2026全国数学I卷试题逐题规范解答

2026年普通高等学校招生全统一考试数学试题逐题规范解答根据上传试卷重新排版整理2026年6月7日总答案速查11–8：B，A，C，D，D，B，B，A。9–11：，BC，ABD。2：q；13：θ=；14：q。113π2π,f()=1331159：距离61；16：A=,CE=35；172：见分布列与证明；18：C:x24+y23=1，其余见解答；√1：D(−1)=(0,)，其余见3证明。32一、单项选择题1.中位数将数据6,8,4,5,12从小到大排列：4,5,6,8,12.共有5个数，中位数为第3个数6。答案：B2.平面向量线性表示由a,b不共线，且2a+yb=xa−3b,比较a,b的系数，得x=2,y=−3.答案：A3.集合运算先计算7π15π15πsin=−,cos=,tan=1.62324所以A=−,,1,(−,−,1.)ꢀꢁ√3111B=22221数学试题逐题规范解答公共元素为含TikZ图示ꢀꢁ1A∩B=−,1.2答案：C4.切线方程曲线y=5x+8lnx的导数为8′y=5+.x在x=1处斜率为13，又点为(1,5)，故切线为y−5=13(x−1),y=13x−8.答案：D5.抛物线焦点距离对C:y=2px，代入(4,8)：211614=2p·4⇒p=8,11其焦点为F(,0)=(4,0)。p1对C:x12py，代入(4,8)：22226=2p·8⇒p=1,22其焦点为F(0,)=(0,)。于是p22122sꢂꢃ√21265.FF=42+=122答案：D6.函数最大值x+2ex+a−(x+2)exa−(x+1)exf(x)=,f′(x)==.e+a(e+a)(e+a)xx2x2若在极值点x处取到最大值1，则0a=(x+1)ex.00代回函数值：x0+2x0+21ex0f(x0)===.ex+(x+1)xe(x+2)xe00000最大值为1，故e=1，即x=0，从而−x00a=(0+1)e0=1.答案：B2数学试题逐题规范解答含TikZ图示7.等差配对已知12行座数总和为108。题中给出1,3,3,5,5五个数，其和为17；其余7个数为首项7、公差2的等差数列：7,9,11,13,15,17,19,和为91，与总和符。因此全部12个数为1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19.若分成6组，每组两数之和形成公差为d的6项等差数列，设这6个和为s,s+d,s+2d,s+3d,s+4d,s+5d.总和为108，故6s+15d=108,2s+5d=36.实际可配成(1,7),(3,9),(3,13),(5,15),(5,19),(11,17),其和依次为8,12,16,20,24,28,公差为4。答案：B8.随机变量的期望集合U={(x,x,x):x∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}123i共有4=64个点。每个坐标取值关于0对称，故在U上3X(x+x+x)=0.123M∈U样本空间删去点P(1,1,1)，该点对应X=3，于是剩余63个点上的总和为−3。所以−31E(X)==−.6321答案：A3数学试题逐题规范解答含TikZ图示二、多项选择题9.复数运算设z=3+2i。A.z=3−2i，正确；√√13̸=5，错误；B.|z|=23+2=2C.z=(3+2i)=9+12i−4=5+12i，正确；22D.z+36+2i(6+2i)(3−i)===2∈R,z−i3+i(3+i)(3−i)正确。答案：A、C、D10.空间距离与垂直取直线AB为xC,D到AB的足分别对应坐标参数u,v，直于AB的分量为c,d，则|c|=2,|d|=1,c·d=2·1cos60◦=1.因此22222CD=(u−v)+|c−d|=(u−v)+4+1−2=(u−v)+3≥3,所以CD≥3，B正确。√若AB⊥CD，则u=v，此时CD完全落在直于AB的平内，且2(d−c)·d=|d|−c·d=1−1=0,即CD⊥AD，又CD⊥AB，故CD⊥平面ABD，C正确。A可取u,v很大且接近，使∠CAD很小，故不恒成立。D中若AB⊥平面ACD，则AC与AD的夹角等于二角的平角60并非必直。答案：B、C，◦示意CD60◦足AB11.三个单位圆与弦长三个圆的圆心为√O(−1,0),O2(1,0),O(0,3),13均为单位圆。直线l:y=kx+b写成kx−y+b=0,4数学试题逐题规范解答含TikZ图示记q=k+1，三个圆心到直线的有向距离的分子分别为√2δ=b−k,δ=b+k,δ=b−√3.123单位圆中，距离圆心为d的弦长为21−d。√2A：对任意实数k，可适当选取b使三个距离均小于1，所以可与三圆均有两个交点，A正确。B：s=s=s等价于123√|b−k|=|b+k|=|b−3|.由|b−k|=|b+k|得b=0或k=0。若b=0，则|k|=3，得y=±3x；若k=0，得√√√√3|b|=|b−3|，即b=。共3条，B正确。√C：例如在y=3x2近微小改变斜率时，由弦长和关于(k,b)连续，仍可通过微调b保持s+s+s=3，故满足条件的直线不是有限的三条，C错误。1：23时，Db=0r43s+s+s=√+21−+1.k2123k2+1令u=，则0<u<，113√√k2+1√S=4u+21−3u2.求导得6u2S′=4−√=0⇒u=√21.1−3u2此时r√221837Smax=√+2=.213D正确。答案：A、B、Dyy=√3xO3√32y=xO1O2√y=−3x5数学试题逐题规范解答含TikZ图示三、填空题12.双曲线离心率x2y2225x−6y=1−=1.1516故11113022222a=,b=,c=a+b=.56离心率qr11c116e==30=.a15答案：r11613.三角函数的偶性与单调性f(x)=2sin(ax+θ).f(x)为偶函数，展开得sin(θ−ax)=sin(θ+ax),即cosθsin(ax)=0.因函数在区间内严格递增，不可能a=0，故或.π3πcosθ=0,θ=22若θ=，则f(x)=2cosax，在(0,)不可能严格递增；故π2π2θ=π,3f(x)=−2cosax.2由单调递增可取a=1或a=2，两种情形均有ꢂꢃꢂꢃ2π2πf=−2cosa·=1.33答案：θ=π,f()=132π2314.分组和与等比数列由S3n=a+a+···+a=n2+n3n12得每三个一组的和为a3n−2+a3n−1+a3n=S3n−S3n−3=2n.6数学试题逐题规范解答含TikZ图示若存在连续9项成公比为q的等比数列，设这9项为28A,Aq,Aq,...,Aq.这9项不可能正好覆盖连续三个完整三元组，否则三组和的比既应为q，又应同时等于3n+1n+2,,nn+1两不可能等。因此它至少含两个连续完整三元组。两组和分别为r2Aqr+3(1+q+q2),Aq(1+q+q),又这两组对应的三元组和为2(n+1),2(n+2)，所以n+2q3=.n+1当n≥1时，该式最大取在n=1，于是r33qmax=.2r答案：323四、解答题15.直三棱柱中的线面平行与距离建立空间直角坐标系：令C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C1(0,0,2),则A(a,0,2),B(0,a,2)。因为D,E分别为AB,AC的中点，111ꢄꢅꢄꢅaaaD,,0,E,0,1.222故ꢄꢅaDE=0,−,1.2(1)证明线平面BCCB的方程为x=0DE的x分量为0DE的方向平−行于平面BCCB；而D,E11坐标均为̸=0，直线DE不在该平内，所以a211DE∥平BCCB.11(2)求距离。平面ACCA的方程为y=0。直线DE与该平所成角为45，因此◦11a|方向向量在y轴方向的分量|sin45◦==.q2−|DE|a24+17数学试题逐题规范解答含TikZ图示解得a=2。由于DE∥平面BCCB，直线到平的距离就是任一点到平面x=0的距离：11ad==1.2答案：直线DE到平面BCCB的距离为1。11C1平面BCCBA1B111ECADB16.解三角形与平行线(1)求cosA。由余弦定理，√3√cosB=9+12−2·3·23·=9.222AC=AB+BC−2AB·BC3故AC=3。再由余弦定理，AB2+AC2−BC29+9−12=.1cosA==2AB·AC183(2)求CE。取A(0,0),C(3,0).由AB=3且cosA=，可取13√B(1,22).D在BA的延长线上，设√D=(−s,−22s),s>0.又DE∥BC，其中√√BC=(2,−22),|BC|=23.由DE=√6，得比例系数√DE61λ==√=√.BC232所以√E=D+λ(2,−22).因为AE⊥AC，而AC为x轴，故E在y轴上，即E=0。于是x√−s+2λ=0⇒s=2λ=2,从而E=(0,−6).8数学试题逐题规范解答因此含TikZ图示p√CE=(3−0)2+(0+6)2=35.答案：cosA=,CE=35√13BACDDE∥BCE17.截断几何分布设r=1−p。停止时投篮次数X的分布为P(X=j)=rj−1p(j=1,2,...,N−1),而P(X=N)=rN−1p+rN=rN−1.(1)当N=4,p=时，r=，所以1323X12341329427827P(2)(i)若k≤N−1，则X>k等价于前k次均未投中，故kkP(X>k)=r=(1−p).(2)(ii)若k+m≤N−1，则P(X>k+m)rk+mP(X>k+m|X>k)===rm=P(X>m).P(X>k)rk这正是几何分布的“无记忆性”在本题截断条件内的体现。9数学试题逐题规范解答含TikZ图示18.椭圆、焦点弦与角的最值(1)求椭圆方程。椭圆左焦点为F(−1,0)，故c=1。离心率为c1e==,a2所以a=2。又222b=a−c=4−1=3.因此x2y2+=1.43(2)设直线l的斜率为t>0。直线过F(−1,0)，故l:y=t(x+1).代入椭圆得x2t2(x+1)2+=1,43即2222(3+4t)x+8tx+4t−12=0.设上方交点为P，第三象限交点为Q，则√√2(−2t2+3t2+1)2(−2t2−3t2+1)xP=,x=Q.4t2+34t2+3由于椭圆关于原点对称，直线PO与椭圆的另一交点为R=−P.(i)求l。P,Q,F共线，且R=−P。点O到直线l的距离为t√,t2+1点R到直线l的距离为其2。因此S△PQRPQ=2·.SPF△PFO题设该比值为3，故PQPF3=,PF=2FQ.2用横坐标差表示同一直线上的长度，得x+1=2(−1−x).PQ代入上式化简：故2√t2+1=3,√t=5.210数学试题逐题规范解答所以含TikZ图示√5l:y=(x+1).2(ii)求tan∠PQR的最小值。由计算可得直线QR的斜率为3kQR=−.4t直线QP的斜率为t。两直线夹角的正切为ꢆꢆꢆꢆꢆꢆꢆ−3−ꢆkQR−tQRt3tan∠PQR=ꢆꢆ=ꢆꢆ=4t+.4tꢆꢆꢆꢆ1+tk1−3t4由基本不等式，√√34t+≥212=43,t当t=时取等号。因此√32√tan∠PQRmin=43.ylPFxOQx24y23+=1R19.集合D(x)与函数单调性0(1)求D(−1)。此时1f(−1)=2−1=.2令x=−1+d。当d<1时，x<0，12f(−1+d)=2−1+d>d>0.得0<d<1。当d≥1时，x≥0，由题设f(x)=1−x，13f(−1+d)=1−(−1+d)=2−d>d<.22得1≤d<。综上32ꢂꢃ32D(−1)=0,.11数学试题逐题规范解答含TikZ图示(2)奇函数情形。若f为奇函数，则2x,x<0,x=0,f(x)=0,−2−x,x>0.于是(0,−x),(−∞,−x]∪(0,+∞),x>0.x<0,D(x)=由f(x)≤f(x)且xx̸=0分类讨论：1212•••若x,x<0，则x≤x<0，故(0,−x)⊆(0,−x)；121221若x,x>0，则0<x≤x，故(−∞,−x]⊆(−∞,−x]；121221若x>0,x<0，则D(x)=(0,−x)⊂(0,+∞)⊂D(x)。12221均有D(x)⊆D(x).21(3)(i)证明f(0)≥1。反设f(0)<1。由于2→1（x→0x<0充分接近0，使x−0f(0)<2x=f(x0)<1.0由条件(1)，f(0)<f(x)推出0D(x0)⊆D(0).取x0d=−>0.2因x