《二次函数的应用》教学设计

《二次函数的应用》教学设计《二次函数的应用》教学设计教材：冀教版九年级下册二次函数的应用

课时：第1课时（45分钟）

课型：新授课一、教材分析本节课是在学生掌握二次函数图像、性质、求解析式之后的一节应用课。冀教版教材将二次函数实际应用分为面积最值、销售利润最值、抛物线型实物三类问题。本节课重点学习面积最值与销售利润最值。

核心是让学生经历实际问题→抽象变量关系→建立二次函数模型→利用函数性质求最值→检验实际意义，渗透数学建模、数形结合思想，是中考函数应用题核心考点，也为后续学习抛物线实际问题奠定基础。二、学情分析九年级学生能够记住二次函数顶点公式，会求抛物线顶点最值，但存在明显难点：阅读应用题困难，不会梳理数量关系，难以列出函数关系式；习惯性直接套用顶点求最值，忽略自变量的实际取值范围；不理解：顶点最值是全体实数范围内的最值，实际问题图像只是抛物线的一段；利润问题容易混淆单件利润、销售量之间的变化关系。三、教学目标知识与技能

能分析实际问题中的变量，建立二次函数模型；会利用二次函数性质求面积、销售问题中的最大（小）值，能结合实际检验结果合理性。过程与方法

通过探究面积、利润问题，经历完整数学建模过程，提升阅读理解、分析问题能力，体会数形结合思想。情感态度与价值观

感受二次函数在生产生活中的价值，培养严谨审题、检验结果的习惯，增强应用数学的意识。四、教学重难点重点：建立二次函数模型，利用二次函数求实际问题的最值。难点：确定自变量的取值范围；根据自变量范围判断最值在顶点还是区间端点。五、教学准备多媒体课件、学案、几何画板（可选，展示分段抛物线图像）六、教学过程（一）复习引入（5分钟）教师提问：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当a>0开口向上，有最\\\值；顶点横坐标公式：x=−b2教师强调：顶点的最值，是x取全体实数时的最值；实际问题中x有取值限制，图像只是抛物线的一部分，最值不一定在顶点！情境导入：生活中，用篱笆围花圃，怎样围面积最大？商品如何定价，获得利润最高？这类最值问题，可以用二次函数解决。

板书课题：二次函数的应用（二）新知探究一：面积最值问题（12分钟）例题（教材原型）：用长40m的篱笆，一面靠墙围成矩形花圃，墙足够长。设垂直于墙的边长为xm，矩形面积为Sm2。

（1）写出S与x的函数关系式；

师生共同分析：垂直墙边长：x；平行墙边长：40−2x面积：S=x(40−2x)=−2自变量范围：边长大于0

x>040−2x>0，解得：a=−2<0，抛物线开口向下，顶点处取得最大值。

顶点横坐标：x=−402×(−2)=10

x=10，在0<x<20范围内。答：当垂直墙的边长为10m时，花圃最大面积为200m2✅变式探究（突破难点）

若墙长只有15m，即平行墙的边长不能超过15m，求最大面积。

分析：0<40−2x≤15，解得12.5≤x<20

顶点x=10不在区间[12.5,20)内；

a=−2<0，在x≥10时，S随x增大而减小。

因此在区间左端点x=12.5时面积最大。教师总结建模四步法：

①审题，找出变量；

②列关系式，写出二次函数解析式；

③根据实际意义，求自变量取值范围（重中之重）；

④结合取值范围，利用函数性质求最值，检验并作答。（三）新知探究二：销售利润最值（15分钟）例题：某商品每件进价40元，售价60元，每周可以卖出300件。市场调查：每涨价1元，每周少卖出10件。设每件涨价x元，每周利润为y元。

（1）写出y关于x的函数关系式；

（2）如何定价，才能使每周利润最大，最大利润是多少？梳理数量关系，引导学生列表：

单件利润=售价−进价=(60+x)−40=20+x

销售量=300−10x

总利润=单件利润×销售量自变量范围：销量大于0，300−10x>0，且x≥0，0≤x<30

a=−10<0，开口向下。顶点横坐标

x=−1002×(−10)=5，在取值范围内。

答：定价65元，最大利润6250元。小组讨论变式：若规定售价不能超过63元，求最大利润。

60+x≤63⇒x≤3，顶点x=5超出范围。

在0≤x≤3，y随x增大而增大，x=3利润最大。易错提示：利润问题，分清涨价、降价对销量的影响；自变量要保证销量为正数，价格合理。（四）当堂巩固练习（7分钟）基础题：用总长20m铁丝围成矩形，求矩形的最大面积。拔高题：某商品进价30元，售价40元，每周卖150件，每降价1元多卖5件，设降价x元，写出利润函数，求最大利润。

学生独立完成，指名板书，教师点评，重点检查自变量范围。（五）课堂小结（3分钟）师生共同总结：二次函数解决实际最值四步骤；求最值，先确定自变量取值范围；

✔顶点在范围内：顶点取最值

✔顶点不在范围内：在区间端点求最值数学思想：建模思想、数形结合思想。（六）作业布置（3分钟）必做题：教材课后习题（面积、利润应用题各一道）选做题：抛物线拱桥问题（下节课铺垫）七、板书设计二次函数的应用建模四步：找变量列解析式确定自变量取值范围⭐求最值、检验作答面积模型：S=x(40−2x)=−2x2+40x

利润模型：总利润=单件利润×销售量

顶点横坐标：八、教学反思（课后填写）学生最容易忽略自变量取值范围，变式对比训练要继续加强；文字应用题阅读量大，引导学生用表格整理数量关系，降低难