概率论与数理统计（第3版）-课件全套 杨筱菡 第1-8章 随机事件与概率- 假设检验

随机事件与概率《概率论与数理统计》同济大学数学科学学院

01目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.1随机事件及其运算一、随机试验二、样本空间三、随机事件四、随机事件间的关系和运算一、随机试验随机现象——在个别试验中呈现不确定的结果,而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现象.这种规律性称为统计规律性.概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学科.为了研究随机现象的统计规律性,就要对客观事物进行观察,这个过程叫做试验.概率论所讨论的试验称为随机试验,它具有以下三个特点:在相同的条件下试验可以重复进行;01OPTION02OPTION03OPTION每次试验的结果不止一个,但是试验之前可以明确;每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.一、随机试验例1抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；随机试验的例子54321抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；某快餐店一天内接到的订单量；航班起飞延误的时间；一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。二、样本空间全体样本点的集合称为样本空间,记为,也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成的集合,集合中的元素就是样本点.样本空间可以是有限集,可数集,一个区间（或若干区间的并集）.一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为

二、样本空间在前面的例子中:抛掷一枚均匀硬币的样本空间某快餐店一天内接到的订单量的样本空间航班起飞延误时间的样本空间01OPTION02OPTION03OPTION｛H、T｝=｛正面朝上、反面朝上｝这些在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件.从集合的角度:一个随机试验所对应的样本空间的子集称为一个随机事件.用大写字母等来表示随机事件.三、随机事件同济大学数学科学学院&人民邮电出版社仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.三、随机事件在事件的定义中，注意以下几个概念：每次试验中一定发生的事件称为必然事件.包含所有的样本点,因此每次试验中必有中的一个样本点出现,故是必然事件.每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件.空集中不包含任何样本点,因此是不可能事件.01OPTION任一随机事件A是样本空间的一个子集。02OPTION03OPTION当试验的结果属于该子集时，就说事件A发生了。相反地，如果试验结果不属于该子集，就说事件A没有发生。04OPTION05OPTION同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、随机事件例

3抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社（1）事件的包含1、随机事件之间的关系四、随机事件之间的关系与运算若事件

的发生必然导致事件的发生,则称事件包含在事件中.记作

.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社记作.1、随机事件之间的关系（2）事件的相等若事件的发生必然导致事件的发生,且事件的发生必然导致事件的发生,则称事件与事件相等。如果事件与不可能同时发生，即没有相同的样本点，则称事件与互不相容（互斥）.（3）互不相容事件同济大学数学科学学院&人民邮电出版社2、随机事件之间的运算（1）事件的并事件或至少有一个发生时,称事件与事件的并事件发生,记为.（2）事件的交（积）事件及事件同时发生时,称事件与事件的交事件发生,记为.事件的并事件的交同济大学数学科学学院&人民邮电出版社2、随机事件之间的运算（3）事件的差（4）对立事件事件发生且事件不发生,称事件与事件的差事件发生,记为.事件称为事件的对立事件（逆、余）,记为.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社2、随机事件之间的运算123同济大学数学科学学院&人民邮电出版社3、事件的运算性质①交换律②结合律③分配律④对偶律同济大学数学科学学院&人民邮电出版社3、事件的运算性质例4用事件的运算关系式表示下列事件，则：1234567同济大学数学科学学院&人民邮电出版社目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式公理1非负性

公理2规范性1.2概率的定义及其性质

给定一个随机试验,为相应的样本空间,对每一个事件,规定一个实数与之对应,且满足如下公理：有公理3可列可加性即对任意一列两两互不相容事件则称为事件的概率.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.性质1性质2有限可加性1.2概率的定义及其性质性质1性质4性质3性质2设为两两互不相容事件,则有性质4若则性质3对任意事件有同济大学数学科学学院&人民邮电出版社性质5（减法公式）

设为任意两个事件,则性质6（加法公式）

设为任意两个事件,则1.2概率的定义及其性质该公式可以推广到多个事件上.三个事件的加法公式为:同济大学数学科学学院&人民邮电出版社由性质６的加法公式Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(ＡＢ)及已知条件，可得０.５＝０.2＋０.４－Ｐ(ＡＢ)。由此解得Ｐ(ＡＢ)＝０.１.再由性质５的减法公式得1.2概率的定义及其性质例2

解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

则，至少发生一个的概率是多少？1.2概率的定义及其性质例3已知三个随机事件满足同济大学数学科学学院&人民邮电出版社解1.2概率的定义及其性质例

同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

解1.2概率的定义及其性质例

同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、几何概型随机事件发生的可能性的大小常用区间中的数值加以刻划.这个数值称为概率,记为规定:一、古典概型古典概型的基本思路:随机试验的样本空间只有有限个样本点；每次试验中各个样本点发生的可能性相等.AB记为样本点总数,为事件所包含的样本点个数，则事件的概率为解而总取法数（即样本点总数）为一、古典概型例（抽奖问题）某公司年会抽奖,共有张奖券,其中只有一张有奖.每位员工可抽取一张.求第位员工中奖的概率（）.不放回情形中，第个员工抽到有奖券意味着前个员工均没有抽到,相应的取法个数为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社这个结果和次序无关.因此,所求概率为一、古典概型同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、几何概型是古典概型的推广,保留每个样本点发生的等可能性，样本空间放宽为无穷不可列个样本点，一般地，设样本空间是某个区域（直线、平面或空间）.则事件的概率为这里分别表示长度、面积或体积.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、几何概型例3碰面问题甲、乙两人约定在中午的12时到13时在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去.求两人能碰面的概率.解设甲到达咖啡屋的时间为,乙到达时间为，则,两人能碰面的事件所对应的区域为右图中带形区域所求概率为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.4条件概率与事件的相互独立性一、条件概率二、事件的相互独立性一、条件概率定义1给定一个随机试验,是它的样本空间,任意两个事件,其中,称为已知事件发生的条件下事件发生的条件概率.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质,即:（1）公理1非负性（2）公理2规范性（3）公理3对可列无限个两两不相容事件可列可加性一、条件概率同济大学数学科学学院&人民邮电出版社相仿可以得到如下性质:以及等类似七条性质.一、条件概率同济大学数学科学学院&人民邮电出版社变形后有由条件概率公式:当（或）时,有或或上式称为概率的乘法公式.一、条件概率乘法公式可推广到多个事件上去,例如,三个事件的乘法公式为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社注意：相互独立与互不相容有何区别?二、事件的相互独立性称两个事件是相互独立的,如果上式等价于独立性的直观意义是一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率.独立性往往蕴含在事物的内部.

当时.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社不难计算可见二、事件的相互独立性例5抛掷两枚均匀硬币2次,则:事件与是独立的.解即事件与是独立的.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社也相互独立.即有相应可列出其它等式.定义2若事件独立，则二、事件的相互独立性同济大学数学科学学院&人民邮电出版社解二、事件的相互独立性例

同济大学数学系&人民邮电出版社

三个等式都成立.定义3称事件组是两两独立的,如果有二、事件的相互独立性同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四个等式都成立.二、事件的相互独立性定义4称事件组是相互独立的,如果有同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、事件的相互独立性独立性的定义可推广到个事件上去.特别地,当事件相互独立时,有同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一个产品或一个元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻划.所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率.以下讨论中,假定一个系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的.二、事件的相互独立性例7系统可靠性问题同济大学数学科学学院&人民邮电出版社两个基本模型:（1）串联系统二、事件的相互独立性元件的可靠度为,则系统的可靠度为设一个系统由个元件串联而成,第个（2）并联系统设一个系统由个元件并联而成,第个元件的可靠度为,则系统的可靠度为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社解二、事件的相互独立性例

同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

解二、事件的相互独立性例

（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

解二、事件的相互独立性例同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式

设为随机试验,为相应的样本空间,为事件组,若满足（1）（2）则称该事件组为完备事件组.完备事件组同济大学数学科学学院&人民邮电出版社定理1全概率公式全概率公式与贝叶斯公式同济大学数学科学学院&人民邮电出版社定理2贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式当时,贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生的概率。原因A1原因A2原因An结果B……同济大学数学科学学院&人民邮电出版社求（1）取到白球的概率；（2）已知取到的是白球，则这个白球属于第二个箱子的的概率。全概率公式与贝叶斯公式例有三只箱子：第一个箱子中有四个黑球和一个白球；第二个箱子中有三个黑球和三个白球；第三个箱子中有三个黑球和五个白球。任取一箱,再从中任取一个球.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社且又全概率公式与贝叶斯公式解以分别表示取到的是第个箱子，表示取到的是白球,则事件组构成一个完备事件组.所以,由全概率公式得再由贝叶斯公式得同济大学数学科学学院&人民邮电出版社全概率公式与贝叶斯公式例2某种疾病的患病率为0.1%，某项血液医学检查的误诊率为1%，即非患者中有1%的人验血结果为阳性.患者中有1%的人验血结果为阴性。现知某人验血结果是阳性,求他确实患有该种疾病的概率。以表示验血结果为阳性,表示该人患此疾病解因此所求概率为同济大学数学科学学院&人民邮电出版社全概率公式与贝叶斯公式例同济大学数学科学学院&人民邮电出版社已知某失联飞机坠海地点可能在A、B两区域，根据经验判断，飞机在A区域坠毁的概率为0.6，在B区域坠毁的概率为0.4.如果飞机是在A区域坠毁的，搜寻团队在A区域搜寻一周后发现飞机残骸的概率为0.8；如果飞机是在B区域坠毁的，搜寻团队在B区域搜寻一周后发现飞机残骸的概率为0.3.（1）首先，搜寻团队选择在A区域搜寻，一周后没有发现飞机残骸，求此事件发生的概率.此时，运用适当的公式，分别计算飞机是在A区域坠毁的概率和是在B区域坠毁的概率；（2）基于第一问的答案，紧接着搜寻团队应该在A区域还是B区域搜寻？给出理由.解全概率公式与贝叶斯公式同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

总结/summary两个概念：随机事件与概率基本理论：随机事件的性质与运算

随机事件的相互独立性与乘法公式几类概率模型：等可能概型（包括古典概型、几何概率）

条件概率

全概率公式；贝叶斯公式谢谢观赏《概率论与数理统计》同济大学数学科学学院&人民邮电出版社随机变量及其分布《概率论与数理统计》同济大学数学科学学院

02目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.1随机变量及其分布一、随机变量的定义二、随机变量的分布函数三、离散型随机变量及其分布律四、连续型随机变量及其密度函数许多随机试验的结果与实数密切联系,也有些随机试验结果从表面上看并不与实数相联系.下面我们通过几个例子来引入随机变量的概念.一、随机变量的定义例抛掷一颗均匀的骰子，出现的点数X的取值样本空间={正面朝上,反面朝上},样本空间不是一个数集.但是我们可以人为地把试验结果和实数对应起来.令样本点X的取值正面朝上→1反面朝上→0同济大学数学科学学院&人民邮电出版社称为是（一维）随机变量.引进随机变量后,随机事件及其概率可以通过随机变量来表达.一、随机变量的定义定义1在随机试验E中,是相应的样本空间,如果对中的每一个样本点,有唯一一个实数与它对应,那么就把这个定义域为的单值实值函数

随机变量一般用大写字母表示.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社随机变量离散型随机变量连续型随机变量一、随机变量的定义如果一个随机变量仅可能取有限或可列个值，则称其为离散型随机变量、AB如果一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间（或某几个区间的并），则称其为连续型随机变量。同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、随机变量的定义随机变量的直观解释

随机变量X是样本点的函数，这个函数的自变量是样本点，可以是数，也可以不是数，定义域是样本空间，而因变量必须是实数。这个函数可以让不同的样本点对应不同的实数，也可以让多个样本点对应于一个实数。同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、随机变量的分布函数定义2称函数为随机变量的分布函数.给定一个随机变量,对任意实数对任意满足条件的实数,有同济大学数学科学学院&人民邮电出版社例1设一盒子中装有10个球，其中5个球上标有数字1,3个球上标有数字2，2个球上标有数字3。二、随机变量的分布函数从中任取一球,记随机变量为“取得的球上标有的数字”（1）写出的分布函数;（2）作出分布函数的图像.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、随机变量的分布函数容易得到可取1,2,3，由古典概型的计算方法，对应的概率值分别为0.5,0.3,0.2。解由分布函数定义知若则为不可能事件,故所以若则同理,当时,有当时,有同济大学数学科学学院&人民邮电出版社综上,随机变量的分布函数为二、随机变量的分布函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社分布函数的性质二、随机变量的分布函数设是随机变量的分布函数，则有4321分布函数单调不减;对任意的,分布函数右连续;同济大学数学科学学院&人民邮电出版社（1）非负性三、离散型随机变量及其分布律定义3设且其中满足:（2）规范性那么称表达式为随机变量

的分布律或概率函数.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无限个值,那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量.一维离散型随机变量的分布律也可表示为：三、离散型随机变量及其分布律同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、离散型随机变量及其分布律设随机变量的分布律如下：例2（1）求解（2）

的分布函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数那么称为连续型随机变量的概率密度函数.给定一个连续型的随机变量,如果存在一个定义域为的非负实值函数,使得的分布函数可以表示为定义4同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数

概率密度函数满足下面两个条件:对照一下离散型随机变量的概率函数所满足的两个条件,注意到1212

这两个条件同样刻划了密度函数的特征性质,即如果有实值函数具备这两条性质,那么它必定是某个连续型随机变量的概率密度函数.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数

分布函数和概率密度函数的关系在几何上的体现:同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数设是任意连续型随机变量,且与分别是它的分布函数与概率密度函数,则有:有连续型随机变量的性质是连续函数,且在的连续点处,有1对任意常数,

2结合结论2可知:同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数例3设随机变量的概率密度函数为求解（1）（2）

的分布函数（1）同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数解(2)同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数例求解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

解四、连续型随机变量及其密度函数例

同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.2常用的离散型随机变量一、二项分布二、泊松分布三、超几何分布四、几何分布与负二项分布一、二项分布

在重贝努利试验中,若以表示事件在次试验中出现的次数.分布律为则的取值为相应的概率为:设对一随机试验E,我们只关心某个事件发生与否,此时试验的结果可以看成只有两种:发生或者不发生。那么称这个试验为贝努利试验.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社其中为事件发生的概率.则称服从参数为的二项分布,记成

在概率论中,二项分布是一个重要的分布.在许多独立重复试验中,都具有二项分布的形式.一、二项分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、二项分布

若二项分布中取，相应的分布律为

即随机变量的取值为0,1,相应的概率记为则又称服从分布（或两点分布）.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设表示在5次重复独立射击中命中的次数，则一、二项分布例1某人向同一目标重复独立射击5次，每次命中目标的概率为0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。12同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、泊松分布

设随机变量的概率密度函数为则称服从参数为的泊松分布,记为由无穷级数知识知:同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、泊松分布泊松分布也是一种常用的离散型分布，它常常与计数过程相联系，例如某一时段内某网站的点击量；早高峰时间段内驶入高架道路的车辆数；一本书上的印刷错误数。01OPTION02OPTION03OPTION同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、泊松分布例2解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分布.问周初至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存,且本周不再进货.二、泊松分布例3解设该款手表每周的需求量为，则有；设至少需要进块该款手表，才能满足不脱销的概率不小于0.9，即要满足同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、泊松分布定理（泊松定理）在重贝努利试验中，记事件在一次试验中发生的概率为，当时，有对于任意一个非负整数,有泊松定理告诉我们:满足一定条件时，二项概率可以用泊松分布的概率值来近似.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社此时可近似看作参数为5的泊松分布,二、泊松分布设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个投保人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率．例4解记未来一年中这1000个投保人中死亡人数，则有同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、超几何分布则这个产品中所含的次品的分布律为设有件产品,其中件次品.现从中不放回任取个产品,我们称服从参数为的超几何分布.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、超几何分布记,可以证明，有同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、几何分布与负二项分布如果随机变量的分布律为则称服从参数为的几何分布.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、几何分布与负二项分布几何分布也是一种常用的离散型分布，例如01OPTION02OPTION03OPTION同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、几何分布与负二项分布例5证明同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、几何分布与负二项分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、几何分布与负二项分布

例6解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.3常用的连续型随机变量一、均匀分布二、指数分布三、正态分布密度函数图形如右图:其余.一、均匀分布设随机变量的概率密度函数为则称服从区间上的

均匀分布,记作同济大学数学科学学院&人民邮电出版社计算可得分布函数为：分布函数图形如右所示:一、均匀分布我们考察一下这个分布函数,若,则这恰好是区间和取值总区间的长度比,只与区间长度d有关，与区间位置c无关.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、均匀分布例1解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、指数分布如果随机变量的密度函数为其余则称服从参数为的指数分布,其分布函数为记为指数分布的密度函数图形如下:指数分布的分布函数图形如下:由定义易得服从指数分布的随机变量的概率计算公式:设,则证明例2二、指数分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、正态分布

设随机变量的概率密度函数为则称服从参数为的正态分布,记为服从正态分布的随机变量统称为正态随机变量.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社正态分布的密度函数曲线图形三、正态分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、正态分布正态分布概率密度函数的曲线特征:密度函数的图形关于对称;

13当时,;2在处取得最大值;同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、正态分布正态分布概率密度函数的曲线特征:4当较大时曲线比较平坦,当较小时曲线比较陡峭.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

时的正态分布称为标准正态分布.其概率密度函数和分布函数分别为标准正态分布密度函数图形三、正态分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、正态分布关于标准正态分布有以下结果:特别地,有;当时,的值可以查概率函数值表得到,且

13若,则特别地当时,由密度函数对称性可得,2同济大学数学科学学院&人民邮电出版社⑴查表并计算可得例3设随机变量,查表求下列概率值:解(2)同样地三、正态分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一般地,有下列结论:三、正态分布设随机变量,则特别地若,则同济大学数学科学学院&人民邮电出版社查表并计算可得三、正态分布例4设,试求概率解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、正态分布例5设随机变量服从标准正态分布,为何值时才能满足解由,查附录4知同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

同理可得

例6解三、正态分布查表并计算可得右图为分位数的几何意义

设对给定的若数满足称为随机变量X的

分位数▲▲▲三、正态分布标准正态分布的分位数概念:同济大学数学科学学院&人民邮电出版社某学校规定划分考生成绩的等级方法如下：考试成绩的实际考分在前10%的为A等，考分在前10%以后但在前50%的为B等，考分在前50%以后但在前85%的为C等，考分在后10%的为D等.某次期末考试中，设考生的成绩X服从正态分布，经计算可知，，求这次期末考试等级划分的具体分数线。例三、正态分布解由题意可知,则同济大学数学科学学院&人民邮电出版社又又

综述所求，可知，在此次考试中，分数在88.384以上的，为等级A，分数在73至88.384之间的，为等级B，分数在57.616至73之间的，为等级C，分数在57.616以下的，为等级D。三、正态分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.4随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布设随机变量，定义一个函数,则是随机变量的函数，也是一个随机变量。问题：已知的分布,如何求的分布.一、离散型随机变量函数的分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、离散型随机变量函数的分布例1设随机变量的分布律为1求的分布律;2求的分布律。同济大学数学科学学院&人民邮电出版社由此得到相应的分布律:一、离散型随机变量函数的分布解(1)随机变量的取值为且(2)随机变量的取值为同理可得对应的分布律为:同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、连续型随机变量函数的分布例2解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、连续型随机变量函数的分布01OPTION02OPTION03OPTION同济大学数学科学学院&人民邮电出版社的分布函数与密度函数求解的一般步骤：二、连续型随机变量函数的分布1324同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、连续型随机变量函数的分布例3解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、连续型随机变量函数的分布定理1定理2二、连续型随机变量函数的分布例4解二、连续型随机变量函数的分布例解

总结/summary随机变量分布函数离散型随机变量、分布律、二项分布、泊松分布、几何分布连续型随机变量、密度函数、均匀分布、指数分布、正态分布随机变量函数的分布谢谢观赏《概率论与数理统计》同济大学数学科学学院&人民邮电出版社多维随机变量及其分布《概率论与数理统计》同济大学数学科学学院03目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.1多维随机变量及其联合分布一、多维随机变量二、联合分布函数三、二维离散型随机变量及其联合分布律四、二维连续型随机变量及其

联合密度函数一、随机试验定义1同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、随机试验例1解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、随机试验同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、随机试验定义2同济大学数学科学学院&人民邮电出版社为随机向量的（联合）分布函数.设为二维随机变量,对任意的称二、联合分布函数由定义可知,对平面上任一点,定义3同济大学数学科学学院&人民邮电出版社为随机变量的(联合)分布函数.定义4设为维随机变量,对任意的称二、联合分布函数定义4同济大学数学科学学院&人民邮电出版社联合分布函数的性质:当固定时，是变量的单调非减函数;当固定时，是变量的单调非减函数;

二、联合分布函数定理1123同济大学数学科学学院&人民邮电出版社对任意的,有矩形公式当固定时，是变量的右连续函数;当固定时，是变量的右连续函数;二、联合分布函数45如图所示:联合分布函数的矩形公式同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设二维随机变量仅可能取有限个值，则称为二维离散型随机变量.设二维随机变量为二维随机变量的联合分布律.其中三、二维离散型随机变量及其联合分布律定义5定义6同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二维随机变量的联合分布律的表格法表示.三、二维离散型随机变量及其联合分布律同济大学数学科学学院&人民邮电出版社三、二维离散型随机变量及其联合分布律例解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社把一颗骰子独立地上抛两次,设X表示第一次出现的点数，Y表示两次出现点数的最小值(2)三、二维离散型随机变量及其联合分布律同济大学数学科学学院&人民邮电出版社联合概率密度函数两个常见的二维连续型分布边缘概率密度函数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社则称为二维连续型随机变量，称为二维连续型随机变量

的联合（概率）密度函数.设二维随机变量

的联合分布函数为,如果存在二元非负实值函数,使得对任意的有定义7四、二维连续型随机变量及其联合密度函数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定义8同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设为二维连续⑴非负性⑵规范性型随机变量的联合密度函数，则四、二维连续型随机变量及其联合密度函数（联合密度函数的性质）定理2同济大学数学科学学院&人民邮电出版社（二维连续型随机变量的性质）为连续函数,在的连续点处有任意一条平面曲线,有;对平面上任意一区域,有四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定理3123同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设二维随机变量的联合密度函数为常数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数例4其余01OPTION02OPTION03OPTION求联合分布函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社(1)

由密度函数性质所以.(2)由已知得四、二维连续型随机变量及其联合密度函数解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、二维连续型随机变量及其联合密度函数

(3)如右图所示:同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、二维连续型随机变量及其联合密度函数例求

同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

四、二维连续型随机变量及其联合密度函数解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

同济大学数学科学学院&人民邮电出版社图1图2图3

四、二维连续型随机变量及其联合密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

所以目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.2常用的多维随机变量一、二维均匀分布二、二维正态分布设二维随机变量的联合密度函数为则称随机变量服从区域上的二维均匀分布.其中是平面上的某个区域,为区域的面积,一、二维均匀分布定义1同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设服从区域上的均匀分布,(1)因区域的面积为1,故由定义得联合密度函数为:计算概率一、二维均匀分布例1解1写出的联合密度函数2同济大学数学科学学院&人民邮电出版社(2)所求概率为一、二维均匀分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社例201OPTION02OPTION03OPTION求同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

图1一、二维均匀分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

图2一、二维均匀分布定义2如果的联合密度函数为并记为则称服从参数为的二维正态分布,其中二、二维正态分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.3边缘分布一、边缘分布函数二、二维离散型随机变量的边缘分布律三、二维连续型随机变量的边缘密度函数四、随机变量的相互独立性称设二维随机变量的联合分布函数为为随机变量的边缘分布函数;为随机变量的边缘分布函数.一、边缘分布函数定义1同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设二维随机变量的联合密度函数为分别计算边缘分布函数.一、边缘分布函数例1同济大学数学科学学院&人民邮电出版社在第一节例4中已得

的联合分布函数，一、边缘分布函数解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社在第一节例4中已得

的联合分布函数，故与的边缘分布函数分别为一、边缘分布函数解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社定义2，称概率设二维离散型随机变量的联合分布律为为随机变量的边缘分布律，记为

，并有二、二维离散型随机变量的边缘分布律同济大学数学科学学院&人民邮电出版社在第一节例1中计算与的边缘分布律。直接在

联合分布律表格中计算行和、列和得二、二维离散型随机变量的边缘分布律例2解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社所以的边缘分布律为所以的边缘分布律为二、二维离散型随机变量的边缘分布律同济大学数学科学学院&人民邮电出版社则随机变量的边缘密度函数为类似地，随机变量的边缘密度函数为

设二维随机变量的联合密度函数为三、二维连续型随机变量的边缘密度函数定义3同济大学数学科学学院&人民邮电出版社试求第一节例4中随机变量的边缘密度函数.首先确定的值域,当时所以的边缘密度函数为:三、二维连续型随机变量的边缘密度函数例3解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社然后，确定的值域,当时所以的边缘密度函数为:三、二维连续型随机变量的边缘密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设,则,由边缘密度函数的定义得三、二维连续型随机变量的边缘密度函数定理1所以，同理.

证明同济大学数学科学学院&人民邮电出版社已知,求的密度函数.由定理1知，又由正态分布的线性变换仍是正态分布知三、二维连续型随机变量的边缘密度函数例4解所以同济大学数学科学学院&人民邮电出版社都有

设为二维随机变量，若对任意的与相互独立.四、随机变量的相互独立性成立，则称随机变量定义4同济大学数学科学学院&人民邮电出版社的一切公共连续点上都有相互独立的充分必要条件是对任意的设为二维连续型随机变量，那么，与相互独立的充分必要条件是在四、随机变量的相互独立性定理2设为二维离散型随机变量，那么，与都有成立.定理3同济大学数学科学学院&人民邮电出版社四、随机变量的相互独立性例5同济大学数学科学学院&人民邮电出版社（1）由二维离散型随机变量边缘分布律定义得所以与的边缘分布律分别为四、随机变量的相互独立性解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社在第一节例4中，是否相互独立？为什么？不相互独立.的联合密度函数及边缘密度函数如下四、随机变量的相互独立性例6解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社在它们的公共连续点处,

因此不相互独立.四、随机变量的相互独立性同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设,那么与相互独立的充分必要条件是充分条件当时所以，对任意，都有因此相互独立.四、随机变量的相互独立性定理4证明同济大学数学科学学院&人民邮电出版社所以必要条件

当相互独立时,对任意的都有

特别地，当时四、随机变量的相互独立性该等式也成立,同济大学数学科学学院&人民邮电出版社例01OPTION02OPTION03OPTION同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

四、随机变量的相互独立性04OPTION同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

图1四、随机变量的相互独立性同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

图3图2四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性对多维随机变量独立性的定义如下：定义5

的一切公共连续点上成立。都有那么就称随机变量连续型随机变量有设为维随机变量，若对任意的相互独立。同济大学数学科学学院&人民邮电出版社对多维随机变量独立性的定义如下：四、随机变量的相互独立性，都有相互独立的充要条件是在当为离散型随机变量时，随机变量当为连续型随机变量时，随机变量的一切公共连续点处都有相互独立的充要条件是对任意的成立.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.4条件分布一、二维离散型随机变量的条件分布律二、二维连续型随机变量的条件密度函数设二维离散型随机变量的联合分布律为条件下的条件分布律为当时，在给定对固定的,记在给定条件下的随机变量为,其值域记为一、二维离散型随机变量的条件分布律定义1同济大学数学科学学院&人民邮电出版社条件分布律

满足分布律的两条性质：一、二维离散型随机变量的条件分布律01OPTION02OPTION同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设二维离散型随机变量的联合分布律条件下的条件分布律为当时，在给定对固定的,记在给定条件下的随机变量为，其值域记为一、二维离散型随机变量的条件分布律定义1续同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设为二维连续型随机变量的联合密度函数,当时，在给定条件下的条件密度函数为对固定的，记在给定条件下的随机变量为二、二维连续型随机变量的条件密度函数其值域记为定义2同济大学数学科学学院&人民邮电出版社条件密度函数

满足密度函数的两条性质:二、二维连续型随机变量的条件密度函数12同济大学数学科学学院&人民邮电出版社密度函数为当时，在给定条件下的条件其值域记为二、二维连续型随机变量的条件密度函数对固定的，记在给定条件下的随机变量为,同理可以验证条件密度函数

满足密度函数的两条性质.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设为二维连续型随机变量的联合密度函数,分布函数为当时，在给定条件下的条件当时，在给定条件下的条件分布函数为二、二维连续型随机变量的条件密度函数定义3同济大学数学科学学院&人民邮电出版社在第一节例4中求条件分布函数.写出给定条件下的条件值域;求条件密度函数;写出给定条件下的条件值域及;二、二维连续型随机变量的条件密度函数例301OPTION02OPTION03OPTION04OPTION同济大学数学科学学院&人民邮电出版社⑴例4中随机变量的联合密度函数为在给定条件下的条件值域为二、二维连续型随机变量的条件密度函数解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社(2)所以(3)在给定条件下

的条件值域为二、二维连续型随机变量的条件密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、二维连续型随机变量的条件密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社故二、二维连续型随机变量的条件密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社例则同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

二、二维连续型随机变量的条件密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

二、二维连续型随机变量的条件密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

二、二维连续型随机变量的条件密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

二、二维连续型随机变量的条件密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

二、二维连续型随机变量的条件密度函数同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

二、二维连续型随机变量的条件密度函数已知,当时,求的联合密度函数.由已知得由条件密度函数的定义知.

二、二维连续型随机变量的条件密度函数所以例4解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.5二维随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布设与相互独立,则⑴设，且与相互独立，则⑵设,且与相互独立，则定理1可推广到个相互独立的随机变量的和.一、二维离散型随机变量函数的分布定理1（分布的可加性）同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、二维离散型随机变量函数的分布（1）因为，那么，与分别表示与，则。由

重贝努利试验的独立性及重复性知，这里相互独立同分布，也相互独立同分布。又因为，相互独立。那么，表示着重的贝努利试验中“成功”的次数，由此得到，相互独立，所以与重贝努利试验中证明“成功”的次数。可设同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、二维离散型随机变量函数的分布(2)因为所以同济大学数学科学学院&人民邮电出版社在第一节例2中，讨论得优的科目数的分布情况，求的分布律直接在的联合分布律表格中每格左上角标出的值，有一、二维离散型随机变量函数的分布将取值相同格子中的概率相加，即得例1解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、二维离散型随机变量函数的分布因此，有如下结论。如果二维离散型随机变量的联合分布律为则随机变量的函数的分布律为且取相同值对应的那些概率应合并相加。同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设二维随机变量的联合密度函数为求的密度函数.其余二、二维连续型随机变量函数的分布（1）因为则时例2解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、二维连续型随机变量函数的分布整理得当时同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设随机变量的联合密度函数为,则随机变量的函数的密度函数为特别地，当与相互独立时,上式成为该公式称为卷积公式.或或二、二维连续型随机变量函数的分布定理2同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、二维连续型随机变量函数的分布对任意的，由的任意性知同理得显然，当随机变量与相互独立时，，证明同济大学数学科学学院&人民邮电出版社正态分布的可加性:设,且与相互独立,则更一般地,有其中均为常数,且

不全为零.二、二维连续型随机变量函数的分布定理3同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、二维连续型随机变量函数的分布由卷积公式得

令代入课前导读中的公式结论得所以，定理3可推广至个独立正态分布随机变量的情形。证明同济大学数学科学学院&人民邮电出版社例3由第三节定理1得又由定理3得，，所以已知的密度函数.,求