有限单元法基础第2版 课件 第8章 板壳结构力学问题-

第8章板壳结构力学问题超参数单元薄板单元厚板单元平面壳体单元8.1引言轴对称壳单元薄板结构弹性稳定性8.2薄板单元1薄板弯曲基本理论受横向力和弯曲载荷作用的平板基本假设中面（z=0）上的点面内位移为零垂直于中面的法线上的点具有相同的竖向位移垂直于中面方向的正应力可以忽略不计变形前正交于板中面的直线变形后仍正交于中面且长度不变板中面外的其它点的面内位移直法线假设薄板中任意一点的位移薄板的变形特征板中任意一点的应变广义应变（曲率和扭率表达）横向剪切应变为零面内应力分量薄板微元体及应力分布广义应力应变关系（本构关系）板的抗弯刚度板的抗弯刚度矩阵平衡方程基本方程几何方程本构方程平衡方程板弯曲问题的三种边界条件外力边界n:法向；s:切向位移边界混合边界条件或弹性薄板的弯曲应变能板弯曲时为平面应力状态，其应力和应变关系为系统的势能泛函离散化：2基于薄板理论的平板单元结点变量插值函数绕y轴的转角：绕x的转角：w结点位移：对板的中面进行离散，中面以外其它点的位移由中面挠度计算得到。矩形4结点单元单元位移插值模式：代入结点位移和坐标：利用坐标变换xo和yo为单元中心点的整体坐标仅作用有竖向均布载荷q收敛性检查a）完备性检查刚体位移：z向刚体位移绕y

轴刚体转动绕x

轴刚体转动常应变：满足完备性要求。b）连续性检查w连续；一般不连续。非协调单元讨论：a）为非协调单元。b）能通过分片试验，能收敛于精确解，但收敛不是单调的。c）不能推广到一般的四边形单元。三角形3结点单元1233结点，9个参数每个结点自由度：若用完备三次项，应包含10项用面积坐标构造位移函数可以证明：当c=1/2时，满足常应变要求；w协调；不协调。非协调单元8.3厚板单元1厚板弯曲基本理论基本假设变形前正交于板中面的直线变形后仍为直线，其它三个假设与薄板相同。厚板界面的转动关系中面位移：中面外其它点位移中面法线的转角板中任意一点的应变层间剪切应变曲率和扭率（广义应变）板的面内应力状态为平面应力状态厚板微元体及应力分布平衡方程k为截面剪切校正因子抗弯刚度通过修正的剪应变能等于按实际剪应力和剪应变计算得到的应变能相等，可得到矩形截面的k=5/6。抛物线分布广义应力应变关系（本构方程）平衡方程板的应变能弯曲应变能剪切应变能板的势能泛函第一项：弯曲应变能第二项：剪切应变能后几项：外力势其中挠度和转角均为独立变量，由此构造的有限元格式适用于较厚的平板弯曲问题。该类单元的位移和转动各自独立插值，称为

Mindlin板单元。板很薄时，忽略层间剪切变形可以理解为剪切刚度罚函数法第二项可以理解为利用罚函数法引入薄板约束条件插值：C0连续函数，二维C0型插值函数均可。2Mindlin板单元由驻值条件剪切锁死和零能模式当板很薄时，为避免剪切锁死，Ks需奇异。采用减缩积分可能致使K奇异，使解答中包含除刚体运动之外的且对变形能无贡献的变形模式——零能模式a）Midlin板单元保证K非奇异的必要条件Me：单元数；：高斯积分点数；：弯曲应变和剪切应变分量数；N：系统独立自由度数。b）保证Ks奇异性的充分条件积分方案的选择分别采用不同阶次的积分方案。应用中的处理实际应用和通用程序中，普遍采用减缩积分方案。零能位移模式的出现：板较厚且单元较少，边界约束较少时容易出现。较厚板：精确积分，不会出现零能模式和锁死。应用中薄板分析时，推荐采用4结点和9结点Lagrange单元。8.4平面壳体单元1弹性薄壳基本假设（Kirchhoff-Love假设）直法线假设在变形前正交于壳体中面的直线，变形后仍然为正交于中面的直法线段，且保持长度不变。切平面应力假设正应力比应力分量小得多，相对而言可以忽略。模拟一般三维空间壳结构的平面壳体单元用三角形单元组成曲壳用矩形单元组成曲壳用三角形和矩形组合代替曲壳壳体与平板的异同a）相同点a）厚度方向的尺度比其它两个方向小得多b）均使用Kirchhoff假设b）不同点平板：u，v位移[平面应力（薄膜应力状态）]与弯曲状态不耦合。壳体：u，v，w同时发生，弯曲状态与薄膜状态相互耦合。1局部坐标系下的平板单元平面壳元＝平面应力单元＋平板弯曲单元结点位移：结点力：1）平面应力状态（薄膜应力状态）三角形平面薄壳单元的结点位移和结点力2）平板弯曲状态在局部坐标系下在整体坐标系下2向整体坐标的转换局部坐标系下整体坐标系下1）结点位移变换L：正交矩阵平面壳单元局部坐标系和整体坐标系2）单元结点位移变换3）单元刚度矩阵变换4）单元载荷向量的变换组集刚度矩阵后特殊情况的处理：若汇交于结点i的各单元在同一平面内，处理方法：（1）在局部坐标系建立该点的平衡方程，删去对应的方程（2）在此点上给出任意的刚度系数，不会影响计算结果。8.5超参数壳体单元1几何形状典型的厚壳单元三维实体单元用于壳体结构时，考虑到壳体在厚度方向的尺寸相对于其它方向的尺寸很小，可以在厚度方向只设置两个结点。在引入壳体理论的基本假设之后，可以蜕化为超参数壳单元。壳体单元中任意一点的坐标上式可改写为：如果V3i与法线同向，i点处的壳厚度V3i的单位向量的方向余弦：单元结点数：2n底结点到顶结点的向量2位移函数单元内任意点的位移：是v3i绕v3i和v3i的旋转。与v3i垂直并正交的单位向量超参单元的局部和整体坐标及位移位移插值表达式单元结点位移数：nX5单元几何形状参数：nX2X3超参单元i为x坐标方向的单位矢量i=[100]T3应变和应力根据壳体理论，局部坐标系下计算壳体应变能涉及的应变为局部坐标系和整体坐标系下的应变转换关系k＝5/6,考虑剪切边沿厚度方向不均匀分布的影响而引入的修正。4单元平衡方程超参壳元在引入一定的几何假设后和位移及转动各自由度独立插值的壳元等价。在计算单元刚度阵时，同样需保正K非奇异，Ks奇异。可采用Mindlin板单元中讨论的各种方法解决“锁死”问题。实用中普遍采用减缩积分方案。单元刚度矩阵可以分解为薄膜-弯曲和横向剪切两部分1轴对称壳的基本公式1）壳体中任一点的应变a）中面广义应变8.6轴对称壳单元b）中面外任意一点的应变（z：离中面的距离）2）广义内力分量和应力分量（假设应力沿壳厚度方向线性变化）3）广义应力和广义应变之间的弹性关系将变形分解为薄膜状态和弯曲状态广义应力－应变关系4）载荷和边界条件对称时的简化周向位移u，w仅为s的函数，与θ

无关。壳体的应变能势能考虑剪切变形的轴对称壳体理论的基本公式应变能2基于薄壳理论的轴对称单元结点位移单元结点位移单元中任意一点在局部坐标系下的位移模式将结点1，2处的代入，可得le：截锥单元经线的长度。轴对称截锥壳单元位移表达式局部坐标系下位移与整体坐标系下位移的变换关系位移插值表达式2结点直线单元，代入利用最小势能原理或加权残值法可得平衡方程单元刚度矩阵：单元等效结点载荷：用一维高斯数值积分，通常3～4点积分可达足够精度。优点：表达式简单，精度较好。应用较广。缺点：用直线代替曲线，有时会产生较大误差。任有必要研究曲边单元。3位移和转动各自独立插值的轴对称壳单元截面转动β是对立函数，在整体坐标系下构造插值函数代入考虑剪切变形影响的轴对称壳单元代入泛函并利用极值条件可得可将Ke分解轴向分布载荷单元的结点载荷径向分布载荷分布力矩讨论：类似于Timoshenko梁和Mindlin板要求：K非奇异，奇异。可采用：减缩积分、选择积分、假设剪切应变法等。轴对称3结点二次曲边壳单元坐标和总体坐标系下的位移及转动采用相同的插值表达式轴对称二次曲边单元最后可得注意：（1）结点3的位移可以凝聚掉。（2）为保证Ke的非奇异性和Ks的奇异性，应选择两点高斯积分方案。1板单元的几何刚度矩阵8.7薄板结构弹性稳定性分析板单元面内应力挠度w在中面内引起的附加应变厚度方向上任意一点的弯曲产生的应变板中面位移u、v而产生的应变板单元内任意一点的应变（三项之和）弹性薄板的弯曲应变能板中面的内力板中面上因面内载荷作用产生的初始应力对应的应变能挠度位移插值板弯曲的应变能薄板的几何刚度矩阵几何刚度矩阵板平面内的应力可以采用相同的网格，由平面问题有限元计算。

杆件系统的弯曲应变能为所有Me个单元应变能之和在横向力P的作用下系统的势能为2板结构失稳临界载荷板结构同时承受两组载荷作用于板中面的面内载荷，或称为纵向载荷F0横向载荷P，引起板的弯曲单元几何刚度矩阵与纵向载荷成正比，如果纵向载荷按比例增大λ倍如果纵向载荷很小，可以忽略，结点位移与P成正比。当p=0时，结点位移也为零。当轴向载荷达到临界载荷时，系统发生弹性失稳。此时即使横向载荷p=0，结点位移也不为零有非零解的条件求解该特征方程得到其最小特征值λcr结构失稳的临界载荷将特征值λcr代入计算得到对应的特征向量，即系统的失稳模态。失稳模态反映了结构发生失稳时的变形形态稳定性分析分两步：（1）计算结构的内力分布（2）计算结构的失稳临界载荷8.8算例：压力罐应力及稳定性计算压力罐底部固定约束，内压为1.0MPa。压力罐的几何尺寸如图中所示。罐的材料为Q420，其杨氏弹性模量为200GPa，泊松比为0.3，屈服极限威420MPa。利用ABAQUS软件，采用空间壳单元计算该压力罐的变形和应力，并计算其屈曲载荷和模态。600mmR