【《常微分方程初值问题的数值解法浅析》6000字（论文）】

常微分方程初值问题的数值解法浅析目录摘要 Ⅰ1.绪论 11.1数值分析的发展 11.2方程数值解法的对比 12.非线性方程根的数值解 22.1二分法 22.2牛顿迭代法 32.3弦截法与抛物线法 42.4典型例题 53.常微分方程初值问题的数值解 73.1欧拉法 83.2改进的欧拉法 93.3龙格-库塔法 113.4典型例题 14参考文献 16摘要常见的求解方程的主要的方法有两种：解析法和数值法.解析法也称之为公式法，它是将方程的根表示为方程的系数的函数形式，只需将待求的系数代入表达式，则可求出方程的根.但通过解析法求解的方程数量是有限的，所以，数值解法是解决方程问题的重要方法.本文总结概括了关于非线性方程根的数值解法、常微分方程初值问题的数值解法，同时列举出微分方程数值解在数学建模中的实际应用.关键词：数值解；非线性方程；微分方程；数学建模1.绪论1.1数值分析的发展随着计算机技术的快速发展，数值分析法已经成为了数学与计算机之间的桥梁，同时数值分析法在各学科中也得到了越来越多的应用.数值分析法从上世纪90年代开始已经成为了宏观经济学研究的主要手段之一，特别地，在消费理论、经济增长理论中都有着重要的应用.在力学领域中，由于常常会出现非均质、非线性的物体，同时其边界条件可能很复杂，此时数值分析法能将复杂的条件线性化，起到化繁为简的效果.数值分析不仅仅是各种数值方法的罗列与堆积，其内容丰富，包含了非线性方程数值解、数值线性代数、函数的数值逼近、微分方程数值解等.而数值分析与纯数学课又有所不同，它是与计算机密切结合的实用性很强的数学课程.例如，在“线性代数”课程中，线性方程组的数值解仅仅是介绍了解的存在唯一性及有关理论和精确解法，而这些内容并不能在计算机上求解上百个甚至十几万个未知数的方程组.因此，需要根据方程的特点研究出适合计算机使用的、满足精度要求的且节省计算时间的有效算法.本文主要研究了有关非线性方程根的数值解法、常微分方程初值问题的数值解法，通过举出经典例题使这些方法更加直观清晰.1.2方程数值解法的对比局部截断误差的阶为，改进的欧拉法的的局部截断误差的阶为，四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为.对于不同的方程，需要选择合适的方法进行求解.2.非线性方程根的数值解本章节着重介绍了求解单变量非线性方程的迭代法及其理论.二分法的算法简单，易于理解.牛顿法是迭代法中最为实用的方法，在单根附近具有2阶收敛，但在应用时需要选取较好的初始迭代值才可以保证迭代的收敛性.弦截法与抛物线法属于插值方法，它们不需要计算的导数，又具有超线性收敛，也是常用的有效方法.2.1二分法二分法是求非线性函数根的一种简单且直观的方法.它的理论基础是连续函数的介值定理，基本思想是通过对区间进行不断的划分，逐步缩小区间范围，最后找出方程的一个近似根.已知实函数在中连续，且有，则方程在中至少存在着一个根.进一步如果在中只有一个根且精度是，则可通过如下步骤求出满足的近似值.步骤一：设，取中点(初始迭代值)；若，则为方程的根，结束计算.步骤二：若，则可得包含的区间；若，则的根在中，取，；若，则的根在中，取，.步骤三：取的中点.若，则是方程的根，结束计算.反之，可得.步骤四：重复上述计算，可得收敛于的数列，使得.取充分大的使得，此时就是满足精度要求的近似值.由误差公式可以看出，二分法的迭代过程总是收敛的，但是每步只是以一半的速度下降，因此收敛速度太慢。一般不单独将其用于求根，只用其为根求得一个较好的近似值.二分法只能求解有实单根的方程，也很难向方程组推广使用.因此，需要更有效的方法来求解非线性方程的根.2.2牛顿迭代法求解非线性方程一种常见并且有效的数值方法是牛顿迭代法.牛顿迭代法的基本思想是通过将非线性方程转化为线性方程来进行求解.同时，牛顿迭代法不仅仅能够求解有单根的方程，也可以求解有重根的方程.（一）单根时的牛顿迭代法设在一个有根的区间上连续并且可微，对都有.假设是方程的一个近似根，可将在处进行泰勒展开，得到：.取泰勒展开式的线性部分，作为非线性方程的近似方程，记为：.由可解出方程的近似根.将在处泰勒展开，取泰勒展开式的线性部分，将其作为非线性方程的近似方程，记作：.由,可以解出.重复上述步骤，则可得牛顿迭代公式： （2.1）其迭代函数为： （2.2）牛顿迭代法求单根的收敛定理：设函数是次连续可导，是方程的单根，则当充分靠近时，牛顿迭代法收敛，且收敛阶数至少为2.牛顿迭代法具有直观的几何意义：通过曲线的切线与轴交点的横坐标来逼近曲线与轴交点的横坐标，因此牛顿迭代法又被称为牛顿切线法.然而，并不是所有的方程在所求区间上均只有一个根，以上方法只可解决具有单根的非线性方程，因此需要对有重根的方程进行讨论.（二）重根时的牛顿迭代法设，为整数且，，此时为的重根.(1)假设的重数已知，为了提高迭代的收敛速度，可将牛顿迭代公式变形为： （2.3）迭代函数为： （2.4）不难求出，此时（2.4）是二阶收敛的.(2)假设的重数未知，可以求出此时的导数：，再令，不难看出是方程的单根，运用牛顿迭代公式，得： （2.5）迭代函数为： （2.6）若迭代函数具有需要的连续性条件，由于牛顿迭代法求单根时至少是二阶收敛，因此用（2.6）求也至少是二阶收敛的.牛顿迭代法具有平方收敛的速度，因此牛顿迭代法的收敛速度是很快的.牛顿迭代法除了可以求解有重根的方程外，还可以求解非线性方程组.但是由于涉及到了导数的计算，所以对函数的要求有所提高，每一步迭代的计算量也大大增加.2.3弦截法与抛物线法在用牛顿迭代法求解方程时，虽然迭代速度得到了提高，但是每做一次迭代运算都需要进行一次导数的计算，从而导致计算量较大，因此可以利用已求函数值来回避导数值的计算.下面介绍两种常用方法，这两种方法都是建立在插值原理基础上进行的.（一）弦截法设，是方程的近似根，以，为节点构造一次插值多项式：，并用的根作为的新的近似根.此时弦截法的迭代公式为： （2.7）这样导出的迭代公式可以看作是将牛顿迭代公式中的导数用差商取代的结果.（2.7）中的是过曲线上点和点的割线与轴交点的横坐标，所以该方法被称之为弦截法（也叫割线法）.弦截法与牛顿迭代法都是线性化方法，但两者本质的区别是：牛顿迭代法在计算时只用到前一步的值，而弦截法在求时要用到前面两步的结果，因此使用弦截法必须先给出两个初始迭代值.（二）抛物线法设已知方程的三个近似根，，，以这三个点为节点构造二次插值多项式：，并适当选取的一个零点作为新的近似根.有两个零点： （2.8）其中，为了保证精度，选取根式前的符号与的符号相同，从而得到新的近似根.这样得到的迭代公式可以看作是弦截法与抛物线法都比牛顿迭代法的收敛速度慢，而抛物线法又比弦截法的收敛速度快.抛物线法可以求多项式的实根和复根，但需要选取三个初始迭代值.2.4典型例题以上是有关求非线性方程根的几种常见数值解法，结合例题可以对以上方法有更深入的理解，因此列举出了几道常见的例题进行分析.例1用二分法来求方程在区间内的一个实根，要求准确到小数点后的第二位.解：令.由易知在区间内有一根.取的重点，将区间二等分，由于，即与同号，故所求根在右侧，令，从而得到新的有根区间.如此反复进行，只需二分6次便可达到预定的精度，二分法的计算结果如表格1.表格1符号01.01.51.25-11.251.375+21.3751.3125-31.31251.3438+41.34381.3281+51.32811.3203-61.32031.3242-例2用牛顿迭代法计算.解：令，求等价于求方程的正实根，因为，所以牛顿迭代公式为：.取初始迭代值，计算结果见表格2.表格201.511.7521.73205085731.73205081541.73205080851.732050808例3已知是方程的二重跟，用牛顿迭代法求解该方程的根.解：令，则.迭代函数为：.此时迭代公式为：.取初始迭代值，计算结果见表格3.表格301.511.41666666721.41421568631.414213562例4用弦截法求解.解：令，由知，在内，方程有一根.迭代公式为：取初始迭代值,计算结果见表格4.表格400.00000000000000011.00000000000000020.50000000000000030.69230769230769240.77560339204174850.75352325251062460.75484958576524170.75487770485289880.75487766624559390.754877666246693100.754877666246693本章主要讨论了求解非线性方程根的一些常见的数值解法：二分法、牛顿迭代法、弦截法与抛物线法，除此之外还有牛顿下山法、斯蒂芬森法等等.在选择数值解法时，我们也需要根据方程的特性来决定.本文未提及非线性方程组的解法和理论也是一个重要的研究课题，不动点迭代法、局部收敛性及收敛阶等基本概念十分重要也很容易推广到非线性方程组.3.常微分方程初值问题的数值解法虽然求常微分方程解析解的方法多种多样，但这些方法只能对一些特殊类型的常微分方程进行求解.在实际问题中遇到的常微分方程，往往不能求出其解析解，所以在实际应用时需要通过数值计算求出满足要求的数值解.在自然科学与社会科学的许多领域中，常常会遇到一阶常微分方程的初值问题 （3.1）定理：如果方程（3.1）中的右端函数满足：（1）是实值函数；（2）函数在矩形区域内连续；（3）关于满足Lipschitz条件：即存在正常数，使得对任意,下列不等式成立：，则方程（3.1）存在唯一的解.对于方程（3.1），本文给出了三种常见的数值解法：欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法.3.1欧拉法欧拉法是最简单的方法，虽然其精度不高，但欧拉法的公式简单，也体现了其他方法的基本特征.欧拉法的具体求解如下：将区间作等分，步长为，节点为：.由可以得到在的导数值为：.利用泰勒展式：，忽略二阶无穷小量，得到：，其中为的近似值.由可以算出，依次进行可计算出在所有节点上的近似值，可以得出递推公式： （3.2）欧拉法的几何意义：欧拉法实际上是用过已知点的折线（图(1)中的虚折线）来近似代替过该点的积分曲线.不难看出，越小，则该折线逼近积分曲线越好，因此人们也将欧拉法称为欧拉折线法.由泰勒展式导出的欧拉法是一种单步法，其局部截断误差的阶为，整体误差的阶为.图13.2改进的欧拉法欧拉法是最简单的方法，容易操作且计算量小，但欧拉法的精度太低，如果增加步数，误差也会随之增多.因此，需要进一步对欧拉法进行研究.为了解决欧拉法带来的不便，可以通过改进欧拉法来提高精度.除了可以用泰勒展式导出欧拉法外，还可以从数值积分的角度来求解方程（3.1）.对微分方程两边从到进行积分，得到：，即：.用梯形公式近似上式积分，得：，再用，分别替代，，得： . (3.3)公式（3.3）被称为梯形公式.梯形公式法是二阶方法，其本身是一种隐式算法.虽然梯形公式的精度提高了，但是计算较为复杂.因此，可以结合欧拉公式和梯形公式再进行一次改进.先用欧拉公式求出一个初步的近似值，称其为预报值：，然后再用梯形公式（3.3）对预测值进行一次校正，得到校正值：.因此可以得到改进的欧拉公式（3.4）： （3.4）公式（3.4）也可以表示为下列平均化形式 （3.5）改进的欧拉法的局部截断误差的阶为，整体误差的阶为，所以改进的欧拉法也是二阶方法.3.3龙格-库塔法龙格-库塔法是求解方程（3.1）的一类重要方法，该方法稳定、精确并且容易计算与编程.它是用在区间上若干个点处的函数值的线性组合构造的高阶单步法:具体就是用在区间上若干个点处的函数值的线性组合代替在节点处的导数，来避免直接计算的高阶导数，然后利用泰勒展开式确定其中的系数.一些常见的龙格-库塔公式有：(1)三阶龙格-库塔法常用公式有：Heun三阶方法，此时公式为： （3.6）Kutta三阶方法，此时公式为： （3.7）当与无关时，公式（3.7）为Simpson公式.(3)四阶龙格-库塔法常用公式有： （3.8）和 （3.9）其中，公式（3.8）是最经常使用的龙格-库塔法，也被称为经典的四阶龙格-库塔法,其局部截断误差的阶为.四阶龙格-库塔法精度高，程序简单，计算过程稳定，并且易于调节步长.但是四阶龙格-库塔法要求函数具有具有较高的光滑性，同时每一步都需要计算四次函数值，计算量比较大.3.3典型例题以上是求解常微分方程初值问题的几种常见数值解法，结合例题可以对以上方法有更深入的理解，因此列举出了几道常见的例题进行分析.例1用欧拉法求解初值问题：解：欧拉公式的具体形式：取步长为0.1，计算结果见表格5.表格50.11.1001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321例2用改进的欧拉法求解初值问题：解：改进的欧拉公式为：取步长为0.1，计算结果见表格6.与例1中的欧拉法计算结果相比，改进的欧拉法明显改善了精度.表格60.11.09591.09540.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61531.61650.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.7321例3用四阶龙格-库塔法计算初值问题：解：取步长为0.2，经典的四阶龙格-库塔公式具有形式：计算结果见表格7.表格70.21.18321.18320.41.34171.34160.61.48331.48320.81.61251.61251.01.73211.7321由表格5、6、7的计算结果可以发现，龙格-库塔法的精度更高.虽然四阶龙格-库塔法的计算量比改进的欧拉法的计算量大了一倍，但是由于例3放大了步长，所以表格6与表格7所消耗的计算量几乎是相同的.本章主要研究了求解常微分方程初值问题的数值方法.构造数值方法主要有两条途径：基于数值积分的构造和基于泰勒展开的构造.相对而言，基于泰勒展开的构造更灵活，也更加具有一般性.对数值方法的分析还涉及局部截断误差，整体误差，收敛性，相容性及稳定性等概念，因此还需要更深入的学习.参考文献[1]陈双.对非线性方程近似解的认识和思考[J].数学的实践与认识，2014，44(23):314-320.[2]黄芳芳，汤玉荣.求解非线性方程的三种新的迭代法[J].山东工业技术，2019(12):229-230.[3]管慧莹.求解非线性方程的