15.4.3 含30°角的直角三角形的性质-教学课件 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

##知识点梳理1.**定理**：在直角三角形中，如果一个锐角等于\(30^\circ\)，那么它所对的**直角边等于斜边的一半**。符号语言：在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(\angleA=30^\circ\)，则\(\boldsymbol{BC=\dfrac12AB}\)。>>注意：是**\(30^\circ\)角对着的直角边**，不是另一条直角边！2.**逆定理**：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于\(30^\circ\)。符号语言：在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(BC=\dfrac12AB\)，则\(\boldsymbol{\angleA=30^\circ}\)。3.常用边长比例：\(30^\circ、60^\circ、90^\circ\)直角三角形三边之比：\(\boldsymbol{1:\sqrt{3}:2}\)短直角边（对\(30^\circ\)）\(:\)长直角边（对\(60^\circ\)）\(:\)斜边。4.常见模型：等边三角形作高，分成两个全等的含\(30^\circ\)的直角三角形。本节重点：利用性质求线段长度；分清哪条直角边是斜边一半；逆定理判断\(30^\circ\)角；几何计算与简单证明。##二、基础专项练习题###（一）选择题（每题4分，共20分）1.在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(\angleB=30^\circ\)，斜边\(AB=8\)，则AC长为（）A.2B.4C.6D.82.\(\text{Rt}\triangleABC\)，\(\angleC=90^\circ\)，若一条直角边\(BC=\dfrac12AB\)，则（）A.\(\angleA=30^\circ\)B.\(\angleB=30^\circ\)C.\(\angleA=60^\circ\)D.\(\angleC=30^\circ\)3.在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(\angleA=30^\circ\)，\(BC=3\)，则AB的长为（）A.3B.4C.5D.64.一个直角三角形，三个内角为\(30^\circ，60^\circ，90^\circ\)，最短直角边为5，则较长直角边为（）A.5B.\(5\sqrt{3}\)C.10D.\(10\sqrt{3}\)5.下列说法正确的是（）A.直角三角形中，直角边等于斜边一半B.任意三角形，\(30^\circ\)角对边等于对边一半C.直角三角形，\(30^\circ\)锐角所对直角边等于斜边一半D.有一个角\(30^\circ\)的三角形，短边一定是长边一半###（二）填空题（每题4分，共20分）1.在直角三角形中，\(30^\circ\)角所对的________等于斜边的一半。2.\(\text{Rt}\triangleABC，\angleC=90^\circ，\angleA=30^\circ，AB=10\)，则\(BC=\)________。3.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角为________。4.\(\text{Rt}\triangleABC，\angleC=90^\circ，\angleB=60^\circ，AC=4\)，则\(\angleA=\)________。5.含\(30^\circ\)的直角三角形三边比（短直角边：长直角边：斜边）=________。###（三）解答题（每题15分，共60分）1.已知：在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(\angleBAC=30^\circ\)，\(BC=4\)，求斜边AB的长。2.已知：\(\triangleABC\)是等边三角形，\(AD\perpBC\)于D，\(AB=6\)，求BD和AD的长。3.已知：在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AB=16\)，\(BC=8\)，求证：\(\angleA=30^\circ\)。4.已知：\(\angleAOB=30^\circ\)，点P在OA上，\(PM\perpOB\)于M，\(OP=10\)，求PM的长度。##三、参考答案与详细解析###选择题1.**B**。解析：\(\angleB=30^\circ\)，对边\(AC=\dfrac12AB=\dfrac12\times8=4\)。2.**A**。解析：直角边BC对\(\angleA\)，\(BC=\dfrac12AB\)，所以\(\angleA=30^\circ\)。3.**D**。解析：BC是\(30^\circ\)对边，\(AB=2BC=6\)。4.**B**。解析：短直角边5，斜边10，长直角边\(=5\sqrt{3}\)。5.**C**。解析：性质前提必须是直角三角形，并且是\(30^\circ\)角**所对直角边**。###填空题1.**直角边**2.\(\boldsymbol{5}\)3.\(\boldsymbol{30^\circ}\)4.\(\boldsymbol{30^\circ}\)5.\(\boldsymbol{1:\sqrt{3}:2}\)###解答题1.解：\(\because\text{Rt}\triangleABC，\angleC=90^\circ，\angleBAC=30^\circ\)（已知）\(\thereforeBC=\dfrac12AB\)（直角三角形中，\(30^\circ\)角所对直角边等于斜边一半）\(\thereforeAB=2BC=2\times4=8\)。答：\(AB=8\)。2.解：\(\because\triangleABC\)等边三角形，\(AD\perpBC\)\(\thereforeBD=\dfrac12BC=\dfrac12AB=3\)，\(\angleBAD=30^\circ\)。在\(\text{Rt}\triangleABD\)中，由勾股定理：\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)。答：\(BD=3，AD=3\sqrt{3}\)。3.证明：\(\because\text{Rt}\triangleABC，\angleC=90^\circ，AB=16，BC=8\)\(\thereforeBC=\dfrac12AB\)。\(\therefore\angleA=30^\circ\)（直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，则这条直角边所对锐角是\(30^\circ\)）。4.解：\(\becausePM\perpOB\)，\(\therefore\triangleOMP\)是直角三角形，\(\angleOMP=90^\circ\)。\(\because\angleAOB=30^\circ\)，\(OP=10\)，PM是\(30^\circ\)角对的直角边\(\thereforePM=\dfrac12OP=5\)。答：\(PM=5\)。##四、易错点总结1.最容易错：**找错30°角对应的直角边**，把长直角边当成斜边一半；2.定理前提：**必须是直角三角形**！普通三角形有\(30^\circ\)角，没有这个性质；3.逆定理使用条件同样：必须在\(\text{Rt}\triangle\)内，直角边=斜边一半\(\Rightarrow30^\circ\)；4.边长计算容易忘记勾股，长直角边要带根号\(\sqrt{3}\)；5.几何证明写依据，文字定理不能简写丢条件。（全文1321字）沪科版（新教材）数学八年级上册15.4.3含30°角的直角三角形的性质授课教师：.

班

级：8年级（

）班.

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间：.

2026/9/30

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章轴对称图形与等腰三角形新课导入我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？等腰三角形的性质定理：定理等腰三角形的两个底角相等.03新知探究等腰三角形的两个底角相等，反过来的命题是否是真命题呢？请与你的同学研究讨论后作出判断.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边）思考如何证明呢？03新知探究已知：如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.证明：过点A作AD⊥BC,D点为垂足，∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义）

∴△ADB≌△ADC.(AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)03新知探究这个定理叫做等腰三角形的判定定理,它是判断一个三角形是否为等腰三角形的重要依据.通过该定理是否能得到其他推论？注意：不能将等腰三角形的判定定理写成“如果一个三角形两个底角相等，那么它的两腰也相等”，因为在没有判断出三角形为等腰三角形前，不能使用“腰”、“底角”这类等腰三角形专用词语名称03新知探究推论1

三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.归纳03新知探究如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，延长BC到点D，使CD=BC.连接AD,则△ACD≌△ACB.ABCD∴AD=AB，∠BAC=∠DAC=30°，∠BAD=60°.由推论2，得△ABD是等边三角形，∴BD=AB

03新知探究定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABC归纳03新知探究例4如图，一艘船从A处出发，以每时10nmile（海里）的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上.（1）画出礁石C的位置；（2）求从B处到礁石C的距离；(3)这艘船继续向正北方向航行多少海里与礁石C的距离最小?03新知探究解：（1）如图，以A为顶点，向北偏西30°作射线AD，在点A的正北方向上取一点B，以B为顶点，向北偏西60°作射线BE，AD与BE交于点C，则点C为礁石所在地.（2）∵∠ACB=60°-30°=30°，（三角形的外角性质）又∵∠BAC=30°，∴∠BCA=∠BAC,∴BC=BA.∵BA=10×（10-8）=20（nmile），∴BC=20（nmile）.即从B处到礁石C的距离是20nmile.03新知探究

04课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.如图，在△ABC中，

AB＝AC=5，

D是BC

上的点，

DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是(

B

)A.5

B.10

C.15

D.202.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是()A.a=3,b=3,c=4

B.a∶b∶c=2∶3∶4C.∠B=50°,∠C=80°

D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2BB04课堂练习【知识技能类作业】选做题：3.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AB的长为

cm.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=40°,在直线AC上找一点P,使△ABP是等腰三角形,则∠APB的度数为

.

2

20°或40°或70°或100°04课堂练习【综合拓展类作业】证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=FE，∴△DEF是一个等边三角形5.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．

变式1

如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，

则AB=______.8ACB

变式2

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD

是高，∠A=30°，AB=8，则

BD=（）

A.2

B.3

C.4

D.6A

变式4如图，在

△ABC

中，AB=BC，∠B=120°，AB

的垂直平分线交

AC

于点

D．若

AC=6cm，则

AD=

cm．2

变式3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，若BD=20cm，则AC的长为

.10cm2、如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cmC1．有两个角________的三角形是等腰三角形．简称“等角对等边”．2．三个角都________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．相等相等60°1．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC＝∠ACB，AB＝10cm，则AC的长为(

)A．9cm B．10cmC．11cm D．12cm1星题基础练B2．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是(

)A．∠B＝40°，∠C＝80°B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．2∠A＝∠B＋∠CD．∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶1D3．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有________个．34．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.求证：△GEC是等腰三角形．证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.在△ABC和△DFE中，∵∴△ABC≌△DFE（SSS）.∴∠ACB＝∠DEF，∴EG＝CG，∴△GEC是等腰三角形.【思维模型