16.3.2 完全平方公式 教学教学课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.3.2完全平方公式1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.2.灵活应用完全平方公式进行计算.3.掌握添括号法则，体会添括号和去括号之间的内在联系，并会运用乘法公式进行整式变形.

一块边长为a米的正方形农田，将其边长增加b米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）.你能用几种方式表示农田的总面积？abba①直接法：S总=②间接法：S总=abb2a2ab(a+b)2a2+2ab+b2知识点1完全平方公式探究：根据乘方的意义，我们知道：a2=a·a，据此计算下列各式的积，你能发现什么规律？（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1（2）(m+2)2=()(

)=

.m2+4m+4（3）(p-1)2=(

)(

)=

.p2-2p+1（4）(m-2)2=(

)(

)=

.m2-4m+4m+2m+2p-1p-1m-2m-2上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘.问题1：

(a±b)2

应该写成什么样的结果形式呢？根据乘方的意义和多项式乘多项式的法则可得：(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.①两个公式等号左边：都是一个二项式的完全平方，一个是和的完全平方，一个是差的完全平方.②两个公式等号右边：都是一个二次三项式，首项和尾项分别是二项式中两项的平方，中间一项是（加或减）二项式中两项乘积的2倍.问题2：比较式子等号的左右两边，你发现它们有什么特点？

(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2

(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2．即

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=b的特殊情形.简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”思考：你能根据图(1)

和图(2)

中图形的面积说明完全平方公式吗？baab图(1)①④②③baab图(2)

①②④③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.（法一）大正方形的边长为a＋b，面积就是(a＋b)2.（法二）①②③④四个部分，它们的面积分别为

a2，ab，ab，b2整个面积为

a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.1.如何用不同的方法表示大正方形的面积？baab图(1)①④②③和的完全平方公式：baab图(2)

①②④③（法一）图

②中正方形

①的边长为

a－b，面积为(a－b)2.2.如何用不同的方法表示正方形①的面积？（法二）把正方形

①的面积看成大正方形的面积

a2

减去右边和上边两个长为

a

，宽为

b

的长方形面积之和，即2ab

，此时重复减了

④的面积，即

b2

，应将其补上，也就是

a2－2ab＋b2.(a－b)2＝a2－2ab＋b2.差的完全平方公式：分析：在(1)中，可以把4m

看成

a

，把n

看成b，

即

(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2

(a＋b)2＝a2＋2·a·b＋b2例1运用完全平方公式计算：

解：（1）原式=(4m)2+2·4m·n+n2=16m2+8mn+n2

；

模仿(1)的分析过程，尝试解答第(2)题？(1)1022；解：(1)1022=(100+2)2=1002+22+2×100×2=10404.(2)992.(2)992=(100–1)2=1002+12-2×100×1=9801.

例2

运用完全平方公式计算：知识点拨：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．思考：观察下列三组式子，它们之间有何数量关系？①(a+b)2与(-a-b)2；②(a-b)2与(b-a)2；③(a-b)2与a2-b2.(a+b)2=a2+2ab+b2(-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2互为相反数的两个数平方相等，故(-a-b)2=(a+b)2，(b-a)2=(a-b)2.

(a+b)2=(-a-b)2

(a-b)2=(b-a)2①②中的式子相等，③不相等.a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a–b–c.a+b+c=a+(b+c);a–b–c=a–(b+c).去括号法则：把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号：添括号时，如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.添括号法则：“负变正不变”知识点2添括号法则例3运用乘法公式计算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]解:(1)(2)原式=[(a+b)+c]2=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.总结：整式相乘可以先作适当变形，然后再用公式.计算：(1)(a－b＋c)2；(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．＝1－4x2＋4xy－y2.解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.(2)原式＝[1－(2x－y)][1＋(2x－y)]＝12－(2x－y)2完全平方公式字母表示：(a±b)2=a2±2ab+b2如果括号前面是正号，括到括号里的各项都________；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_____符号注意内容两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.1.项数、符号、字母及其指数.2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行.3.弄清完全平方公式和平方差公式不同添括号法则

不变号

改变1．与(x－2)2相等的是(

)A．x2－4B．x2＋4x＋4C．x2－4x＋4D．x2－4x＋2C2.下列各式中，可用完全平方公式计算的是()D

3．一块方巾铺在正方形的茶几上，四周刚好都垂下4cm，如果设方巾的边长为acm，则茶几的面积为(

)A．(a2－16)cm2B．(a2－64)cm2C．(a2－16a＋64)cm2D．(a2－8a＋16)cm2C

AA.25

B.19

C.9

D.65.运用乘法公式计算：

6.运用完全平方公式计算：（1）982；

（2）70.52.解：(1)982=(100–2)2=1002–2×100×2+22=10000–400+4=9604(2)70.52=(70+0.5)2=702+2×70×0.5+0.52=4900+70+0.25=4970.257.先化简，再求值：(x+y)(x-y)-(2x-y)2，其中x=3，y=4.解：原式=x2-y2-(4x2-4xy+y2)=-3x2+4xy-2y2当x=3，y=4时，原式=-27+48-32=-11.8.已知

x－y＝6，xy＝－8.求：(1)x2＋y2

的值；(2)(x＋y)2

的值.＝36－16＝20.解：(1)∵x－y＝6，x