机电一体化技术及应用 课件-第2章　自动控制理论和应用

第2章·自动控制理论和应用2.1自动控制概述与性能指标从人工控制到自动控制——用稳、准、快三把尺子衡量一个系统本节知识链基本概念→四步分析→五大案例→系统分类→过渡过程→品质指标2.1.1自动控制系统的基本概念|2.1.2自动控制系统的基本要求机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件本节导图2.1自动控制概述与性能指标·内容与知识主线数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件0201自动控制系统的基本概念控制与自动控制的定义；系统由被控对象与控制装置两部分组成；12个核心术语；五大应用案例与系统分类。02读案例的统一方法控制目标→六大组成→术语对应→控制过程：同一框架下看直流电机、数控机床、机器人关节、无人机与AMR。03自动控制系统的基本要求稳定性（稳）、准确性（准）、快速性（快）；三项要求各用一对阶跃响应曲线对比。04过渡过程与品质指标阶跃响应五种基本形式；余差、最大偏差、超调量、调节时间、衰减比、振荡周期六项指标。05典型输入信号阶跃、斜坡（等速）、抛物线（等加速）、正弦、脉冲；实用上常以阶跃信号分析系统。主线·知识链概念与术语↓四步分析法↓五大案例↓系统分类↓稳准快与指标学习目标学完2.1，你将能够…数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件03知识目标①说出控制、自动控制与自动控制系统的定义②说出系统的两部分组成与12个核心术语③记住“控制目标→六大组成→术语对应→控制过程”四步分析法④说出三种分类依据及各类系统的特点⑤解释为什么负反馈是自动控制的精髓⑥说出稳、准、快三大性能要求及其衡量指标⑦说出阶跃响应五种基本形式与稳定性判定⑧记住六项品质指标的定义与计算式⑨说出五种典型输入信号技能目标①能读懂闭环控制系统方框图②能用四步分析法拆解一个实际控制系统③能从过渡过程曲线上量取最大偏差、余差、衰减比、振荡周期与过渡时间④能用σ%=B/c(∞)×100%计算超调量⑤能判断一条阶跃响应曲线属于哪种基本形式素质目标①建立“不同设备、同一闭环”的系统思维②养成用曲线和指标说话、以数据验证的严谨习惯③体会最大偏差关系到设备安全工作的极值④关注自动控制技术在机电装备中的广泛应用⑤团队协作与工程规范意识本节关键自动控制系统=被控对象+控制装置，靠负反馈闭环工作；衡量它好不好，看稳、准、快，落到指标上就是余差、最大偏差、超调量、调节时间、衰减比与振荡周期。2.1.1自动控制系统的基本概念控制与自动控制的定义·系统组成·12个核心术语·五类应用案例·系统分类与负反馈基本概念→系统组成→核心术语→五大案例→系统分类机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件知识储备什么是控制·自动控制·自动控制系统数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件05控制为了改善系统的性能或达到特定的目的，通过信息采集和处理而施加到系统的作用。自动控制在没有人直接参与的情况下，利用控制装置使生产设备或生产过程在受到外界干扰偏离正常状态后，其工作状态或参数能够自动地按照预定的规律运行。自动控制系统为实现某一控制目标，将被控对象和控制装置按照一定的方式连接起来组成的一个有机整体。自动控制系统就在我们身边电饭煲自动门自动洗衣机交通红绿灯电梯机器人三个定义的落脚点“控制”是一种作用；“自动控制”强调没有人直接参与、并在受到外界干扰后仍按预定规律运行；“自动控制系统”则是实现控制目标的实体——被控对象+控制装置，按一定方式连接成有机整体。承上启下三个定义最终都汇到同一张方框图上：自动控制装置+被控对象，靠一条负反馈通路构成闭环。例题精讲例2-1电动机转速的控制对比数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件06例2-1【题目】电动机转速的人工控制与自动控制对比人工控制过程：眼睛观察转速表→神经系统传给大脑→大脑比较目标值与指示值→双手改变电位器位置→反复调整保持转速。自动控制过程：测速传感器（如编码器）检测转速（相当于眼睛）→传感器检测到的转速与目标值比较产生偏差信号（相当于大脑）→输出信号调整执行器输出→自动保持目标转速。【解析】①人工控制靠人的三个器官：眼（检测）→脑（判断）→手（执行）。②自动控制用装置替代这三个作用：传感器（检测）→比较器/控制器（判断）→执行器（执行）。③两者的目标完全相同：让转速保持在目标值上。④自动控制装置替代了人工操作，提高了控制精度，减轻了劳动强度。结论：人的眼、脑、手分别担负检测、判断和执行三个作用，自动控制装置正是这三者的替代。例2-1图电动机转速的人工控制与自动控制过程对比要点自动控制=用控制装置替代人的“检测—判断—执行”，并自动保持被控变量按预定规律运行。教材图示自动控制系统的组成原理图数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件07两部分·三类基本单元·一条负反馈闭环自动控制系统由自动控制装置和被控对象两部分组成。自动控制装置包括检测及变送装置（传感器）、控制器、执行机构等基本单元。它们与参考输入（设定值）和比较器一起构成负反馈闭环：①比较器比较设定值与测量值，产生偏差信号；②控制器按控制规律运算后，由执行机构作用于被控对象；③传感器将被控变量检测出来，并反馈回输入端。于是形成“检测→比较→控制→执行→反馈”的闭环控制。闭环的五个动作检测→比较→控制→执行→反馈传感器把被控变量测出来送回输入端，与设定值再次比较——如此循环往复，偏差不断被修正。自动控制系统的组成原理图主线检测→比较→控制→执行→反馈：这五个动作就是一切闭环系统的骨架。知识要点12个核心术语（上）：四个组成环节与两类变量数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件08①被控对象需要控制其工艺变量的生产设备或机器（如电机、塔、反应器、泵等）。②检测及变送装置传感器把工艺变量转化为特定信号，变送器把特定信号变成标准统一信号。③控制器将传感变送器送来的信号与给定值比较，得到偏差信号并按一定运算规律确定控制信号。④执行机构接受控制器送来的信号，对被控对象产生直接的控制作用（如继电器、电磁铁、调节阀、电动机等）。⑤被控变量y(t)表征生产设备或过程运行状况是否正常而需要加以控制的变量（系统输出量）。⑥操纵变量q(t)受控制器操纵使被控变量回归到给定值的变量（执行器输出量）。记忆四个环节管“怎么控”，两个变量管“控什么、用什么控”——被控变量是输出，操纵变量是执行器的输出。知识要点12个核心术语（下）：五类信号与反馈数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件09⑦干扰变量f操纵变量之外并能影响被控变量变化的各种外来因素（系统输入量）。⑧测量值z(t)由检测元件与变送器的输出信号值，用于指示和反馈。⑨设定值x(t)与控制要求（被控变量期望）相对应的信号值（系统输入量）。⑩偏差e(t)给定值与测量值之差。⑪控制信号p(t)控制器对偏差按一定控制规律运算处理后输出的信号。⑫反馈把系统的输出信号通过检测元件与变送器回送到系统输入端；反馈是自动控制的精髓，自动控制系统一般采用负反馈。记忆七类信号里只有y是输出量；x、f是输入量，z是检测结果，e=x−z，p是控制器的输出。教材图示自动控制系统核心术语框架图数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件10自动控制系统核心术语框架图——以闭环方框图展示12个核心术语（4个组成环节、7类信号、负反馈），编号①~⑫对应教材原顺序先认环节方框里的四个环节：被控对象、检测及变送装置、控制器、执行机构。再认信号箭头上的七类信号：y(t)、q(t)、f、z(t)、x(t)、e(t)、p(t)。最后看反馈最下面一条从输出回到输入端的通路就是反馈，取负值与设定值相加。知识要点读案例的通用方法：四步分析法数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件11①控制目标先问一句：这台设备最终要保证什么量处于期望状态？（转速/位置/角度/姿态/路径）②六大组成参考输入、比较器、控制器、执行器、被控对象、传感器——任何闭环系统都能拆成这六块。③术语对应把被控变量y(t)、操纵变量q(t)、干扰变量f、设定值x(t)、测量值z(t)、偏差e(t)、控制信号p(t)与反馈，逐一落到具体物理量上。④控制过程走一遍闭环：扰动使y偏离x→测量得z→比较得偏差e→控制器算出p→执行器改变q→被控变量y回到设定值。按同一框架读案例的意义为了便于理解与后续动画化，教材中每个案例都按统一的四步展开分析。按同一框架读案例，很容易发现不同设备背后的控制本质是相同的。教材图示案例①直流电机恒速控制——最基础的闭环控制数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件12案例①图直流电机恒速控制控制目标让直流电机始终保持1500r/min。六大组成参考输入——1500r/min；比较器——比较目标转速与实际转速；控制器——根据转速偏差计算控制信号；执行器——电机驱动器；被控对象——直流电机；传感器——编码器或测速发电机。术语对应被控变量y(t)——电机转速；操纵变量q(t)——电机电枢电压；干扰变量f(t)——负载转矩变化；设定值x(t)——1500r/min；测量值z(t)——实际转速；偏差e(t)——设定转速－实际转速；控制信号p(t)——控制器输出信号；反馈——测速传感器将实际转速送回比较器。控制过程电机负载突然增大→转速下降→测量值降低→偏差增大→控制器输出增大→驱动器提高电机转矩→转速恢复到设定值。一句话理解测出来→比一比→算一算→调一下→再测量。教材图示案例②数控机床进给轴位置控制——精确定位数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件13案例②图数控机床进给轴位置控制控制目标让数控机床的X轴准确移动到100.000mm。六大组成参考输入——100.000mm；比较器——比较目标位置与实际位置；控制器——位置控制器；执行器——伺服驱动器和伺服电机；被控对象——丝杠、工作台等机械传动机构；传感器——编码器或光栅尺。术语对应被控变量y(t)——工作台实际位置；操纵变量q(t)——伺服电机的转矩/运动作用；干扰变量f(t)——切削力、摩擦、负载变化；设定值x(t)——100.000mm；测量值z(t)——实际位置；偏差e(t)——目标位置－实际位置；控制信号p(t)——伺服控制器输出；反馈——编码器或光栅尺将实际位置反馈给控制器。控制过程输入目标位置→检测实际位置→计算位置偏差→控制伺服电机运动→工作台移动→再检测位置→不断修正→最终准确定位。一句话理解控制系统不仅要“让它动”，还要“知道它到底动到了哪里”。教材图示案例③工业机器人关节伺服控制——高精度运动数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件14案例③图工业机器人关节伺服控制控制目标让机器人某个关节准确转到90°。六大组成参考输入——90°；比较器——比较目标角度与实际角度；控制器——机器人关节伺服控制器；执行器——伺服驱动器和伺服电机；被控对象——机器人关节及机械臂；传感器——编码器。术语对应被控变量y(t)——关节实际角度；操纵变量q(t)——伺服电机输出转矩；干扰变量f(t)——机械负载、摩擦等；设定值x(t)——90°；测量值z(t)——编码器测得的实际角度；偏差e(t)——90°－实际角度；控制信号p(t)——伺服控制信号；反馈——编码器将关节实际角度反馈给控制器。控制过程目标90°→比较实际角度→产生偏差→控制电机→机器人关节转动→编码器检测→反馈→修正。一句话理解机器人之所以能精准地“走到指定位置”，核心就在于不断检测和反馈。教材图示案例④无人机姿态控制——让飞机保持水平数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件15案例④图无人机姿态控制控制目标让无人机保持水平姿态。六大组成参考输入——目标姿态；比较器——比较目标姿态与实际姿态；控制器——飞控系统；执行器——无刷电机和螺旋桨；被控对象——无人机机体；传感器——IMU等姿态传感器。术语对应被控变量y(t)——无人机实际姿态角；操纵变量q(t)——各电机转速/推力；干扰变量f(t)——风力、载荷变化等；设定值x(t)——目标姿态；测量值z(t)——IMU测得的姿态信息；偏差e(t)——目标姿态－实际姿态；控制信号p(t)——飞控输出的电机控制信号；反馈——IMU将无人机姿态信息反馈给飞控。控制过程无人机受到侧风发生倾斜→IMU检测到姿态变化→控制器发现偏差→调整各电机转速→改变各方向推力→无人机恢复水平。一句话理解无人机能够“自己保持平衡”，本质上也是一个高速运行的反馈控制系统。教材图示案例⑤AMR移动机器人自动导航——让机器人沿路线行驶数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件16案例⑤图AMR移动机器人导航控制控制目标让AMR沿规划路线自动行驶。六大组成参考输入——规划路径；比较器——比较期望位置/方向与实际位置/方向；控制器——机器人运动控制器；执行器——左右驱动电机；被控对象——AMR移动机器人；传感器——激光雷达、编码器、IMU、视觉传感器等。术语对应被控变量y(t)——机器人实际位置和运动方向；操纵变量q(t)——左右驱动轮速度；干扰变量f(t)——地面摩擦、障碍物、坡度等；设定值x(t)——规划路径和目标位置；测量值z(t)——传感器检测到的位置和姿态；偏差e(t)——期望位置/方向与实际值之间的差异；控制信号p(t)——控制器输出的电机控制信号；反馈——传感器将机器人实际运动状态反馈给控制器。控制过程机器人偏离规划路线→传感器检测到偏差→控制器计算→调整左右电机速度→改变运动方向→回到规划路线。一句话理解“发现偏了→自动纠正→再检测→再纠正”。知识要点五大应用案例对照表数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件17案例参考输入控制器执行器被控对象传感器主要被控变量直流电机恒速1500r/min转速控制器驱动器直流电机编码器转速数控机床定位100mm位置控制器伺服驱动器进给轴编码器/光栅尺位置机器人关节90°伺服控制器伺服电机机器人关节编码器角度无人机姿态水平姿态飞控无刷电机无人机IMU姿态角AMR导航规划路径运动控制器驱动电机移动机器人激光雷达/编码器/IMU位置、方向递进逻辑电机恒速→机床定位→机器人运动→无人机平衡→AMR导航：控制对象越来越复杂，闭环的本质却完全一样。核心总结虽然这些设备看起来完全不同，但它们背后都在做同一件事情：检测实际状态，与期望状态进行比较，根据偏差进行控制，再通过反馈不断修正。知识要点自动控制系统的分类数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件18分类依据类型特点设定值规律定值控制系统给定值恒定不变，输出稳定在工艺指标上设定值规律随动控制系统给定值随机变化，被控变量迅速跟踪给定值设定值规律程序控制系统给定值按一定时间程序性变化有无闭环闭环控制系统有主通道和反馈通道、采用差值控制，精度高、抗扰能力强有无闭环开环控制系统输出不被引回影响控制部分，结构和控制简单，精度低响应速度过程控制连续生产过程的自动控制（温度、压力、流量、液位等）响应速度随动控制以机械运动为主、电机为主要被控对象的快速高精度控制三种分类依据各回答一个问题按设定值规律分——给定值怎么变；按有无闭环分——输出是否被引回参与控制；按响应速度分——以过程量为对象还是以机械运动为对象。教材图示闭环控制的核心原理：负反馈数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件19闭环控制系统方框图——控制器、执行器、被控对象、传感器构成负反馈闭环负反馈是精髓把系统的输出信号通过检测元件与变送器回送到系统输入端。怎么取负回送的信号取负值与设定值相加，形成信号传递的闭合回路。带来什么闭环控制基于反馈机制能减小或消除由扰动产生的偏差，具有较高的控制精度和较强的抗扰能力。2.1.2自动控制系统的基本要求稳·准·快三大性能要求·过渡过程五种基本形式·六项品质指标·五种典型输入信号三大要求→过渡过程→品质指标→典型输入机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件知识要点三大性能要求：稳、准、快数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件21稳定性（稳）系统在受到扰动后能重新达到平衡状态的性能。稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件。看“能否回到设定值”。准确性（准）反映系统的稳态精度，由稳态误差或余差来反映。若系统最终误差为零，称为无差系统；否则为有差系统。看“终值是否到位”。快速性（快）系统输出对输入响应的快慢程度。过渡过程时间越短，快速性越好。看“多久到位”。怎么比较这三项要求教材用两条单位阶跃响应曲线分别对比：稳定看“能否回到设定值”，准确看“终值是否到位”，快速看“多久到位”。三项要求各有侧重又互相牵制：一味求快容易超调甚至振荡，一味求稳又会拖慢响应，工程上要在三者之间取平衡。先后顺序稳定是前提，准确是目标，快速是性能——系统先要能稳定工作，才谈得上准和快。教材图示三项性能要求的阶跃响应对比数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件22稳定性（稳）稳定性（稳）：衰减振荡（稳定）与发散振荡（不稳定）的阶跃响应对比判定问题：扰动之后能不能回到设定值？上面一条衰减振荡→稳定；下面一条发散振荡→不稳定。准确性（准）准确性（准）：无差系统（余差为0）与有差系统（留有余差）的阶跃响应对比判定问题：终值有没有落在设定值上？余差为0→无差系统；终值留有偏差→有差系统。快速性（快）快速性（快）：快系统与慢系统进入±5%误差带的阶跃响应对比判定问题：多久能进入并保持在误差带内？先进入±5%误差带的→快速性好；过渡过程时间越短越好。知识要点过渡过程与五种基本形式数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件23什么是过渡过程控制系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态的过程称为过渡过程。在阶跃输入信号作用下，阶跃响应曲线有五种基本形式：非振荡发散、非振荡衰减、衰减振荡、等幅振荡、发散振荡。稳定非振荡衰减过程：被控变量单调趋近给定值，无振荡。衰减振荡过程：经过几个周期波动后重新稳定下来。衰减振荡是应用最广泛的形式。不稳定非振荡发散过程：被控变量单调上升，偏离给定值越来越远。发散振荡过程：上下波动，幅度越来越大。临界稳定等幅振荡过程：在给定值某一范围内来回波动。既不衰减也不发散，工程上视为不稳定。判稳口诀看趋势：曲线逼近给定值→稳定；远离给定值→不稳定；等幅来回波动→临界稳定（按不稳定处理）。教材图示五种基本形式：阶跃响应波形与稳定性数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件24类型波形图特点稳定性非振荡发散过程被控变量单调上升，偏离给定值越来越远不稳定非振荡衰减过程被控变量单调趋近给定值，无振荡稳定衰减振荡过程经过几个周期波动后重新稳定下来稳定（应用广泛）等幅振荡过程在给定值某一范围内来回波动临界稳定（视为不稳定）发散振荡过程上下波动，幅度越来越大不稳定知识要点六项品质指标：定义与物理意义数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件25指标符号定义物理意义余差（稳态误差）CC=y(∞)−x反映稳态精度，一般希望为零或不超过预定范围最大偏差A被控变量偏离设定值的最大数值关系到系统安全工作的极值超调量σ%第一个波峰超出稳态值的百分比反映系统振荡程度调节时间t_s响应进入±5%或±2%误差带的最短时间反映系统快速性衰减比nn=B/B′反映系统稳定程度振荡周期T相邻两同向峰值的时间间隔反映振荡频率两个常用计算式辨析：B是第一个波峰相对稳态值c(∞)的超出量，即B=c(t_p)−c(∞)，故两个超调量式子一致。教材图示二阶系统（ξ=0.5）阶跃响应品质指标标注数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件26图上标注t_r、t_p、σ%（16.3%）、t_s（±5%）、B1:B2、T、C、A全部标在同一条曲线上。与表格对照这张图把上一页表格里的六项指标一次画全，可以和图、表对照着记。读图顺序先认稳态值c(∞)，再认第一个波峰B1与第二个波峰B2，最后看时间轴上的各项时间。二阶系统（ξ=0.5）阶跃响应品质指标——上升时间t_r、峰值时间t_p、超调量σ%（16.3%）、调节时间t_s（±5%）、衰减比B1:B2、振荡周期T、余差C、最大偏差A例题精讲例2-3转速控制系统品质指标计算数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件27例2-3【题目】某转速控制系统工艺要求的转速为890±10（r/min），为了保证设备的安全，电动机转速偏离设定值最高不得超过20（r/min）。转速控制系统在单位阶跃干扰作用下的过渡过程曲线如图所示。试分别求出最大偏差、余差、衰减比、振荡周期和过渡时间指标。【解析】结合指标定义和分析图，得①最大偏差：A=901.8−890=11.8（r/min）；②余差：C=898−890=8（r/min）；③第一个波峰值B=901.8−898=3.8（r/min），第二个波峰值B′=898.8−898=0.8（r/min），衰减比n=3.8:0.8=4.75:1；④振荡周期：T=19.5−6.5=13（s）；⑤过渡时间与规定的被控变量限制范围大小有关。假定被控变量进入额定值的±5%，认为过渡过程结束，则限制范围为(898−890)×(±5%)=±0.4（r/min），从图上可以看出过渡时间约为t_s=27s。结论：A=11.8r/min（未超过20，安全），C=8r/min，n=4.75:1，T=13s，t_s≈27s。例2-3图转速控制系统过渡过程曲线要点读曲线先定基准：稳态值898定余差C，设定值890定最大偏差A，相邻两个同向波峰定衰减比n与振荡周期T。教材图示五种典型输入信号数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件28五种典型输入信号——阶跃(1)/斜坡(t)/抛物线(½t²)/正弦(sinωt)/脉冲(δ)“以有限实验解构无限场景”阶跃信号幅值跳变后保持不变；最常用的典型输入。斜坡信号又称等速信号，幅值随时间线性增长。抛物线信号又称等加速信号，幅值按½t²规律增长。正弦信号幅值按sinωt规律周期变化。脉冲信号δ信号，作用时间极短。课堂小结2.1知识链串讲数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件29①三个定义控制是作用；自动控制是无人直接参与、按预定规律运行；自动控制系统是被控对象+控制装置的整体。②系统组成自动控制装置（检测及变送装置、控制器、执行机构）+被控对象，与参考输入、比较器构成负反馈闭环。③12个术语4个环节+7类信号（y、q、f、z、x、e、p）+反馈；反馈是自动控制的精髓。④四步分析法控制目标→六大组成→术语对应→控制过程；五大案例都按它展开。⑤系统分类按设定值规律（定值/随动/程序）、有无闭环（闭环/开环）、响应速度（过程控制/随动控制）。⑥三大要求稳定性（能否回到设定值）、准确性（终值是否到位）、快速性（多久到位）。⑦过渡过程五种基本形式：非振荡发散与发散振荡、等幅振荡不稳定；非振荡衰减、衰减振荡稳定。⑧品质指标余差C、最大偏差A、超调量σ%=B/c(∞)、调节时间t_s、衰减比n=B/B′、振荡周期T。本节知识链基本概念→系统组成→12个术语→四步分析法与五大案例→系统分类→负反馈闭环→稳准快→过渡过程与品质指标→典型输入信号思考练习带着问题巩固2.1数字教材第2章·2.1自动控制概述与性能指标配套授课课件30概念与简答①什么是控制？什么是自动控制？自动控制系统由哪几部分组成？②以人工控制电动机转速为例，说明眼、脑、手分别对应自动控制中的哪个环节。③写出12个核心术语中的任意8个，并说明各自的含义。④按“控制目标→六大组成→术语对应→控制过程”分析直流电机恒速控制。⑤自动控制系统按设定值规律、有无闭环、响应速度分别可分为哪几类？各有什么特点？⑥为什么说负反馈是自动控制的精髓？闭环控制为什么能减小或消除偏差？⑦三大性能要求分别是什么？各用什么指标去衡量？判断与计算⑧阶跃响应曲线有哪五种基本形式？其中哪些属于稳定？哪些视为不稳定？⑨已知第一个波峰值B=3.8r/min、第二个波峰值B′=0.8r/min，求衰减比n。⑩某系统设定值x=890r/min、稳态值y(∞)=898r/min，求余差C。⑪（拓展）设c(t_p)=901.8r/min、c(∞)=898r/min，按σ%=[c(t_p)−c(∞)]/c(∞)×100%求超调量σ%。⑫五种典型输入信号是什么？为什么实用上常采用阶跃信号分析系统？自查标准能说出“系统由哪两部分组成、12个术语分别指什么”，能从一条过渡过程曲线上量出最大偏差、余差、衰减比、振荡周期与过渡时间，并能判断曲线的稳定性。2.1自动控制概述与性能指标·完稳、准、快——衡量一切控制系统的三把尺子下一节2.2控制系统的数学模型数学模型基本知识·控制系统微分方程模型·传递函数与系统框图数学模型→微分方程→传递函数→系统框图机电系统控制原理及应用·第2章自动控制理论和应用2.1自动控制概述与性能指标第2章·自动控制理论和应用2.2控制系统的数学模型从物理系统到数学表达——微分方程·拉氏变换·传递函数·动态结构图本节知识链数学模型→微分方程→拉氏变换→传递函数→动态结构图2.2.1数学模型基本知识|2.2.2控制系统微分方程模型|2.2.3拉普拉斯变换|2.2.4传递函数与典型环节的数学模型|2.2.5系统动态数学模型机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件本节导图2.2控制系统的数学模型·内容与知识主线数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件0201数学模型基本知识为什么要建模、数学模型的定义与两个类型（静态/动态）、四种表达形式（微分方程/传递函数/动态结构图/状态空间）以及解析法与实验法两种建模方法。02控制系统微分方程模型由物理定律列写微分方程：机械系统案例1（转动牛顿第二定律）与机电系统案例2（电枢回路+转子动力学）；消去中间变量得二阶方程；建模五步与模型四查。03拉普拉斯变换定义式与常用函数对照表；线性、微分、积分、位移、延迟、初值、终值、卷积等性质的推导；零初始条件；例2-4~例2-6。04传递函数与典型环节传递函数的定义与成立条件；零点与极点的含义；典型环节传递函数一览；例2-7RC电路、例2-8直流电动机。05系统动态数学模型串联、并联、反馈三种基本连接；闭环传递函数与扰动作用下的输出；一阶机械系统与直流电动机两个案例；常见错误与知识小结。主线·知识链物理系统↓微分方程↓拉氏变换↓传递函数↓动态结构图学习目标学完2.2，你将能够…数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件03知识目标①说出数学模型的定义、四种表达形式与两种建模方法②区分静态数学模型与动态数学模型③说明数学模型在系统分析、性能评价中的作用④记住常用函数的拉氏变换与主要性质⑤理解传递函数的定义及零初始条件的作用⑥说出零点、极点的含义与极点位置的意义⑦记住六种典型环节的微分方程与传递函数⑧掌握串联、并联、反馈三种连接与闭环传递函数技能目标①能由转动形式牛顿第二定律列写机械系统微分方程②能由基尔霍夫电压定律与转矩平衡列写直流电动机方程③能用拉氏变换把微分方程化为代数方程④会用比较系数法与赋值法作部分分式分解⑤能由微分方程求出传递函数并判断系统阶次⑥能由动态结构图写出等效传递函数素质目标①养成“先看物理过程、再选物理定律、最后写方程”的建模习惯②建立量纲、符号、特例、合理性四查意识③体会数学模型是控制理论联系工程实际的桥梁④严谨推导、逐步验证的工程素养⑤主动用仿真的手段验证模型的意识本节关键控制系统的数学模型是一条主线：物理系统→微分方程→拉氏变换→传递函数→动态结构图。掌握这条主线，就掌握了自动控制理论分析系统的入口。2.2.1数学模型基本知识为什么建模·定义、特点与类型·四种表达形式·解析法与实验法作用与地位→定义与类型→四种形式→两种方法机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件知识储备数学模型的作用：为什么必须建模数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件05被控对象的共同特点在自动控制系统中，被控对象通常是电动机、机器人、机床、液位装置、温度装置等实际物理系统。这些系统内部结构复杂，变量之间存在相互作用，仅通过观察实际设备，很难直接分析其动态特性。因此，需要根据系统的物理规律，建立能够反映其主要特性的数学模型。难点系统太复杂内部结构复杂，变量之间存在相互作用；仅靠观察实际设备，很难直接分析其动态特性；例如直流电动机：电流、转矩、转速同时变化，彼此耦合。出路建立数学模型根据系统的物理规律，建立能够反映其主要特性的数学模型；用数学语言描述系统输入、输出以及内部变量之间的关系；把复杂的物理过程转化为可以分析和计算的数学问题。以直流电动机为例可以建立电枢电压与电动机角速度之间的微分方程或传递函数，从而将复杂的电机运动过程转化为可以分析和计算的数学问题。一句话数学模型是连接实际控制系统与控制理论的桥梁。知识要点数学模型能做什么：分析与设计的基础数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件06预测与分析动态特性判断系统是否稳定；估计响应速度如何；看是否存在超调；计算稳态误差大小。控制器设计与参数整定在模型上设计控制律；整定控制器参数；比较不同方案的可行性；预测闭环性能。计算机仿真验证通过仿真比较不同控制方案的控制效果；提前发现问题；减少实际设备上的反复试验；降低调试成本与风险。数学模型在控制理论中的地位在自动控制理论中，数学模型不仅是描述系统的工具，也是进行系统分析、性能评价、控制器设计和仿真验证的基础。实际控制系统虽然形式各异，但经过数学建模后，可以采用统一的控制理论和方法进行研究。简单来说数学模型把“实际系统”转化为“可以计算、可以分析、可以设计、可以仿真”的控制对象本节主线先会建模，才会分析；模型对了，后面的稳定性、快速性、准确性才有意义。知识要点数学模型的定义、特点与两个类型数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件07定义数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式；其特点可概括为：相似性、通用性、简化性及精确性。静态数学模型系统各变量之间的关系不随时间变化（稳态时）；关注的是“平衡状态”下的关系；主要用于分析稳态误差；不含时间导数项。动态数学模型描述系统各量之间随时间变化而变化的规律；含有微分（导数）项，反映惯性与储能；在自动控制理论中占据核心地位；本节与后续各节研究的都是动态模型。两个类型的关系静态模型是动态模型在稳态（各阶导数为零）时的特例；分析稳态误差用静态模型，分析过渡过程必须用动态模型。记忆带导数的是动态模型，不带导数的是静态模型；控制理论的核心是动态数学模型。知识要点数学模型的四种表达形式数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件08表达形式含义/形式特点微分方程时域基本表达形式，见式(2-3)直接来自物理定律，物理意义清楚；求解与消元较繁琐传递函数零初始条件下，输出Y(s)与输入X(s)的拉氏变换之比：G(s)=Y(s)/X(s)只与系统本身内部结构、参数有关，代表系统的固有特性动态结构图（方块图）将系统各环节用传递函数的框图表示，按信号传递方向联结揭示系统内部各环节的数学关系和信号传递过程状态空间模型以状态变量的一阶微分方程组描述系统：ẋ(t)=Ax(t)+Bu(t)，y(t)=Cx(t)+Du(t)现代控制理论常用的内部描述方法，适合多输入多输出系统及计算机仿真本教材的取舍本教材以微分方程、传递函数和动态结构图为主要内容；状态空间模型仅作简要了解，不作深入讲解。四种形式之间可以相互转换，工程上最常用的是传递函数与动态结构图。知识要点四种表达形式的数学写法数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件09式(2-3)微分方程（时域基本表达形式）传递函数（零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比）状态空间模型（标准形式）状态空间模型的符号含义x(t)为状态向量，u(t)为输入向量，y(t)为输出向量，A、B、C、D为系统矩阵。状态空间模型能同时描述系统内部各变量的动态特性，适合多输入多输出系统及计算机仿真。对照记忆微分方程看“时间t”，传递函数与动态结构图看“复变量s”，状态空间看“状态向量x”。知识要点两种建模方法：解析法与实验法数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件10解析法根据物理、化学、电学等规律推导数学关系式；步骤一：列写原始动态方程式；步骤二：确定输入输出变量；步骤三：消去中间变量；参数都有明确的物理意义，模型结构清楚。实验法（系统辨识）对系统施加典型试验信号（阶跃或脉冲）；测得系统的时间反应曲线；经数据处理得到数学模型；不必深入了解内部机理；适合结构复杂、规律不易解析的对象。两种方法怎么选能按物理规律解析的系统优先用解析法——模型物理意义明确、便于分析各参数的影响；结构复杂或内部规律不清楚时用实验法，用输入—输出数据反推数学模型。工程上也常把两种方法结合：先由解析法确定模型结构，再由实验数据确定参数。本课程重点本课程以解析法为主：先弄清系统中发生了什么物理过程，再选择相应的物理定律，最后把物理规律转换成数学方程。2.2.2控制系统微分方程模型机械系统案例1·机电系统案例2·建模五步·模型四查·高阶方程的由来案例1机械→案例2机电→二阶方程→建模五步→模型检查机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件知识储备为什么要用微分方程描述系统数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件12一个基本问题在研究机电控制系统时，首先需要回答一个基本问题：如何用数学方法描述系统的输入、内部状态和输出之间的关系？现象：输出不会瞬间变化例如对一台直流电动机施加电压后，电动机的电流、转矩和转速都会随时间发生变化；由于系统具有惯性、储能和能量转换等特性，输出通常不会随着输入瞬间变化，而是表现出一定的动态过程。办法：用物理定律建立微分方程为了描述这种随时间变化的动态规律，可以利用物理学中的基本定律建立微分方程；因此，微分方程是建立控制系统数学模型的一种基本方法。建立控制系统微分方程的一般过程确定研究对象→确定输入和输出→分析系统内部物理规律→建立微分方程→检查和验证模型。下面通过两个典型实例机械系统实例（案例1）与机电系统实例（案例2），说明微分方程模型的建立过程。例题精讲案例1建立直流电动机机械运动的微分方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件13【案例1】【题目】某直流电动机受到电磁转矩Tₘ(t)的作用，同时受到负载转矩T_L(t)和摩擦转矩的影响。设电动机转子的转动惯量为J，粘性摩擦系数为B，转子的角速度为ω(t)。试建立电磁转矩Tₘ(t)与电动机角速度ω(t)之间的微分方程。1确定输入和输出输入：电磁转矩Tₘ(t)；输出：转子角速度ω(t)；研究Tₘ(t)→ω(t)之间的动态关系；电动机并不是一个静态系统——施加电磁转矩后，转子需要经过一定时间才能达到相应的转速。动态特性由什么决定这种动态特性主要由转动惯量和机械阻尼等因素决定；转动惯量J体现机械惯性（储能元件）；粘性摩擦系数B体现机械阻尼（耗能元件）；两者共同决定了转速建立的快慢。先明确研究对象研究对象是直流电动机的机械运动部分；把电磁转矩作为输入、角速度作为输出，下一步才能根据物理规律写出方程。提示：案例1只研究机械运动部分，电气部分留到案例2一起考虑。教材图示案例1图直流电动机转子转矩平衡系统示意图数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件14案例1图直流电动机转子转矩平衡系统示意图（电动机轴端带圆盘）Tₘ(t)电磁转矩电动机产生的驱动力矩，图中以逆时针为正方向。T_L(t)负载转矩负载施加的阻力矩，图中以顺时针为正方向，阻碍转子运动。B、J摩擦与惯量B为粘性摩擦系数，J为转动惯量，二者决定转速建立的动态过程。例题精讲案例1根据物理规律建立方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件15转动形式的牛顿第二定律摩擦转矩的处理电动机产生的电磁转矩主要用于克服负载转矩、克服摩擦转矩以及使转子产生角加速度；在粘性摩擦模型下，摩擦转矩可以表示为T_f(t)=B·ω(t)。转矩平衡方程整理后：这就是该机械系统的微分方程模型3忽略负载转矩的情况如果暂时不考虑外部负载，即T_L(t)=0，则系统的微分方程变为一阶常微分方程。可以看到：方程的阶次等于系统中独立储能元件的个数——这里只有转动惯量J一个储能元件，故为一阶。知识要点案例1微分方程中各项的物理意义数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件16把微分方程读成物理语言J·dω/dt使转子产生角加速度（惯性项）B·ω克服粘性摩擦（耗能项）Tₘ电动机产生的电磁转矩（输入）电动机产生的电磁转矩并不会全部用于提高转速其中一部分用于克服机械摩擦，剩余部分用于改变转子的运动状态。当转速不再变化（稳态）时，dω/dt=0，电磁转矩全部用于克服摩擦。微分方程的意义并不只是“进行数学计算”而是将系统中的物理规律、动态特性和输入输出关系用数学形式表达出来。方程中每一项都对应一个真实的物理效应，写方程的过程就是梳理系统能量流向的过程。读方程的方法写方程前先规定正方向，再按“与正方向一致取正、相反取负”处理每一项；逐项问三个问题：这一项是什么物理量？它的方向与转向一致还是相反？它是储能项还是耗能项？例题精讲案例1由微分方程得到传递函数数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件17零初始条件下的微分方程进行拉普拉斯变换整理、提取Ω(s)因此（该机械系统的传递函数）由此建立的知识联系机械物理规律→微分方程→拉普拉斯变换→传递函数。这也是后续建立控制系统数学模型的重要基础。对照方程中J·s+B就是“惯量项+摩擦项”在s域中的表达，分母就是一阶系统的特征多项式。例题精讲案例2建立直流电动机的数学模型数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件18【案例2】【题目】考虑一台他励直流电动机，电枢电阻为R，电枢电感为L，反电动势系数为Kₑ，转矩系数为Kₜ，转子的转动惯量为J，粘性摩擦系数为B。以电枢电压uₐ(t)为输入，以电动机角速度ω(t)为输出，忽略其他损耗，建立该直流电动机的微分方程模型。与案例1的差别案例1只研究机械运动部分；实际的机电控制系统通常同时包含电气部分和机械部分；二者相互影响、相互耦合；直流电动机就是一个典型的机电耦合系统。本案例要做什么把电气部分与机械部分都写成微分方程；电气与机械之间通过电枢电流、电磁转矩和反电动势相互联系；最终得到以电枢电压为输入、角速度为输出的完整模型。思路先分别建立电气方程和机械方程，再消去中间变量，把两个一阶方程化为一个关于转速的二阶方程。教材图示案例2图直流电动机的物理系统与数学模型数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件19案例2图电气部分、直流电动机、机械部分及其机电耦合①电气部分（电枢回路）KVL：uₐ=R·iₐ+L·diₐ/dt+e_b；反电动势e_b与uₐ相反。②直流电动机机电能量转换核心：iₐ经转矩系数Kₜ产生电磁转矩Tₘ，电能→机械能。③机械部分（转子动力学）Tₘ驱动转子，B·ω阻碍运动；转子旋转又产生反电动势e_b=Kₑ·ω，返回电枢回路。知识要点案例2系统的输入、输出及内部变量数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件20系统的基本能量传递过程uₐ(t)→iₐ(t)→Tₘ(t)→ω(t)同时ω(t)→e(t)输入uₐ(t)：电动机的电枢电压。输出ω(t)：电动机的角速度。内部变量电枢电流iₐ(t)、电磁转矩Tₘ(t)、反电动势e(t)。为什么说是“电气—机械耦合系统”一方面电枢电压产生电流，电流产生电磁转矩，转矩驱动转子旋转——能量由电气侧流向机械侧；另一方面转子旋转又产生反电动势，反过来影响电枢回路的电流——能量又由机械侧反馈回电气侧。正向通道电气→机械uₐ→iₐ→Tₘ→ω反馈通道机械→电气ω→e（反电动势）提示正因为存在这条反馈通道，直流电动机才必须用联立微分方程来描述。例题精讲案例2建立电气部分的微分方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件21根据基尔霍夫电压定律（KVL），电枢回路满足R·iₐ(t)电枢电阻上的电压降L·diₐ/dt电枢电感产生的感应电压e(t)电动机旋转产生的反电动势反电动势与转速的关系对于他励直流电动机，在磁通保持不变的条件下，反电动势与转速成正比：e(t)=Kₑ·ω(t)。因此，电气部分的微分方程为符号约定图中电枢回路方程写作uₐ(t)=R·iₐ(t)+L·diₐ/dt+e_b(t)，其中反电动势e_b(t)的方向与外加电压uₐ(t)的作用方向相反，所以移到等号左边时带正号。例题精讲案例2建立机械部分的微分方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件22电磁转矩与电枢电流成正比转动形式的牛顿第二定律代入Tₘ(t)=Kₜ·iₐ(t)机械方程中各项的来源等号左边：使转子产生角加速度的转矩J·dω/dt，克服粘性摩擦的转矩B·ω(t)；等号右边：电磁转矩Kₜ·iₐ(t)减去负载转矩T_L(t)。把两部分写在一起电气方程：L·diₐ/dt+R·iₐ+Kₑ·ω=uₐ机械方程：J·dω/dt+B·ω=Kₜ·iₐ−T_L这两个方程共同构成了直流电动机的机电系统数学模型（含中间变量iₐ）。知识要点案例2直流电动机的完整微分方程模型数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件23电气部分（电枢回路）机械部分（转子动力学）两个方程的相互关系电气部分和机械部分之间通过电枢电流iₐ、电磁转矩Tₘ和反电动势e相互联系，形成一个完整的动态系统。由此可以看出，一个实际机电系统可能需要使用多个微分方程进行描述。耦合在哪iₐ出现在两个方程中——它既是电气方程的变量，又是机械方程中转矩的来源；ω出现在两个方程中——它既是机械方程的输出，又通过反电动势影响电气回路。思考：两个方程里都有iₐ，说明它只是一个“中间变量”——把它消掉，就能得到uₐ与ω的直接关系。例题精讲案例2消去中间变量，得到关于转速的二阶方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件24前提：假设负载转矩为零，即T_L(t)=0此时两个方程变为：L·diₐ/dt+R·iₐ+Kₑ·ω=uₐ与J·dω/dt+B·ω=Kₜ·iₐ。由机械方程解出中间变量iₐ将其代入电气方程，把iₐ及其导数一起消去，经过整理可以得到：以电枢电压为输入、角速度为输出的二阶微分方程为什么是二阶方程中出现了d²ω/dt²：电枢电感L储存电磁能量，转动惯量J储存机械动能，系统中有两个独立的储能元件，因此是二阶系统。对照案例1只有转动惯量J一个储能元件，所以是一阶方程；案例2多了一个电感L，所以升为二阶。知识要点从两个案例认识微分方程模型数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件25关键不是“记住某一个公式”建立控制系统微分方程的关键，是掌握从物理系统到数学模型的转换过程。案例1机械系统：转动形式的牛顿第二定律；只含机械运动部分，一个储能元件J，一阶方程案例2机电系统·电气部分：与机械方程联立，两个储能元件L、J，二阶方程案例2机电系统·机械部分对一个新的机电控制对象，可以按以下五步建立数学模型①确定研究对象→②确定输入量和输出量→③分析系统内部的物理过程→④根据物理定律建立微分方程→⑤对模型进行化简、检查和验证结论两个案例的共同点：都从物理定律出发，都先写“原始方程”再整理成标准形式；区别在于案例2有两个子系统，必须联立并消去中间变量。知识要点模型建立时的四种检查方法数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件261检查量纲方程两边的物理量必须具有相同的量纲。例如J·dω/dt的量纲应当与转矩T相同。2检查正负号对于电气系统和机械系统，应根据电流方向、电压方向、转矩方向等规定确定正负号；避免因符号定义不一致导致模型错误。3检查特殊情况例如电动机达到稳定状态时dω/dt=0，机械方程应变为B·ω=Tₘ；此时电磁转矩与摩擦转矩达到平衡，符合实际物理规律。4检查模型的合理性如果模型预测的系统行为与实际物理规律明显矛盾，例如输入增加后输出反而无限制地减小，就需要重新检查模型中的参数、符号和假设条件。为什么必须检查建立微分方程后，不能只检查数学推导是否正确，还应从工程角度检查模型是否合理——模型的目的是认识真实系统，而不是完成一次代数练习。稳态检验的一个例子令dω/dt=0，机械方程退化为B·ω=Tₘ：电磁转矩全部用于克服摩擦，转速不再变化。若模型在稳态下给不出这个结论，说明符号或假设有问题。知识要点知识拓展：为什么机电系统会出现高阶微分方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件27阶次从哪里来在控制系统中，微分方程的阶次通常与系统中能够独立储存能量的动态环节有关。电枢电感L能够储存电磁能量；电流不能突变，产生电气动态。转动惯量J能够储存机械动能；转速不能突变，产生机械动态。对应电气时间常数对应机电时间常数两个动态叠加的结果电动机同时具有电气动态和机械动态；将电流变量消去后，就可能得到二阶微分方程。这说明控制系统的数学模型不仅是对输入输出关系的描述，也反映了系统内部的动态特性。后续会用到在后续学习传递函数、状态空间模型和系统动态性能时，还会进一步利用这些数学模型研究系统的稳定性、快速性和准确性。思考练习2.2.2思考带着问题回到物理过程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件28思考题①如果忽略电枢电感L，直流电动机的数学模型会发生什么变化？②如果负载转矩T_L突然增大，电动机的转速会发生怎样的变化？请结合机械运动方程进行解释。③如果电动机转速升高，为什么电枢电流不会无限增大？请从反电动势的角度进行分析。④对于案例2，如果忽略粘性摩擦，即令B=0，重新写出电动机的数学模型。⑤尝试以“输入—系统—输出”的形式画出直流电动机的控制系统结构图，并标出其中的反馈关系。学习提示建立微分方程时，不要把重点放在“套公式”上。首先要弄清楚系统中发生了什么物理过程，然后选择相应的物理定律，最后将这些物理规律转换成数学方程。会从物理系统建立数学模型，是学习控制原理的重要基础。建议对照案例1与案例2的方程，逐项说出每一项的物理含义。自查标准能独立说出案例1的一阶方程与案例2的二阶方程分别由哪几个储能元件决定，并能解释反电动势在耦合中的作用。2.2.3拉普拉斯变换定义与常用函数表·八条主要性质·零初始条件·例2-4~例2-6为什么用→定义→常用函数→主要性质→三个例题机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件知识储备为什么控制系统需要拉氏变换数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件30先回顾一个问题在前面已经知道，可以根据系统的物理规律建立微分方程。例如直流电动机的机械运动可以表示为：J·dω(t)/dt+B·ω(t)=Tₘ(t)。微分方程的局限微分方程能够准确描述系统的动态规律；但直接求解微分方程往往比较繁琐；当系统由多个环节组成时，计算过程会变得更加复杂；例如一个机电系统可能同时包含电阻电感等电气环节、电机的机械惯性环节、传感器环节、放大器与执行机构。环节组合后的结果这些环节组合后，系统的数学模型可能成为高阶微分方程；求高阶微分方程的解（尤其是含初始条件时）非常麻烦；为了简化动态系统的分析和计算，可以采用一种重要的数学工具——拉普拉斯变换（LaplaceTransform），简称拉氏变换。拉氏变换的核心作用把以时间t为自变量的微分方程，转换为以复变量s为自变量的代数方程。这样，原来需要进行微分、积分的动态问题，就可以转化为相对容易处理的代数运算。在知识链中的位置这也是控制理论中从微分方程模型进一步建立传递函数模型的关键步骤。知识要点拉氏变换到底改变了什么数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件31一句话概括微分方程——（拉氏变换）——→代数方程时间域微分、积分运算；求解需要初始条件；高阶方程求解繁琐。s域代数运算；乘除、通分、部分分式；把动态问题变成解方程。桥梁拉氏变换是建立传递函数的数学工具；传递函数是控制系统的一种数学模型。两者不可混淆。拉氏变换并没有改变系统本身的物理规律机械系统仍然满足牛顿运动定律，直流电动机仍然满足电路规律和机械运动规律；拉氏变换做的事情是改变描述系统的数学形式，使微分运算转化为代数运算，从而更加方便地研究系统的输入、输出和动态特性。记住拉氏变换是一台“数学转换机”：换的是描述形式，不换物理本质。知识要点拉氏变换的基本概念数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件32对于时间函数f(t)，其单边拉普拉斯变换定义为（积分下限取0⁻，上限取∞）f(t)时间域函数（原函数）F(s)f(t)的拉氏变换（像函数）t时间变量s=σ+jω拉普拉斯变换中的复变量为什么用单边拉氏变换在控制工程中通常采用单边拉氏变换，因为控制系统往往需要考虑系统在t=0时刻的初始状态；积分下限取0⁻可以完整地把t=0时刻可能出现的跳变（如阶跃输入）包含进来。学习的重点对于初学者而言，没有必要一开始深入研究积分定义。学习本课程时更重要的是掌握：常用函数的拉氏变换关系，以及如何利用拉氏变换处理微分方程。后面会用定义式推导单位脉冲、单位阶跃和指数函数三个最常用的变换，以理解公式的来源。知识要点表典型函数的拉普拉斯变换表（一）典型输入信号数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件33单位脉冲δ(t)单位阶跃1(t)单位斜坡t抛物线t²/2这四条的规律单位脉冲的像函数是常数1；单位阶跃、斜坡、抛物线的像函数分母分别是s、s²、s³——时域中积分一次，s域中分母就多乘一个s。怎么用这张表正用：给出f(t)直接查F(s)；反用：给出F(s)查f(t)（拉氏反变换）。前四个是控制系统的典型输入信号，下一张表是常见的时间函数。知识要点表典型函数的拉普拉斯变换表（二）常见时间函数数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件34指数e^(−at)正弦sinωt余弦cosωtt·e^(−at)这四条怎么认分母里出现s+a，原函数就是衰减指数；出现s²+ω²，原函数就是正弦或余弦——分子是ω对应正弦，分子是s对应余弦；t·e^(−at)相当于把1/(s+a)再平方。注意这些像函数都是由定义式积分求得的，下一页以单位脉冲、单位阶跃和指数函数为例演示推导过程。例题精讲用定义（积分）推导三个常用变换数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件35（1）单位脉冲函数δ(t）利用冲激函数的筛选性质∫δ(t)·φ(t)dt=φ(0)，单位脉冲函数的像函数为1。（2）单位阶跃函数u(t）注意：当t→∞时e⁻ˢᵗ→0（s>0），故单位阶跃函数的像函数为1/s。（3）指数函数e^(−at）当a=0时，e⁻ᵃᵗ退化为单位阶跃函数u(t)，像函数1/(s+a)也相应变为1/s，与（2）一致。知识要点单位阶跃函数：控制系统中最重要的输入信号数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件36单位阶跃函数的定义单位阶跃函数的拉氏变换幅值为A的阶跃信号r(t)=A的拉氏变换为什么它最重要单位阶跃函数是控制系统中非常重要的一种输入信号：它模拟“突然给定一个常值指令”的工况，既能考察系统的快速性，也能考察准确性与稳定性。对照记忆单位阶跃↔1/s，幅值为A的阶跃↔A/s：幅值只是把像函数整体放大A倍。时域里“跳一下”的信号，在s域里就是1/s。知识要点表拉普拉斯变换的主要性质（一）线性·微分·积分·位移数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件37线性性质处理复杂函数的叠加微分定理将微分方程转为代数方程积分定理将积分方程转为代数方程位移定理函数平移的方便工具这四条怎么用线性性质是“逐项取拉氏变换”的依据；微分定理把“求导”变成“乘s”；积分定理把“积分”变成“除以s”；位移定理处理e^(at)·f(t)这类函数。前三条正是把微分方程、积分方程变成代数方程的关键。重点八条性质中最常用的是线性性质、微分定理与积分定理——前两条把微分方程变成代数方程，第三条把积分方程变成代数方程。知识要点表拉普拉斯变换的主要性质（二）延迟·初值·终值·卷积数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件38延迟定理处理延迟环节初值定理判断系统初始值终值定理判断系统稳态值卷积定理环节串联的运算简化这四条怎么用延迟定理处理纯延迟环节，与传递函数里的e^(−τs)一一对应；初值定理与终值定理不必求反变换，直接用sF(s)的极限就能得到f(t)的初值与稳态值；卷积定理把时域的卷积变成s域的相乘，是串联环节相乘的数学依据。对照记忆微分定理乘s，积分定理除以s，延迟定理乘e^(−τs)，卷积定理变相乘——八条性质合起来，就是s域里做代数运算的全部依据。例题精讲性质推导（一）：线性性质与微分定理数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件39（1）线性性质的推导：由拉氏变换的定义式直接可得即线性性质成立，其中a、b为常数。这条性质是后面“逐项取拉氏变换”的依据。（2）微分定理的推导：由定义式对f′(t)作拉氏变换，并利用分部积分其中利用了当t→∞时e⁻ˢᵗ→0（s>0）的条件。同理，对二阶导数反复应用微分定理要点微分定理把“求导”变成“乘s”，代价是要减去初始条件项——这正是零初始条件如此重要的原因。例题精讲性质推导（二）：积分定理与线性性质的应用数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件40（3）积分定理的推导：设g(t)为f(t)在0⁻到t上的积分因此（零初始条件下）（4）线性性质应用示例：设f(t)=3·dx(t)/dt+5x(t)，在零初始条件下作拉氏变换这说明什么原来包含微分运算的表达式经过拉氏变换后，已经变成了代数表达式(3s+5)·X(s)——微分运算变成了乘以s，剩下的只是多项式乘法。小结积分定理与微分定理互为逆运算：一个乘s，一个除以s。知识要点为什么微分方程经过拉氏变换后会变成代数方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件41这是学习拉氏变换时最重要的内容之一有了前面的微分定理，就可以回答这个问题。一阶导数的拉氏变换二阶导数的拉氏变换三阶导数则为从这些关系可以发现结论在拉氏变换域中，微分运算可以转化为乘以s。这正是拉氏变换能够简化控制系统数学模型的关键原因。知识要点零初始条件下的拉氏变换数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件42什么是零初始条件在控制系统中研究传递函数时，通常采用零初始条件。所谓零初始条件，是指在输入作用开始之前，系统处于规定的初始静止状态，即f(0⁻)=0。零初始条件下一阶导数的拉氏变换零初始条件下二阶导数的拉氏变换可以简单记忆（零初始条件下）需要注意“零初始条件”是建立传递函数时的重要条件，而不是说所有控制系统在任何情况下初始状态都为零。如果需要研究系统的实际初始状态，则必须保留拉氏变换公式中的初始条件项。写传递函数前，先说清楚“采用零初始条件”。例题精讲例2-4典型函数的拉氏变换数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件43例2-4【题目】求以下三个典型函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数1(t)、正弦函数sin(ωt)、指数函数e⁻ᵃᵗ。（1）单位阶跃（2）正弦函数（3）指数函数（4）令a=0用定义式求变换的三步①写出定义式：F(s)=∫f(t)·e⁻ˢᵗdt（下限0⁻，上限∞）。②把f(t)代入，先合并指数项，例如e⁻ᵃᵗ·e⁻ˢᵗ=e⁻⁽ˢ⁺ᵃ⁾ᵗ。③积分并代入上下限；注意t→∞时e⁻ˢᵗ→0（s>0）。把三步用在阶跃、正弦、指数上，就得到三个最常用的结果；三个结果分别代表常值、振荡和衰减三种基本运动形式。其余像函数同样可以由定义式积分得到，不必逐个死记；遇到不熟悉的函数时，回到定义式积分总是可行的办法。怎么记：阶跃1/s、正弦ω/(s²+ω²)、指数1/(s+a)——分母里出现s²+ω²就是振荡，出现s+a就是衰减指数。例题精讲例2-5拉氏反变换（方法一：比较系数法）数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件44例2-5·方法一【题目】求F(s)=(s+3)/(s²+3s+2)的拉普拉斯反变换，即求f(t)=L⁻¹{F(s)}。①因式分解并设待定系数②通分后比较分子③比较系数、解方程组部分分式分解的标准流程①分母因式分解，找出全部极点；②按极点写出待定的分式之和；③通分，比较分子各项系数；④解方程组，求出各待定系数；⑤逐项查表作拉氏反变换。本例的极点为s=−1与s=−2，互不相同且均为一次因子。把分母分解彻底是关键：漏掉一个极点就会少设一个待定系数。最终结果例题精讲例2-5拉氏反变换（方法二：赋值法/遮盖法）数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件45例2-5·方法二【题目】赋值法的基本思想：先消去一个因子，再令s取使另一个因子为零的值，从而直接求出对应的系数。求A：两边乘(s+1)，令s=−1求B：两边乘(s+2)，令s=−2逐项取拉氏反变换赋值法的四个要点①只适用于分母已分解为互不相同一次因子的情形；②求某个系数时，两边同乘该系数对应的分母因子；③再令s取该因子的零点，其余因子照常代入；④与比较系数法结果完全一致，可互相验证。一般地：F(s)=