《工程力学》课件-项目3：力系简化与平衡

力的平移定理职业教育专业教学资源库——数控技术力的平移定理力的可传性原理作用于刚性构件上某点的力，沿其作用线移动，不改变原力系对构件的外效应。力的平移定理==

力的平移定理问题能否在不改变作用外效应的前提下，将力平行移动到物体的任意点呢？力的平移定理作用于物体上的力，可平移到物体上的任一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。力的平移定理平面汇交力系平衡方程职业教育专业教学资源库——数控技术平面汇交力系平衡方程平面汇交力系作用于同一平面内各力的作用线交于一点的力系称为平面汇交力系。若刚体平面内作用力F1，F2，…，Fn

的作用线交于一点，无论各力的作用点是否在汇交点上，依据力的可传性原理，可以将各力沿其作用线移动到汇交点，得到作用于一点的汇交力系。哪些图是平面汇交力系？平面汇交力系平衡方程FT1FT2平面汇交力系平衡方程FT1FT2平面汇交力系平衡方程平面汇交力系总可以合成为一个合力FR，其合力在坐标轴上的投影等于各分力投影的代数和，即：

合力FR的大小和方向分别为：

式中，α为合力FR

与x轴所夹的锐角。平面汇交力系平衡方程平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力为零

即：

表示平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和均为零。此式亦称为平面汇交力系平衡方程。应用平衡方程时，由于坐标轴是可以任意选取的，因而可列出无数个平衡方程，但是其独立的平衡方程只有两个。因此对于一个平面汇交力系，只能求解出两个未知量。平面汇交力系平衡方程（1）受力分析：由于杆件AB、BC的自重不计，且杆两端均为铰链约束，故均为二力杆件，杆件两端受力必沿杆件的轴线。根据作用与反作用关系，两杆的B端对于销B有反作用力FBA，FBC，销B同时受重物G的作用。【例题】图a所示支架由杆AB、BC组成，A、B、C处均为光滑铰链，在铰B上悬挂重物G=5kN，杆件自重不计，试求杆件AB、BC所受的力。解平面汇交力系平衡方程【例题】图a所示支架由杆AB、BC组成，A、B、C处均为光滑铰链，在铰B上悬挂重物G=5kN，杆件自重不计，试求杆件AB、BC所受的力。解（2）确定研究对象：

以销B为研究对象，取分离体，画受力图，如图b所示。（3）建立坐标系，列平衡方程求解

平面汇交力系平衡方程【例题】图a所示重为G的球体放在倾角为30°的光滑斜面上，并用绳AB系住，AB与斜面平行，试求绳AB的拉力FA

及球体对斜面的压力FC。（1）受力分析：

以球体为研究对象，取分离体并画受力图（图b）。解（2）沿斜面建立坐标系Oxy，列平衡方程式得：

平面汇交力系平衡方程【例题】图a所示重为G的球体放在倾角为30°的光滑斜面上，并用绳AB系住，AB与斜面平行，试求绳AB的拉力FA

及球体对斜面的压力FC。解（3）若选取图c所示的坐标系，列平衡方程得：

联立求解方程组，得：

平面汇交力系平衡方程【例题】图a所示重为G的球体放在倾角为30°的光滑斜面上，并用绳AB系住，AB与斜面平行，试求绳AB的拉力FA

及球体对斜面的压力FC。（1）受力分析：

以球体为研究对象，取分离体并画受力图（图b）。解（2）沿斜面建立坐标系Oxy，列平衡方程式得：

由此可见，列平衡方程求解力系平衡问题时，坐标轴应尽量选在与未知力垂直的方向上，这样可以列一个方程式解出一个未知力，避免了求解联立方程组，使计算简便。职业教育专业教学资源库——数控技术无锡职业技术学院

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河南职业技术学院平面力偶系平衡方程职业教育专业教学资源库——数控技术平面力偶系平衡方程平面力偶系作用于物体上同一平面内的若干个力偶，称为平面力偶系。力偶系对物体的转动效应的大小等于各力偶转动效应的总和，即平面力偶系总可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。合力偶矩用MR表示为：

平面力偶系平衡方程要使平面力偶系平衡，其合力偶矩必等于零。平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各分力偶矩的代数和等于零

取气缸盖为研究对象，作用于其上的各力偶矩大小相等、转向相同（顺时针）且在同一平面内，因此合力偶矩为：【例题】下图所示多孔钻床在气缸盖上钻四个直径相同的圆孔，每个钻头作用于工件的切削力构成一个力偶，且各力偶矩的大小

M1=

M2=M3=

M4=15N·m，转向如图所示。试求钻床作用于气缸盖上的合力偶矩MR。解

平面力偶系平衡方程

（1）取梁AB为研究对象，分析并画受力图（图b）。解（2）列平衡方程求解：

平面力偶系平衡方程平面力偶系平衡方程总结1.平面力偶系总可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和

。2.平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各分力偶矩的代数和等于零。平面任意力系向一点简化职业教育专业教学资源库——数控技术各力的作用线处于同一平面内，既不平行又不汇交于一点的力系。平面任意力系向一点简化平面任意力系力线平移定理(a)(b)平面任意力系向一点简化力线平移定理(a)(c)平面汇交力系的合成平面力偶系的合成(b)

平面任意力系向一点简化力线平移定理(a)(c)平面汇交力系的合成平面力偶系的合成(b)

主矢的大小和方向为：

平面任意力系向一点简化力线平移定理(a)(c)平面汇交力系的合成平面力偶系的合成(b)（2）力系的主矩MR

附加力偶M1，M2，…，Mn

组成的平面力偶系的合力偶矩MR，称为平面任意力系的主矩。由平面力偶系的合成可知，主矩等于各附加力偶矩的代数和。平面任意力系向一点简化力线平移定理(a)(c)平面汇交力系的合成平面力偶系的合成(b)（2）力系的主矩MR

由于每一附加力偶矩等于原力对简化中心的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心力矩的代数和，作用在力系所在的平面上，即

平面任意力系向一点简化力线平移定理(a)(c)平面汇交力系的合成平面力偶系的合成(b)平面任意力系向平面内任一点简化，得到一主矢FR’和一主矩MR

。主矢的大小等于原力系中各分力投影代数和的平方和再开方，作用在简化中心上，其大小和方向与简化中心的选取无关。

平面任意力系向一点简化力线平移定理(a)(c)平面汇交力系的合成平面力偶系的合成(b)主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选取有关。

平面任意力系向一点简化

简化结果的讨论平面任意力系向一点简化

简化结果的讨论平面任意力系向一点简化

表明力系与一个力偶系等效，原力系为一平面力偶系，在这种情况下，主矩的大小与简化中心的选取无关。简化结果的讨论平面任意力系向一点简化

表明原力系简化后得到的汇交力系和力偶系均处于平衡状态，所以原力系为平衡力系。简化结果的讨论例题

例解1.选择O点为简化中心，建立图a所示的坐标系，求力系的主矢和主矩。

例题

例解1.选择O点为简化中心，建立图a所示的坐标系，求力系的主矢和主矩。主矢大小：

主矢方向：例题

例解1.选择O点为简化中心，建立图a所示的坐标系，求力系的主矢和主矩。主矩大小:主矩的转向沿逆时针方向。

例题

例解

合力FR

的作用线到O点的距离d为：

平面任意力系平衡方程职业教育专业教学资源库——数控技术平衡条件和平衡方程平面任意力系向平面内任一点简化，得到一主矢FR’和一主矩MR

。当平面任意力系简化的主矢和主矩均为零时，则力系处于平衡。同理，若力系是平衡力系，则该力系向平面任一点简化的主矢和主矩必然为零。

平面任意力系的平衡方程为：这个公式是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一矩式方程。这是一组三个独立的方程，故只能求解出三个未知量。平衡方程的应用首先，要为工程结构和构件选择合适的简化平面，画出其平面简图；其次，确定研究对象，取分离体，画其受力图；然后，列平衡方程求解。应用平面任意力系平衡方程求解工程实际问题列平衡方程时要注意坐标轴的选取和矩心的选择为使求解简便，坐标轴一般选在与未知力垂直的方向上，矩心可选在未知力作用点（或交点）上。平衡方程的应用【例题】如图所示简支梁AB，已知梁上作用集中力F和集中力偶Mo=Fa，试求梁AB的约束力。选AB为研究对象，取分离体，画受力图（图b）。建立坐标系𝒙𝑨𝒚，坐标轴与未知力垂直，矩心可选在未知力FAx、FAy的交点A上，列平衡方程解得解

平衡方程的应用0102列平衡方程求平面力系平衡问题时，与列投影方程或力矩方程的先后次序无关。在选取了合适的坐标系和矩心后，要注意分析所要列出的投影方程或力矩方程中包含几个未知力。03一般先列出包含有一个未知力的方程，解出一个未知力，从而避免了求解联立方程组，使求解过程简便。平衡方程的其他形式平面任意力系的平衡方程除了基本形式的一矩式方程外，还有其他两种形式。二矩式方程三矩式方程

应用二矩式方程时，所选坐标轴X不能与矩心AB的连线垂直。应用三矩式方程时，所选矩心A、B、C三点不能在同一条直线上。空间力系职业教育专业教学资源库——数控技术空间力系空间力系空间一般力系空间汇交力系空间平行力系力在空间直角坐标轴上的投影直接投影法投影为代数量，有正负。

力在空间直角坐标轴上的投影间接投影法（也称二次投影法）

力在空间直角坐标轴上的投影由力的投影计算力的大小和方向

力对轴的之矩力对轴之矩的概念及其计算方法力使物体绕某一轴转动效应的度量称为力对该轴的矩。力对轴的之矩力对轴之矩在轴上的投影是代数量，其值等于此力在垂直该轴平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩。力对轴的矩的定义

正负号规定--右手法则力对轴的之矩讨论：什么情况下

(1)Fxy=0平行于z轴

(2)h=0的作用线通过z轴

与z轴共面

空间任意力系的平衡条件 空间任意力系的简化方法与平面任意力系的简化方法相同。

空间一般力系向一点O简化，可得一力和一力偶，该力的大小和方向等于力系的主矢，作用于简化中心；该力偶的力偶矩等于力系对O点的主矩。空间任意力系向一点简化的简化空间任意力系的平衡条件力系可能使物体沿x、y、z轴方向的移动状态发生变化，也可能使该物体绕该三轴的转动状态发生变化。物体不平衡物体沿x、y、z三轴的移动状态不变，绕该三轴的转动状态也不变。该力系中各力在x、y、z轴上的投影的代数和为零，该力系对x、y、z轴力矩的代数和也为零。物体在力系作用下处于平衡空间任意力系的平衡条件受空间一般力系作用的刚体:平衡主矢、主矩都为零平衡方程

空间一般力系有六个独立的平衡方程，可解六个未知量。平衡方程也有四矩式、五矩式、六矩式。空间任意力系的平衡条件空间任意力系的平衡方程，是平衡方程的最一般的形式。其它各种力系的平衡方程，都是空间任意力系平衡方程的特例。设各力平行z轴，则在空间任意力系的六个方程中空间平行力系的平衡方程

则平衡方程为：

空间任意力系的平衡条件空间汇交力系的平衡条件

空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系有3个独立的平衡方程，可解3个未知量。各力的作用线汇交于一点的空间力系称为空间汇交力系。轮轴类零件的平面解法空间任意力系平衡时，它的任意平面上的投影组成的平面任意力系也是平衡的。计算中，常将一些空间任意力系的平衡问题按主视、俯视、侧视三个平面投影，列出各平面上的平衡方程。轮轴类零件的平面解法【例题】已知：rD=50mm，rC=100mm，切向力Ft1=3.58KN，径向力Fr1=1.3KN，Fr2=2.6KN；求切向力Ft2和约束力？轮轴类零件的平面解法已知：rD，rC，Ft1，Fr1，Fr21研究对象2画三个平面的受力图可从ZAY平面、XAY平面、ZAX平面分别进行研究。轮轴类零件的平面解法已知：rD，rC，Ft1，Fr1，Fr21）在ZAY平面上3列平衡方程∑MA(F)=0

rCFt1—rD

Ft2=0

Ft2=rCFt1/rD=100Ft1/50=2Ft1=7.16KN

？？？？？轮轴类零件的平面解法2）在XAY平面上3列平衡方程∑MA(F)=0300FYB—200Fr2—100Fr1=0FYB=（2Fr2+Fr1）/3=(2×2.6+1.3)/3=2.17KN∑FY=0FYA+FYB—Fr2—Fr1=0FYA=Fr2+Fr1—FYB=2.6+1.3—2.17=1.73KN已知：rD，rC，Ft1，Fr1，Fr2轮轴类零件的平面解法3）在XAZ平面上3列平衡方程∑MA(F)=0200Ft2—300FZB—100Ft1=0FZB=(2Ft2—Ft1)/3=(2×7.16—3.58)/3=3.58KN∑FZ=0FZA+FZB—Ft2+Ft1=0FZA=0已知：rD，rC，Ft1，Fr1，Fr2，Ft2，FYB，FYA轮轴类零件的平面解法Ft1=3.58KNFt2=7.16KNFZB=3.58KN其实从图中可看出FZB、Ft2、Ft1已成平衡。（FZA=0）轮轴类零件的平面解法已知：rD，rC，Ft1，Fr1，Fr2画两图（立体、平面）查投影列方程总结物体系统的平衡职业教育专业教学资源库——数控技术物体系统的平衡物体系统工程机械和结构都是由若干个构件通过一定约束连接组成的系统，称为物体系统，简称为物系。系统外物体对系统的作用力，称为物系外力。系统内部各构件之间的相互作用力，称为物系内力。物系外力与物系内力是个相对的概念：当研究整个物系平衡时，由于内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡时，系统中其他构件对它们的作用力就成为这一构件或这部分构件的外力，必须予以考虑。物体系统的平衡若整个物系处于平衡，那么组成物系的各个构件也处于平衡。因此在求解时，既可以选整个系统为研究对象，也可以选单个构件或部分构件为研究对象。对于所选的每一种研究对象，一般情况下（平面任意力系）可列出三个独立的平衡方程。分别取物系中n个构件为研究对象，最多可列3n个独立的平衡方程，解出3n个未知量。若所取研究对象中有平面汇交力系、平面平行力系或平面力偶系时，独立平衡方程的数目将相应地减少。物体系统的平衡

解（1）取三铰拱整体为研究对象，画其受力图（图b），列平衡方程（二矩式方程）：

物体系统的平衡

解（2）取左半拱AC为研究对象，画受力图（图c），列平衡方程（一矩式平衡方程）：

物体系统的平衡物系平衡问题解法整个物系处于平衡，组成物系的各个构件也都处于平衡。可以选整个系统为研究对象，也可以选单个构件或部分构件为研究对象。静定与静不定的概念职业教育专业教学资源库——数控技术平衡方程平面任意力系二矩式方程∑𝑭𝒙=𝟎∑𝑴𝑨

(𝑭)=𝟎∑𝑴𝑩

(𝑭)=𝟎三矩式方程∑𝑭𝒙=𝟎∑𝑴𝑨

(𝑭)=𝟎∑𝑴𝑩

(𝑭)=𝟎一矩式方程∑𝑭𝒙=𝟎∑𝑭𝑦=𝟎∑𝑴𝐴

(𝑭)=𝟎平面汇交力系∑𝑭𝒙=𝟎∑𝑭𝑦=𝟎平面平行力系∑𝑭=𝟎∑𝑴𝑂

(𝑭)=𝟎平面力偶系∑𝑴=𝟎静定与静不定的概念静定问题当力系中未知量的数目少于或等于独立平衡方程数目时，则全