CD\)内错角的学习做好铺垫。（全文：1212字）接下来写**4.2同位角\(AB、CD\)内错角\(AB、CD\)同旁内角**，同样格式1212字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学七年级上册4.1.2垂线授课教师：.

班

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7年级（

）班.

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2026/9/28

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章相交线与平行线观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？新课讲授【问题】取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．1）当a与b所成锐角α为45°时，其余的角分别为多少？2）当a与b所成锐角α为60°时，其余的角分别为多少？3）观察结果，你发现了什么？按照顺时针方式，其余角分别为：135°、45°、135°按照顺时针方式，其余角分别为：120°、60°、120°a与b所成角随木条b的转动而变化新课讲授【问题】取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．4）尝试转动木条，是否存在一种情况使a与b所形成的四个角都相等。5）当a与b所成锐角α为90°时，其余的角分别为多少？∵周角为360°∴若形成四个相等的角，则这个角为90°当a与b互相垂直时，所成的四个角都为90°按照顺时针方式，其余角分别为：90°、90°、90°新课讲授两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．读作：AB垂直CD于点Ｏ如图，若直线AB与CD垂直，则用符号“⊥”表示，即AB⊥CD几何描述：1）∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°2）∵∠AOC=90°,∴AB⊥CD典例分析例1如图，点O在直线AB上，∠EOD＝90°，∠COB＝90°，那么下列说法错误的是（）A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余C．∠AOE与∠COD互余 D．∠AOC与∠COB互补

例2如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠COD＝24°．则∠AOC的度数是()A．22° B．46° C．68° D．78°CD知识点1

垂线（第1题）

B

A.

2个

B.

3个

C.

4个

D.

5个（第2题）

D

（第2题）

C

新课讲授【问题】经过直线m和直线m外一点A，过点A画直线m的垂线，想一想有几种方法？新课讲授【问题】经过直线m和直线m外一点A，过点A画直线m的垂线，想一想有几种方法？1.一落：把三角尺的一条直角边落在已知直线上;

2.二过：让三角尺的另一条直角边经过已知的点;3.三画：沿着直角边经过已知点画直线。新课讲授【问题】经过直线m和直线m外一点A，过点A画直线m的垂线，你能作出几条？新课讲授【问题】经过直线m上一点P，过点P画直线m的垂线，你能作出几条？你发现了什么？在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.新课讲授对于线段的垂线，有一种特殊且重要的情况，如下图，直线CD经过线段AB的中点0，并且垂直于线段AB，则有A0=BO，AB⊥CD，我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.新课讲授在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？将实际问题转化为数学问题（如下图），即求直线外一点p与直线的最短距离。思考：最短距离是哪条线段，为什么？直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称：“垂线段最短”线段PO的长度，就叫做点P到直线l的距离.课堂测试例3如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是()A．线段CA的长度 B．线段CM的长度C．线段CD的长度 D．线段CB的长度C例4如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由（

）A．垂线段最短 B．过两点有且只有一条直线C．过一点可以作无数条直线 D．两点之间线段最短A课堂测试1．如图，已知𝑂𝑁⊥𝑙，𝑂𝑀⊥𝑙，所以𝑂𝑀与𝑂𝑁重合，这个推理的根据是（

）A．过一点只能作一条垂线B．过两点只能作一条垂线C．垂线段最短D．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线D2．在数学课上，同学们在练习过点B作线段𝐴𝐶所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C知识点2

垂线的画法

BA.

①④

B.

①③

C.

②④

D.