5.2.4二次函数 y = a -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

#北师大版九年级上册5.2.4二次函数$\boldsymbol{(y=)a(x-h)^2+k}$的图象与性质专项练习##知识点梳理###1.顶点式$\boldsymbol{(y=)a(x-h)^2+k\(a≠0)}$-图象：抛物线-**顶点坐标：$\boldsymbol{(h,\k)}$**-**对称轴：直线$\boldsymbol{(\boldsymbol{((x=)h)})}$**###2.开口、增减性、最值-$\boldsymbol{(\boldsymbol{(a>0)})}$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)开口**向上**(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)顶点是最低点-$(x<h)$（对称轴左侧）：$y$随$x$增大**减小**-$(x>h)$（对称轴右侧）：$y$随$x$增大**增大**-$(\boldsymbol{((x=)h)})$时(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$\boldsymbol{y_{\text{最小}}=k}$-$\boldsymbol{(\boldsymbol{a<0})}$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)开口**向下**(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)顶点是最高点-$(x<h)$（对称轴左侧）：$y$随$x$增大**增大**-$(x>h)$（对称轴右侧）：$y$随$x$增大**减小**-$(\boldsymbol{((x=)h)})$时(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$\boldsymbol{y_{\text{最大}}=k}$###3.平移规律（综合）$(y=)ax^2\xrightarrow[\text{左加右减（括号内）}]{\text{上加下减（末尾）}}(y=)a(x-h)^2+k$1.$(h>0)$：向右平移$h$个单位；$(h<0)$：向左平移$|h|$个单位2.$(k>0)$：向上平移$k$个单位；$(k<0)$：向下平移$|k|$个单位>>一句话记忆：**左右看括号(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)上下看常数**>例：$(y=)2(x+1)^2-3=2\left[x-(-1)\right]^2-3$>$h=-1(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)k=-3$：$(y=)2x^2$向左平移1(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)向下平移3###4.$|a|$的作用$|a|$越大(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)抛物线开口越窄；$|a|$越小(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)开口越宽。>>易错提醒1.解析式是$(x-h)$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)看到$((x+m))$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)则$h=-m$！$(y=)(x+2)^2+1$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$h=-2$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)顶点$(-2,1)$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)极易看错。2.平移顺序可先左右(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)再上下；也可先上下(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)再左右。3.最值是$k$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)不是0！和前面$(y=)a(x-h)^2$区分。4.增减性必须以对称轴$(\boldsymbol{((x=)h)})$分成左右两段描述。##一、选择题（每题4分(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)共20分）1.抛物线$(y=)3(x-2)^2+4$的顶点坐标是（）A.$((2,4))$B.$(-2,4)$C.$(2,-4)$D.$(-2,-4)$2.抛物线$(y=)-2(x+1)^2-5$的对称轴是（）A.$((x=)1)$B.$(x=)-1$C.$((x=)5)$D.$(x=)-5$3.将抛物线$(y=)x^2$向右平移3个单位(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)再向上平移2个单位(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)解析式是（）A.$(y=)(x+3)^2+2$B.$(y=)(x-3)^2+2$C.$(y=)(x-3)^2-2$D.$(y=)(x+3)^2-2$4.抛物线$(y=)-(x-4)^2+2$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)下面说法正确的是（）A.开口向上B.最小值是2C.顶点$((4,2))$D.对称轴$(x=)-4$5.抛物线$(y=)2(x-3)^2+1$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)当$(x>3)$时(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$y$随$x$增大而（）A.增大B.减小C.不变D.先增后减##二、填空题（每题4分(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)共20分）1.二次函数顶点式$(y=)a(x-h)^2+k$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)顶点坐标________(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)对称轴直线________。2.$(y=)-4(x+2)^2+6$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)开口向____(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)顶点________(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)当$(x=)$****时(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$y$有最____值****。3.$(y=)2(x-5)^2-3$是由$(y=)2x^2$向____平移____单位(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)再向____平移____单位得到。4.抛物线$(y=)3(x-1)^2-5$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)当$x$________时(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$y$随$x$增大而减小。5.抛物线$(y=)-5(x+3)^2+4$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)当$(x=)-3$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$(y=)$________。##三、解答题（共60分）1.（18分）写出抛物线$(y=)-3(x+2)^2+5$的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值。2.（20分）抛物线$(y=)2(x-1)^2-4$。（1）说明由$(y=)2x^2$经过怎样平移得到；（2）当$(x=)3$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)求函数$y$的值。3.（22分）点$A(2,y_1)$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$B(4,y_2)$在抛物线$(y=)(x-3)^2+1$上。（1）求$y_1,y_2$；（2）比较$y_1,y_2$大小。##参考答案与解析###选择题1.A2.B解析：$(y=)-2[x-(-1)]^2-5$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$h=-1$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)对称轴$(x=)-1$3.B4.C解析：$a=-1<0$开口向下(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)最大值为2(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)顶点$((4,2))$5.A解析：$(\boldsymbol{(a>0)})$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)对称轴$(x=)3$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$(x>3)$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)y随x增大增大###填空题1.$((h,k))$；$(\boldsymbol{((x=)h)})$2.下；$(-2,6)$；$-2$；大；$6$3.右；$5$；下；$3$4.$(<1)$5.$4$###解答题1.解：$a=-3<0$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)开口向下；$(y=)-3[x-(-2)]^2+5$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$h=-2(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)k=5$对称轴：直线$(x=)-2$；顶点坐标：$(-2,5)$；当$(x=)-2$时(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$y_{\text{最大}}=5$。2.解：（1）$(y=)2x^2$**向右平移1个单位(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)再向下平移4个单位**。（2）代入$(x=)3$$(y=)2\times(3-1)^2-4=2\times4-4=8-4=\boldsymbol{4}$3.解：（1）$y_1=(2-3)^2+1=(-1)^2+1=1+1=\boldsymbol{2}$$y_2=(4-3)^2+1=1^2+1=1+1=\boldsymbol{2}$（2）$\boldsymbol{y_1=y_2}$##易错点总结1.$(y=)a(x+\boldsymbol{m})^2+\boldsymbol{n}$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$h=-m$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)顶点横坐标是负数(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)是考试最常错点；2.平移口诀：**左加右减（括号内x）(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)上加下减（整个式子后面）**；3.最值是$k$(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)要看$a$正负判断最大还是最小；4.比较函数值大小(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)可以看点到对称轴$(\boldsymbol{((x=)h)})$的距离(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)距离越远(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)$|y-k|$越大。下一节：**5.3二次函数$(y=)ax^2+bx+c$的图象与性质（一般式）**(h=-1(h=-2，k=5)k=-3)继续练习吗？北师大版（新教材）数学九年级上册5.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

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2026/10/8

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第五章二次函数1.

理解二次函数

y=a(x-h)2+k的图象与二次函数

y=a(x-h)2

的图象之间的位置关系．(重点)2.

掌握二次函数

y=a(x-h)2+k的图象及其性质．

(难点)3.

会用二次函数的知识解决简单的实际问题，会用数学的思维分析、转化、解决实际问题．1.

说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况:(1)

y

=

ax2(2)

y

=

ax2+c(3)

y

=

a(x

-h)2yyyyxxxxOOOOyyyyxxxxOOOOyyxxOOy

=

2x2

+32.请说出二次函数

y

=

2x2

的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？3.把

y

=

2x2

的图象向上平移3个单位向右平移1个单位y

=

2(x

-

1)24.请猜测一下，二次函数

y=2(x-

1)2

+3

的图象是否可以由

y

=

2x2

平移得到？例1

画出函数

y=2(x-

1)2

+3

的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.…………43210-1-2x21115351121解：先列表：y=2(x-1)2+3探究点1：二次函数

y=a(x-h)2+k的图象和性质开口方向：

；对称轴：

；顶点坐标是

；增减性：_________________________________________________________.再描点、连线.向上直线

x

=1(1，3)

当x＜1

时，y

随

x

增大而减小；当

x＞1

时，y

随

x增大而增大想一想：函数

y=a(x-

h)2+k

(a＞0)

的性质是什么？探究点1：二次函数

y=a(x-h)2+k的图象和性质24x-12yO-26y=2(x-1)2+3试一试

画出二次函数

的图象，并填空.开口方向：

；对称轴：

；顶点坐标是

；增减性：___________________________________________________________.24x-2-4-6yO-2-4向下直线

x

=

-1(−1，−1)

当x＜-1

时，y随

x

增大而增大；当x＞-1

时，y随

x增大而减小想一想：函数

y=a(x-

h)2+k

(a＜0)

的性质是什么？探究点1：二次函数

y=a(x-h)2+k的图象和性质【归纳总结】y=a(x-h)2+ka＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性向上向下直线

x=h直线

x=h(h，k)(h，k)当

x=h

时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k当

x＜h

时，y

随

x

的

增大而减小；x＞h

时，y

随

x

的增大而增大当

x＜h

时，y

随

x

的

增大而增大；x＞h

时，y

随

x

的增大而减小探究点1：二次函数

y=a(x-h)2+k的图象和性质例2

已知抛物线

y＝a(x

−3)2+2

经过点(1，−

2)．(1)指出抛物线的对称轴；(2)求

a

的值；解：(1)由

y＝a(x﹣3)2+2

可知其顶点为(3，2)，

对称轴为直线

x＝3.(2)∵抛物线

y＝a(x﹣3)2+2

经过点(1，-2)，∴-2＝a(1-

3)2+2，∴

a＝-1.探究点1：二次函数

y=a(x-h)2+k的图象和性质(3)若点

A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，

试比较

y1

与

y2

的大小．∴

y1＜y2.解：∵y＝﹣(x﹣3)2+2，∴此函数的图象开口向下，当

x＜3

时，y

随

x

的增大而增大.∵点

A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)

都在该抛物线上，探究点1：二次函数

y=a(x-h)2+k的图象和性质探究点2：二次函数

y=a(x+h)2+k与

y=ax2(a≠0)的关系y=2x2怎样移动可以得到y=2(x-1)2+3？画一画，填出下表：开口方向对称轴顶点坐标

y

=

2x2函数

y

=

2x2+3

y

=

2(x-1)2y=2(x-1)2+3向上向上向上向上x=0x=0x=1x=1(0,0)(0,3)(1,0)(1,3)24x-12yO-26

y=2x2y=2(x-1)2y

=

2x2+3y=2(x-1)2+3

A

返回

DA.

B.

C.

D.

返回

左2下5（或下；5；左；2）返回平移方法1向右平移1个单位长度3个单位长度向上平移例3怎样移动抛物线

y

=

2x2

就可以得到抛物线

y=2(x-1)2+3？

y

=

2x2

y

=

2x2+3y=2(x-1)2+324x-12yO-26y=2(x-1)2+38探究点2：二次函数

y=a(x+h)2+k与

y=ax2(a≠0)的关系平移方法2向上平移

3个单位长度

y=2x2

y=2(x-1)2向右平移1个单位y=2(x-1)2+3例3怎样移动抛物线

y

=

2x2

就可以得到抛物线

y=2(x-1)2+3？24x-12yO-26y=2(x-1)2+38探究点2：二次函数

y=a(x+h)2+k与

y=ax2(a≠0)的关系思考·交流如何由二次函数

y

=

2x2

的图象得到二次函数

y=2(x+

1)2

-

3的图象呢？向左平移1个单位长度3个单位长度向下平移y

=

2x2y

=

2x2-3y=2(x+1)2-3向左平移1个单位长度3个单位长度向下平移y

=

2x2y=2(x+1)2y=2(x+1)2-3探究点2：二次函数

y=a(x+h)2+k与

y=ax2(a≠0)的关系【归纳总结】y=ax2y=ax2±k

y=a(x±h)2y=a(x±h)2±k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律(设

h＞0，k＞0)：简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数a不变.二次函数y=ax2

与y=a(x±h)2±k的关系探究点2：二次函数

y=a(x+h)2+k与

y=ax2(a≠0)的关系【链接中考】1.将抛物线

y

=﹣5x2+1

向左平移

1

个单位长度，再向下平移

2

个单位长度，所得到的抛物线为()

A．y

=﹣5(x

+1)2﹣1

B．y

=﹣5(x﹣1)2﹣1

C．y

=﹣5(x

+1)2+3 D．y

=﹣5(x﹣1)2+3A探究点2：二次函数

y=a(x+h)2+k与

y=ax2(a≠0)的关系试着画出二次函数

y=a(x-

h)2+k不同情况下的大致图象.(

按

a，h，k的正负分类

)a＞0，h＜0a＞0，h＞0a＜0，h＜0a＜0，h＞0探究点2：二次函数

y=a(x+h)2+k与

y=ax2(a≠0)的关系例4已知二次函数

y＝a(x－1)2－k的图象如图所示，则一次函数

y＝ax＋k的大致图象是(

)解析：根据二次函数开口向上得

a＞0，根据

－k是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出

k＞0，故一次函数y＝ax＋k的图象经过第一、二、三象限．故选A.A探究点2：二次函数

y=a(x+h)2+k与

y=ax2(a≠0)的关系【归纳总结】结论：①

a决定开口方向.

②

(h，k)决定顶点坐标.h决定对称轴(直线

x=h).h＜0，对称轴在

y

轴的左