MATLABSimulink教程-编程、计算与仿真（第2版）课件 chapter10 微分方程求解

第十章:微分方程求解DifferentialEquationSolutions主讲：薛定宇

东北大学信息学院国家级

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课

程

建设MATLAB科学运算与仿真第10章微分方程求解DifferentialEquationSolutions主讲：薛定宇东北大学信息学院MATLAB科学运算与仿真国家级一流本科课程建设第10章微分方程求解微分方程是另一类方程，含有未知函数的导数项微分方程通常用于动态系统的数学模型可以由函数求解，也可以通过Simulink建模与求解本章主要内容常微分方程的解析解微分方程的初值问题特殊微分方程微分方程的边值问题10.1

常微分方程的解析解很多线性微分方程可以解析求解一般非线性微分方程没有解析解可以尝试dsolve函数求解微分方程建议使用符号表达式描述微分方程和已知条件例10-1

高阶线性微分方程的解析解微分方程数学形式已知输入信号MATLAB直接求解例10-2

微分方程的特解前面给出的微分方程已知输入信号已知条件求解方程例10-3

微分方程非初值问题前面给出的微分方程已知输入信号已知条件求解方程10.1.2高阶微分方程组微分方程组也可以使用dsolve函数直接求解例10-4微分方程组MATLAB直接求解例10-5

线性微分方程组微分方程组MATLAB直接求解10.1.3时变微分方程由dsolve函数可以直接求解例10-6二阶时变微分方程MATLAB直接求解特殊函数例10-7

三阶时变微分方程时变方程MATLAB求解求解区间10.1.4非线性微分方程绝大多数非线性微分方程没有解析解可以尝试dsolve求解例10-8试求解下面的一阶非线性微分方程MATLAB求解例10-9

非线性方程求解已知非线性方程MATLAB求解例10-10

变换的形式微分方程稍有变化MATLAB求解非线性微分方程没有解析解，只能求数值解后面章节探讨各种微分方程的数值解10.2微分方程的初值问题10.2.1一阶显式微分方程的标准型一阶显式微分方程的标准型状态变量向量任意非线性函数已知初值10.2.2微分方程的直接求解常用的求解函数函数调用格式微分方程求解步骤写出微分方程的数学形式标准型数学形式MATLAB描述微分方程匿名函数或MATLAB函数描述微分方程的标准型对于函数输入变元t，不能舍弃微分方程的求解。可调用ode45()或其他函数直接求解解的检验例10-11Lotka–Volterra方程Lotka–Volterra捕食者与猎物模型方程已知参数和初值变换成标准型：令写出标准型微分方程数值解（续）标准型描述微分方程并求解微分方程微分方程解的检验（略）10.2.3微分方程解的检验求解控制参数设置控制选项例10-12

提高解的精度例10-11的解曲线过于粗糙修改控制选项，得出精确结果计算量增加，增幅不大10.2.4微分方程的变换方法微分方程数值解函数只能处理标准型非标准型的微分方程需要变换成标准型高阶显式微分方程已知初值选择状态变量例10-13

时变微分方程微分方程解析解求解区间由于，可以得出显式微分方程模型方程选择状态变量分两段求解，合成在一起不同算法的对比将前面的ode45替换成其他算法一般应该采用ode45如果下载了ode87，值得一试刚性微分方程求解算法不大适用高阶微分方程组变换方程原型选择状态变量例10-14Apollo卫星轨迹数学模型已知参数已知初值选择状态变量写出标准型得出标准型描述微分方程用MATLAB函数描述微分方程用匿名函数描述求解方程并验证结果直接求解原结果是错误的，修改控制参数最小步长与步长曲线例10-15

更复杂的微分方程组微分方程组同时含有选择状态变量求解写出标准型得出结果写出标准型10.2.5

刚性微分方程数值算法的引入有些微分方程解出现毛刺选项某些状态变换缓慢，另一些有突变，不易选择统一步长数值解函数长时间不能得出数值解方程很可能是刚性方程选择刚性方程的专用方法求解例10-16

刚性方程求解VanderPol方程已知求解区间方程的标准型微分方程描述微分方程求解求解语句10.3特殊微分方程各类不同的微分方程求解微分代数方程隐式微分方程延迟微分方程通过例子介绍求解方法和求解函数10.3.1微分代数方程微分代数方程的标准型质量矩阵求解方法正常描述方程右边构造左侧的M

矩阵将矩阵或矩阵函数句柄写入选项的Mass属性直接求解微分方程例10-17求解微分代数方程微分代数方程已知初值标准型微分代数方程（续）描述微分方程直接求解10.3.2隐式微分方程数学标准型已知相容初始条件的计算隐式微分方程的求解例10-18

隐式微分方程微分方程已知初始条件状态变量选择隐式微分方程求解隐式微分方程的描述与初值微分方程求解10.3.3延迟微分方程微分方程则含有状态变量及导数在不同时刻的值延迟微分方程常数延迟的微分方程求解可以带有非零历史值、历史函数延迟只能是常数例10-19

延迟微分方程微分方程微分方程的变换状态变量延迟微分方程的求解记延迟信号存在Z

矩阵中，第一列第二列为延迟微分方程标准型微分方程的描述微分方程求解MATLAB求解语句微分方程的解：返回的变量tx.y是按行存储的不同误差限的求解效果变延迟微分方程如果延迟为时间、状态的函数，dde23不能求解需要用函数句柄描述延迟常数延迟描述为t-ti求解命令例10-20

变延迟微分方程微分方程微分方程描述与求解语句中立型延迟微分方程中立型延迟微分方程(neutral-typeDDE)微分方程含有状态变量在不同时刻的导数两个延迟向量MATLAB求解函数例10-21中立型延迟微分方程微分方程已知矩阵MATLAB求解10.4微分方程的边值问题前面介绍的是微分方程初值问题如果已知的条件包括部分初值也包括部分终值，则称为微分方程的边值问题(boundaryvalueproblem)本节主要介绍边值问题的数学形式边值问题的求解方法含参数边值问题的求解方法10.4.1边值问题的数学形式边值问题的标准型边值问题允许带有未知参数q边值描述记作10.4.2

一般边值问题求解边值问题的求解步骤产生参数的插值点描述微分方程与边界条件边值问题的数值求解例10-22

求解边值问题微分方程已知边值已知解析解为不能直接求解推导标准型边值问题的标准型得出的标准型由于选择状态变量边值问题的描述与求解边值条件边值条件标准型MATLAB求解10.4.3含有参数的边值问题求解如果微分方程含有参数，则归入v

向量利用前面介绍的方法可以直接求解如果需要，还可以调用bvp4c函数，有时可能牺牲精度，但可以求解一些问题例10-23

带参数微分方程微分方程边值记参数，得出标准型边值条件边值问题的描述与求解边值问题标准型MATLAB求解本章小结微分方程的解析解方法dsolve