安徽省人教版高中数学选修2-1第3章几何证明习题

2026年安徽省人教版高中数学选修2-1第3章几何证明习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，BC=6，则AC的长为（）A.3√2B.3√3C.6√2D.6√3解析：由三角形内角和定理得∠C=75°，设AC=x，BC=6，由正弦定理得6/sin75°=x/sin45°，解得x=6sin45°/sin75°=3√2，故选A。2.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(0,4)，则△ABC的面积等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由向量法计算面积，设向量AB=(2,-2)，向量AC=(-1,2)，则△ABC的面积为1/2|AB×AC|=1/2|2×2-(-2)×(-1)|=3，故选A。3.在四边形ABCD中，已知AB=AD，BC=CD，且∠B=∠D=60°，则四边形ABCD一定是（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由AB=AD，BC=CD，∠B=∠D=60°，得△ABD≌△CBD(SAS)，则∠ADB=∠CDB，又∠B=∠D=60°，故四边形ABCD为菱形，故选B。4.已知圆O的半径为3，弦AB=4，则弦AB的中点到圆心O的距离等于（）A.1B.√2C.√3D.2解析：设弦AB的中点为M，则OM⊥AB，由勾股定理得OM=√(3^2-2^2)=√5，故选C。5.在△ABC中，已知AB=5，AC=7，BC=8，则△ABC的外接圆半径等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由余弦定理得cosA=(5^2+7^2-8^2)/(2×5×7)=3/7，则sinA=√(1-(3/7)^2)=2√10/7，由正弦定理得2R=BC/sinA=8/(2√10/7)=14√10/5，故R=7√10/5，故选D。6.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=16，则圆O关于直线y=x对称的圆的方程为（）A.(x+2)^2+(y-1)^2=16B.(x-2)^2+(y+1)^2=16C.(x-1)^2+(y+2)^2=16D.(x+1)^2+(y-2)^2=16解析：圆心(1,-2)关于y=x对称的点是(-2,1)，故对称圆的方程为(x+2)^2+(y-1)^2=16，故选A。7.在△ABC中，已知AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=2，则CD的长等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由角平分线定理得AB/BD=AC/CD，即6/2=4/CD，解得CD=8/3，故选C。8.已知圆O的半径为5，弦AB=8，则圆心O到弦AB所在直线的距离等于（）A.3B.4C.√21D.√29解析：设圆心O到弦AB的距离为d，由勾股定理得d=√(5^2-4^2)=3，故选A。9.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，CD=6，对角线AC=5，BD=7，则四边形ABCD的面积等于（）A.12√3B.15√3C.20√3D.24√3解析：设AB与CD的距离为h，则四边形面积为S=(AB+CD)h/2=(4+6)h/2=5h，由海伦公式计算△ABC的面积S1=1/2×4×h=2h，△ADC的面积S2=1/2×6×h=3h，则S=S1+S2=5h，故选B。10.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆O的圆心坐标为（）A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)解析：圆方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，故圆心为(2,-3)，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知AB=3，AC=5，BC=7，则cosA=_________。参考答案：3/5解析：由余弦定理得cosA=(3^2+5^2-7^2)/(2×3×5)=-1/2，故填3/5。2.已知圆O的半径为4，弦AB=6，则圆心O到弦AB的距离等于_________。参考答案：√7解析：设圆心O到弦AB的距离为d，由勾股定理得d=√(4^2-3^2)=√7，故填√7。3.在四边形ABCD中，已知AB=AD，BC=CD，且∠B=∠D=60°，则∠A=_________。参考答案：120°解析：由AB=AD，BC=CD，∠B=∠D=60°，得△ABD≌△CBD(SAS)，则∠A=∠C=180°-60°=120°，故填120°。4.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(0,4)，则△ABC的面积等于_________。参考答案：6解析：由向量法计算面积，设向量AB=(2,-2)，向量AC=(-1,2)，则△ABC的面积为1/2|AB×AC|=1/2|2×2-(-2)×(-1)|=3，故填6。5.在△ABC中，已知AB=5，AC=7，BC=8，则△ABC的外接圆半径等于_________。参考答案：7√10/5解析：由余弦定理得cosA=(5^2+7^2-8^2)/(2×5×7)=3/7，则sinA=√(1-(3/7)^2)=2√10/7，由正弦定理得2R=BC/sinA=8/(2√10/7)=14√10/5，故R=7√10/5，故填7√10/5。6.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=16，则圆O的圆心到原点的距离等于_________。参考答案：√5解析：圆心为(1,-2)，则圆心到原点的距离为√(1^2+(-2)^2)=√5，故填√5。7.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，CD=6，对角线AC=5，BD=7，则四边形ABCD的周长等于_________。参考答案：18解析：由托勒密定理得AB•CD=AC•BD，即4×6=5×7，故满足托勒密定理，四边形为圆内接四边形，则AB+CD=AD+BC=18，故填18。8.已知圆O的半径为5，弦AB=8，则弦AB所对的圆心角等于_________弧度。参考答案：2√6/5解析：设圆心角为α，由正弦定理得sin(α/2)=4/5，则α=2arcsin(4/5)=2×arcsin(4/5)=2√6/5，故填2√6/5。9.在△ABC中，已知AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=2，则CD的长等于_________。参考答案：8/3解析：由角平分线定理得AB/BD=AC/CD，即6/2=4/CD，解得CD=8/3，故填8/3。10.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆O的面积等于_________。参考答案：25π解析：圆方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，故半径为4，则圆面积为π×4^2=16π，故填25π。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，若AB=AC，则△ABC一定是等腰三角形。参考答案：正确解析：等腰三角形的定义就是有两条边相等的三角形，故AB=AC时△ABC为等腰三角形，故正确。2.已知圆O的半径为5，弦AB=8，则圆心O到弦AB的距离等于3。参考答案：正确解析：设圆心O到弦AB的距离为d，由勾股定理得d=√(5^2-4^2)=3，故正确。3.在四边形ABCD中，若AB∥CD，AB=AD，则四边形ABCD一定是菱形。参考答案：错误解析：菱形的定义是四条边都相等的四边形，而AB∥CD，AB=AD只说明AB=AD且AB∥CD，但BC和CD的长度未知，故不能确定四边形为菱形，故错误。4.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=16，则圆O关于直线y=x对称的圆的方程为(x+2)^2+(y-1)^2=16。参考答案：正确解析：圆心(1,-2)关于y=x对称的点是(-2,1)，故对称圆的方程为(x+2)^2+(y-1)^2=16，故正确。5.在△ABC中，若AB=AC，则△ABC的外接圆半径等于BC/2sinA。参考答案：正确解析：由正弦定理得2R=BC/sinA，故R=BC/2sinA，故正确。6.已知圆O的半径为5，弦AB=8，则弦AB所对的圆心角等于2√6/5弧度。参考答案：正确解析：设圆心角为α，由正弦定理得sin(α/2)=4/5，则α=2arcsin(4/5)=2×arcsin(4/5)=2√6/5，故正确。7.在四边形ABCD中，若AB∥CD，AB=AD，则四边形ABCD一定是平行四边形。参考答案：错误解析：平行四边形的定义是两组对边分别平行的四边形，而AB∥CD，AB=AD只说明AB=AD且AB∥CD，但AD和BC的平行关系未知，故不能确定四边形为平行四边形，故错误。8.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆O的面积等于25π。参考答案：正确解析：圆方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，故半径为4，则圆面积为π×4^2=16π，故填25π，故正确。9.在△ABC中，若AB=AC，则△ABC一定是等边三角形。参考答案：错误解析：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，但等腰三角形不一定是等边三角形，故AB=AC时△ABC为等腰三角形，但不一定是等边三角形，故错误。10.已知圆O的半径为5，弦AB=8，则圆心O到弦AB的距离等于4。参考答案：错误解析：设圆心O到弦AB的距离为d，由勾股定理得d=√(5^2-4^2)=3，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在△ABC中，已知AB=5，AC=7，BC=8，求△ABC的面积。参考答案：12√3解析：由海伦公式计算面积，设半周长s=(5+7+8)/2=10，则S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[10×(10-5)×(10-7)×(10-8)]=√[10×5×3×2]=√300=10√3，故填12√3。2.已知圆O的半径为4，弦AB=6，求弦AB所对的圆心角（弧度）。参考答案：2√6/5解析：设圆心角为α，由正弦定理得sin(α/2)=4/5，则α=2arcsin(4/5)=2×arcsin(4/5)=2√6/5，故填2√6/5。3.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，CD=6，对角线AC=5，BD=7，求四边形ABCD的面积。参考答案：30解析：由托勒密定理得AB•CD=AC•BD，即4×6=5×7，故满足托勒密定理，四边形为圆内接四边形，则S=(AB+CD)×h/2=(4+6)×h/2=5h，由勾股定理得h=√(5^2-3^2)=4，故S=5×4=20，故填30。4.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=16，求圆O的圆心坐标和半径。参考答案：圆心(1,-2)，半径4解析：圆方程配方得(x-1)^2+(y+2)^2=16，故圆心为(1,-2)，半径为√16=4，故填圆心(1,-2)，半径4。5.在△ABC中，已知AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=2，求CD的长。参考答案：8/3解析：由角平分线定理得AB/BD=AC/CD，即6/2=4/CD，解得CD=8/3，故填8/3。6.已知圆O的半径为5，弦AB=8，求圆心O到弦AB的距离。参考答案：3解析：设圆心O到弦AB的距离为d，由勾股定理得d=√(5^2-4^2)=3，故填3。7.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，CD=6，对角线AC=5，BD=7，求四边形ABCD的周长。参考答案：18解析：由托勒密定理得AB•CD=AC•BD，即4×6=5×7，故满足托勒密定理，四边形为圆内接四边形，则AB+CD=AD+BC=18，故填18。8.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆O的面积。参考答案：25π解析：圆方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，故半径为4，则圆面积为π×4^2=16π，故填25π。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在△ABC中，已知AB=5，AC=7，BC=8，求△ABC的角A、B、C的大小。参考答案：∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°解析：由余弦定理得cosA=(5^2+7^2-8^2)/(2×5×7)=3/7，则∠A=arccos(3/7)=60°，由余弦定理得cosB=(5^2+8^2-7^2)/(2×5×8)=3/8，则∠B=arccos(3/8)=45°，由三角形内角和定理得∠C=180°-60°-45°=75°，故填∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°。2.已知圆O的半径为4，弦AB=6，求弦AB的中点到圆心O的距离。参考答案：√7解析：设弦AB的中点为M，则OM⊥AB，由勾股定理得OM=√(4^2-3^2)=√7，故填√7。3.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，CD=6，对角线AC=5，BD=7，求四边形ABCD的面积。参考答案：30解析：由托勒密定理得AB•CD=AC•BD，即4×6=5×7，故满足托勒密定理，四边形为圆内接四边形，则S=(AB+CD)×h/2=(4+6)×h/2=5h，由勾股定理得h=√(5^2-3^2)=4，故S=5×4=20，故填30。4.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=16，求圆O关于直线y=x对称的圆的方程。参考答案：(x+2)^2+(y-1)^2=16解析：圆心(1,-2)关于y=x对称的点是(-2,1)，故对称圆的方程为(x+2)^2+(y-1)^2=16，故填(x+2)^2+(y-1)^2=16。5.在△ABC中，已知AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=2，求CD的长。参考答案：8/3解析：由角平分线定理得AB/BD=AC/CD，即6/2=4/CD，解得CD=8/3，故填8/3。6.已知圆O的半径为5，弦AB=8，求弦AB所对的圆心角（弧度）。参考答案：2√6/5解析：设圆心角为α，由正弦定理得sin(α/2)=4/5，则α=2arcsin(4/5)=2×arcsin(4/5)=2√6/5，故填2√6/5。7.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，CD=6，对角线AC=5，BD=7，求四边形ABCD的周长。参考答案：18解析：由托勒密定理得AB•CD=AC•BD，即4×6=5×7，故满足托勒密定理，四边形为圆内接四边形，则AB+CD=AD+BC=18，故填18。8.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆O的面积。参考答案：25π解析：圆方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，故半径为4，则圆面积为π×4^2=16π，故填25π。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.B4.C5.D6.A7.C8.A9.B10.A解析：1.由正弦定理得AC=6sinB/sinA=6sin45°/sin60°=3√2；2.由向量法计算面积，设向量AB=(2,-2)，向量AC=(-1,2)，则△ABC的面积为1/2|AB×AC|=1/2|2×2-(-2)×(-1)|=3；3.由AB=AD，BC=CD，∠B=∠D=60°，得△ABD≌△CBD(SAS)，则∠A=∠C=180°-60°=120°；4.设弦AB的中点为M，则OM⊥AB，由勾股定理得OM=√(5^2-4^2)=3；5.由余弦定理得cosA=(5^2+7^2-8^2)/(2×5×7)=3/7，则sinA=√(1-(3/7)^2)=2√10/7，由正弦定理得2R=BC/sinA=8/(2√10/7)=14√10/5，故R=7√10/5；6.圆心(1,-2)关于y=x对称的点是(-2,1)，故对称圆的方程为(x+2)^2+(y-1)^2=16；7.由角平分线定理得AB/BD=AC/CD，即6/2=4/CD，解得CD=8/3；8.设圆心O到弦AB的距离为d，由勾股定理得d=√(5^2-4^2)=3；9.由托勒密定理得AB•CD=AC•BD，即4×6=5×7，故满足托勒密定理，四边形为圆内接四边形，则AB+CD=AD+BC=18；10.圆方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，故圆心为(2,-3)。二、填空题1.3/512.√713.120°14.615.7√10/516.√517.1818.2√6/519.8/320.25π解析：11.由余弦定理得cosA=(5^2+7^2-8^2)/(2×5×7)=3/7，则sinA=√(1-(3/7)^2)=2√10/7，由正弦定理得2R=BC/sinA=8/(2√10/7)=14√10/5，故R=7√10/5，则sinA=BC/(2R)=8/(2×7√10/5)=2√10/7，故cosA=3/5；12.设圆心O到弦AB的距离为d，由勾股定理得d=√(5^2-4^2)=√7；13.由AB=AC，∠B=∠D=60°，得△ABD≌△CBD(SAS)，则∠A=∠C=180°-60°=120°；14.由向量法计算面积，设向量AB=(2,-2)，向量AC=(-1,2)，则△ABC的面积为1/2|AB×AC|=1/2|2×2-(-2)×(-1)|=3，故△ABC的面积为6；15.由余弦定理得cosA=(5^2+7^2-8^2)/(2×5×7)=3/7，则sinA=√(1-(3/7)^2)=2√10/7，由正弦定理得2R=BC/sinA=8/(2√10/7)=14√10/5，故R=7√10/5；16.圆心为(1,-2)，则圆心到原点的距离为√(1^2+(-2)^2)=√5；17.由托勒密定理得AB•CD=AC•BD，即4×6=5×7，故满足托勒密定理，四边形为圆内接四边形，则AB+CD=AD+BC=18；18.设圆心角为α，由正弦定理得sin(α/2)=4/5，则α=2arcsin(4/5)=2×arcsin(4/5)=2√6/5；19.由角平分线定理得AB/BD=AC/CD，即6/2=4/CD，解得CD=8/3；20.圆方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，故半径为4，则圆面积为π×4^2=16π，故填25π。三、判断题1.正确22.正确23.错误24.正确25.正确26.正确27.错误28.正确29.错误30.错误解析：21.等腰三角形的定义就是有两条边相等的三角形，故AB=AC时△ABC为等腰三角形；22.设圆心O到弦AB的距离为d，由勾股定理得d=√(5^2-4^2)=3；23.菱形的定义是四条边都相等的四边形，而AB∥CD，AB=AD只说明AB=AD且AB∥CD，但BC和CD的长度未知，故不能确定四边形为菱形；24.圆心(1,-2)关于y=x对称的点是(-2,1)，故对称圆的方程为(x+2)^2+(y-1)^2=16；25.由正弦定理得2R=BC/sinA，故R=BC/2sinA；26.设圆心角为α，由正弦定理得sin(α/2)=4/5，则α=2arcsin(4/5)=2×arcsin(4/5)=2√6/5；27.平行四边形的定义是两组对边分别平行的四边形，而AB∥CD，AB=AD只说明AB=AD且AB∥CD，但AD和BC的平行关系未知，故不能确定四边形为平行四边形；28.圆方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，故半径为4，则圆面积为π×4^2=16π，故填25π；29.等边三角形是等腰三角形的特殊情况，但等腰三角形不一定是等边三角形，故AB=AC时△ABC为等腰三角形，但不一定是等边三角形；30.设圆心O到弦AB的距离为d，由勾股定理得d=√(5^2-4^2)=3。四、简答题1.12√3解析：由海伦公式计算面积，设半周长s=(5+7+8)/2=10，则S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[10×(10-5)×(10-7)×(10-8)]=√[10×5×3×2]=√300=10√3，故填12√3。2.2√6/5解析：设圆心角为α，由正弦定理得sin(α/2)=4/5，则α=2arcsin(4/5)=2×arcsin(4/5)=2√6/5，故填2√6/5。3.30解析：由托勒密定理得AB•CD=AC•BD，即4×6=5×7，故满足托勒密定理，四边形为圆内接四边形，则S=(AB+CD)×h/2=(4+6)×h/2=5h，由勾股定理得h=√(5^2-3^2)=4，故S=5×4=20，故填30。4.圆心(1,-2)，半径4解析：圆方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，故圆心为(1,-2)，半径为√16=4，故填圆心(1,-2)，半径4。5.8/3解析：由角平分线定理得AB/BD=AC/CD