2025-2026年浙江省部编版高二数学下册第4章同步练习题

2025-2026年浙江省部编版高二数学下册第4章同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.2n+1D.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2，化简为a_n=6n-3。选项B、C、D均不符合计算结果，正确答案为A。2.已知函数f(x)=log_2(x^2-2x+3)，则f(x)的值域为（）A.RB.[1，+∞)C.(0，+∞)D.(-∞，2]解析：令t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，则t≥2，f(x)=log_2t，由于对数函数log_2t在t≥2时单调递增，故值域为[log_22，+∞)=[1，+∞)，正确答案为B。3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边BC=6，则边AC的长度为（）A.2√3B.3√2C.4√3D.6√2解析：由正弦定理可得AC/sinB=BC/sinA，即AC/√3/2=6/√2，解得AC=6×√3/2×√2=3√2，正确答案为B。4.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则点P(2，-1)到圆O的距离为（）A.1B.√2C.2D.3解析：圆心O(1，-2)，半径r=2，点P到圆心O的距离|OP|=√[(2-1)^2+(-1+2)^2]=√2，故点P到圆O的距离为r-|OP|=2-√2≈0.586，最接近选项A，正确答案为A。5.若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2，2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m等于（）A.4B.8C.12D.16解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3，故M=3，m=-1，M-m=4，正确答案为A。6.在等比数列{b_n}中，已知b_1=2，b_4=16，则该数列的前6项和S_6等于（）A.62B.64C.126D.128解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=2，b_4=16可得16=2q^3，解得q=2，故S_6=2×(1-2^6)/(1-2)=126，正确答案为C。7.已知直线l：3x-4y+12=0与圆C：(x+1)^2+(y-2)^2=25相交，则直线l被圆C截得的弦长为（）A.4√2B.6√2C.8√2D.10√2解析：圆心C(-1，2)，半径r=5，圆心到直线l的距离d=|3×(-1)-4×2+12|/√(3^2+4^2)=1，故弦长=2√(r^2-d^2)=2√(25-1)=4√6≈9.8，最接近选项A，正确答案为A。8.在△ABC中，已知角A=30°，角B=45°，边AC=4，则△ABC的面积等于（）A.4√2B.4√3C.8√2D.8√3解析：由正弦定理可得BC/sinA=AC/sinB，即BC/1/2=4/√2，解得BC=4√2，故面积S=1/2×AC×BC×sinB=1/2×4×4√2×√2=16，正确答案为D。9.已知函数g(x)=2^x-1，则函数h(x)=g(x)+g(-x)的奇偶性为（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析：h(x)=2^x-1+2^(-x)-1=2^x+2^(-x)-2，令t=2^x，则h(x)=t+1/t-2，h(-x)=1/t+t-2=h(x)，故h(x)为偶函数，正确答案为B。10.已知抛物线y^2=8x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上运动，则|PF|+|P到l的距离|的最小值为（）A.2√2B.4C.8D.16解析：抛物线y^2=8x的焦点F(2，0)，准线l：x=-2，由抛物线定义可知|PF|=|P到l的距离|，故|PF|+|P到l的距离|=2×2=4，正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^2-2ax+3在x=1时取得最小值，则a=________。解：f'(x)=2x-2a，令f'(1)=0可得2-2a=0，解得a=1。2.在等差数列{c_n}中，已知c_3=7，c_7=15，则该数列的通项公式c_n=________。解：由等差数列性质c_3+c_7=2c_5=7+15=22，得c_5=11，故公差d=(c_7-c_5)/2=2，c_1=c_3-2d=3，通项公式c_n=3+(n-1)×2=2n+1。3.已知函数h(x)=√(x^2+1)，则h(x)在区间[-1，1]上的最小值是________。解：h(x)在[-1，1]上单调递增，最小值出现在x=0处，h(0)=√1=1。4.在△DEF中，若DE=3，EF=4，DF=5，则角D的正弦值sinD=________。解：由余弦定理cosD=(DE^2+DF^2-EF^2)/(2×DE×DF)=1/2，故sinD=√(1-cos^2D)=√3/2。5.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，则直线x-y+1=0与圆C的位置关系是________。解：圆心C(2，3)，半径r=3，圆心到直线距离d=|2-3+1|/√2=√2，d<r，故直线与圆相交。6.在等比数列{d_n}中，已知d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q=________。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54可得54=6q^2，解得q=3。7.已知函数k(x)=sin(2x)+1，则k(x)的周期T=________。解：正弦函数sin(2x)的周期为π，故k(x)的周期T=π。8.在△GHI中，若角G=60°，角H=45°，边GI=6，则边HI的长度等于________。解：由正弦定理可得HI/sinG=GI/sinH，即HI/√3/2=6/√2，解得HI=3√6。9.已知椭圆E的方程为x^2/16+y^2/9=1，则椭圆E的焦点坐标为________。解：a=4，b=3，c=√(a^2-b^2)=√7，焦点坐标为(±√7，0)。10.已知函数φ(x)=x^3-3x^2+2，则函数φ(x)在区间[-2，4]上的零点个数为________。解：φ'(x)=3x^2-6x，令φ'(x)=0得x=0或x=2，计算φ(-2)=-14，φ(0)=2，φ(2)=-2，φ(4)=0，故零点个数为3个。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)在该区间上一定存在最大值。（×）解：单调递增函数在开区间(a，b)上不存在最大值，只有当区间为闭区间[a，b]时才存在最大值f(b)。2.在等比数列{e_n}中，若e_3=12，e_5=96，则e_4=48。（√）解：由等比数列性质e_5=e_3q^2，代入e_3=12，e_5=96可得96=12q^2，解得q=2，故e_4=e_3q=12×2=24，原题说法错误。3.已知圆C的方程为(x+1)^2+(y-2)^2=25，则点P(1，1)在圆C内部。（×）解：圆心C(-1，2)，半径r=5，点P到圆心距离|PC|=√[(-1-1)^2+(2-1)^2]=√5<5，故点P在圆C内部。4.若函数g(x)=x^2-2x+1，则g(x)在区间(-∞，1)上单调递减。（√）解：g'(x)=2x-2，令g'(x)<0可得x<1，故g(x)在(-∞，1)上单调递减。5.在△JKL中，若角J=30°，角K=60°，边JK=6，则边KL的长度等于3√3。（√）解：由正弦定理可得KL/sinJ=JK/sinK，即KL/1/2=6/√3，解得KL=3√3。6.已知椭圆E的方程为x^2/25+y^2/16=1，则椭圆E的离心率e=3/5。（√）解：a=5，b=4，c=√(a^2-b^2)=3，离心率e=c/a=3/5。7.若函数h(x)=cos(2x)+1，则h(x)的图像关于原点对称。（×）解：cos(2x)为偶函数，故h(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，不关于原点对称。8.在等差数列{m_n}中，若m_1=2，m_5=14，则该数列的前10项和S_10=55。（√）解：公差d=(m_5-m_1)/(5-1)=12/4=3，通项公式m_n=2+(n-1)×3=3n-1，S_10=10×(m_1+m_10)/2=10×(2+29)/2=155，原题说法错误。9.已知抛物线y^2=4x的焦点为F，准线为l，点Q在抛物线上运动，则|QF|+|Q到l的距离|的最小值为2。（√）解：由抛物线定义可知|QF|=|Q到l的距离|，故|QF|+|Q到l的距离|=2×焦点到准线距离=2×1=2。10.在△MNO中，若MN=4，NO=5，MO=6，则角M=60°。（√）解：由余弦定理cosM=(MN^2+MO^2-NO^2)/(2×MN×MO)=1/2，故角M=60°。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数f(x)在区间[-2，4]上的单调区间。解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，当x∈(-2，0)时f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(0，2)时f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(2，4)时f'(x)>0，函数单调递增。单调递增区间为(-2，0)∪(2，4)，单调递减区间为(0，2)。2.在△PQR中，若角P=45°，角Q=60°，边PR=6，求△PQR的面积。解：由正弦定理可得QR/sinP=PR/sinQ，即QR/√2/2=6/√3，解得QR=6√6/√3=2√2，面积S=1/2×PR×QR×sinQ=1/2×6×2√2×√3=6√6。3.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=16，求过点A(3，-1)的圆C的切线方程。解：圆心C(1，-2)，半径r=4，点A到圆心距离|AC|=√[(-1+2)^2+(3-1)^2]=√5，当过点A的直线与圆相切时，斜率k=-(AC的斜率)=-(-1)/(3-1)=1/2，切线方程为y+1=1/2(x-3)，即x-2y-5=0。4.在等比数列{T_n}中，已知T_1=1，T_6=64，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列性质T_6=T_1q^5，代入T_1=1，T_6=64可得q=2，S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知函数f(x)=x^2-2ax+3在x=1时取得最小值，求函数f(x)在区间[-2，4]上的最大值与最小值。解：由f'(1)=0可得a=1，故f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，在[-2，4]上，f(-2)=11，f(1)=2，f(4)=11，最大值为11，最小值为2。2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=6，求边BC的长度。解：由正弦定理可得BC/sinA=AC/sinB，即BC/√3/2=6/√2，解得BC=6√6/√3=2√2。3.已知椭圆E的方程为x^2/25+y^2/16=1，求椭圆E的焦点坐标和离心率。解：a=5，b=4，c=√(a^2-b^2)=√9=3，焦点坐标为(±3，0)，离心率e=c/a=3/5。4.在等差数列{a_n}中，已知a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10。解：公差d=(a_5-a_1)/(5-1)=12/4=3，通项公式a_n=2+(n-1)×3=3n-1，S_10=10×(a_1+a_10)/2=10×(2+29)/2=155。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.B3.B4.A5.A6.C7.A8.D9.B10.B二、填空题1.12.2n+13.14.√3/25.相交6.37.π8.3√69.(±√7，0)10.3三、判断题1.×2.×3.×4.√5.√6.√7.×8.×9.√10.√四、简答题1.单调递增区间(-2，0)∪(2，4)，单调递减区间(0，2)2.面积6√63.切线方程x-2y-5=04.S_5=31五、应用题1.最大值11，最小值22.BC=2√23.焦点(±3，0)，e=3/54.S_10=155【解析】一、单选题1.等差数列通项公式计算，需掌握a_n=a_1+(n-1)d2.对数函数值域计算，需掌握t≥m^2时log_mt的值域3.正弦定理应用，需掌握边角关系4.圆与直线位置关系，需掌握圆心到直线距离与半径关系5.函数最值计算，需掌握导数法和端点法结合6.等比数列通项公式计算，需掌握a_n=a_1q^(n-1)7.直线与圆位置关系，需掌握圆心到直线距离与半径关系8.正弦定理应用，需掌握边角关系9.函数奇偶性判断，需掌握f(-x)与f(x)关系10.抛物线定义应用，需掌握焦点与准线关系二、填空题1.导数法求最值，需掌握f'(x)=0的几何意义2.等差数列性质，需掌握a_3+a_7=2a_5