有限单元法基础第2版 课件 第10章 热传导和热应力问题-

第10章热传导和热应力问题近终型连铸工艺结晶器水孔设计浇注过程结晶器铜板二维温度分布结晶器出口处铸坯的温度和变形分布大水孔小水孔10.1引言2基本概念1）传热的基本模式传导、对流、辐射、相变传热、复合模式与综合传热。2）热传导稳态热传导：稳态温度场问题，与时间无关。瞬态热传导：瞬态温度场问题，依赖于时间变化。10.2稳态热传导有限元强制边界条件自然边界条件1有限元格式场方程及边界条件加权残值表达式Galerkin方法，选择利用Green公式在给定温度边界ST上单元插值：单元热传导矩阵单元等效结点热载荷稳态热传导单元方程相邻单元作用于当前单元的等效结点热流载荷热传导矩阵单元等效结点热载荷各向同性材料针对整体系统引入至少一个给定点温度，消除方程奇异性。热传导问题有限元方程也可以用变分原理导出2四边形等参单元单元温度插值坐标变换ηξ1(-1,-1)2(1,-1)3(1,1)4(-1,1)四边形4结点例：四边形4结点单元温度插值坐标变换3三角形等参单元单元温度插值坐标变换边界积分的变换系数三角形3结点单元10.3瞬态热传导有限元1有限元格式场方程及边界条件加权残值表达式积分方程的“弱”形式Galerkin方法，选择边界ST上单元温度插值插值函数不随时间变化由的任意性一阶常微分方程组2瞬态方程的模态叠加解法a）特征值问题热传导方程的齐次式假设其解的形式代入齐次方程可得欲得非零解，要求特征方程可得n个特征值。若C和K正定，特征值为正实数，且对应于每一个特征值，可得一组特征向量，或称为模态。特征向量具有正交性：齐次方程的解b）瞬态响应的解可表示为特征向量的线性组合代入有限元方程得解耦的单自由度常微分方程可求解析解，或用两点循环公式求数值解。利用特征向量的正交性，可得：3瞬态方程的直接积分解法时间离散化t0t1tTT(t)时间函数的离散时间区间离散成K+1个时刻每两个相邻时刻之间的时段长度为时间增量时间步长tnn＋1时间两点插值函数进行线性插值线性插值所有结点的温度微分方程的加权余量形式时间段代入代入方程两边同时除以令：如果已知f采用与

T相同的插值：不同的w取值，对应于不同的差分格式tnn＋1wtnn＋1wtnn＋1wtnn＋1w1tnn＋1w1tnn＋1w1向前差分（Euler差分公式）中心差分（Crank－Nicholson差分公式）向后差分积分参数θ的选择θ的取值直接影响到解的精度和稳定性。算法步骤形成系统系数矩阵C和K给定温度初始条件T0选择积分参数θ和时间步长形成有效系数矩阵三角分解对每一时间步初始计算形成向量fk+1形成有效向量回代求解进入下一个时间步循环，直至得到最后一个时刻的解回代求解1）收敛的概念：如果Δt

取任意值，误差不会无限增大（不发散）无条件稳定如果Δt需满足一定的条件才不发散条件稳定4瞬态方程解的稳定性和精度2）两点积分公式的稳定性条件仅需讨论齐次式解析解利用两点公式求解定义欲得稳定解：（1）否则，解越来越大，发散。（2）否则，解解正负交替震荡，不符合热传导的物理过程。为正实数，λ的最大值为正且小于1。获得稳定解的条件。当无条件稳定。当条件稳定，要求由由解不发生震荡的条件。时间步长Δt的选择要保证解的稳定性Δt的大小直接影响计算精度和计算量时间步长越小，精度越高，计算量越大时间步长越大，计算量越小，精度也越低Δt的选择需同时考虑：稳定性、时间积分精度、计算量。10.4热应力有限元分析方法1热弹性问题的有限元方法热变形引起的应变总应变具有初始应变的应力-应变关系应变能密度扩展到三维热弹性问题应力应变关系应变能密度应变能常数，在采用最小势能原理时该项的变分为零，因而该项可以删除系统的势能2一维问题热应力2结点一维Lagrange单元3平面问题和轴对称问题热应力平面应力问题平面应变问题单元的结点温度载荷三角形3结点单元四边形等参单元轴对称问题单元的结点温度载荷1热力耦合问题非耦合问题：先计算温度场，再计算应力场。耦合问题：温度场计算和应力分析需反复迭代，直至收敛。2温度单元和应力单元的匹配准备数据的方便，希望温度场和应力场分析采用相同的网格。单元阶次的匹配：

对于C0型单元，位移场的插值函数应比温度场的插值函数高一个阶次。10.5热力耦合有限元方法10.6算例：热传导及热应力问题圆孔直径为20m，矩形长60m，宽40m，厚1m。材料的杨氏模量为2.0×108Pa，泊松比为0.3，热导率44.8W/(m.K)，线膨胀系数为1.99×10-5/oC。温度及热流边界条件温度分布热变形及Mises应力分布热流分布10.7小结稳态热传导有限元Galerkin法