15.4.3含30°角的直角三角形的性质 课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

#沪科版八年级上册15.4.3含30°角的直角三角形的性质专项练习（满分100分\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)时间40分钟）##一、选择题（每题5分\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)共30分）1.在直角三角形中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)如果一个锐角等于30°\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)那么下列结论正确的是（）A.斜边长等于直角边长的2倍B.30°角所对的直角边等于斜边的一半C.另一个锐角等于50°D.30°角所对直角边等于另一条直角边一半2.在$Rt\triangleABC$中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleC=90^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleA=30^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)斜边$\(AB=10\)$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)则BC的长为（）A.3B.4C.5D.63.$Rt\triangleABC$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleC=90^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleB=30^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\(\(AC=\)4\)$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)则AB长为（）A.4B.6C.8D.104.等腰三角形顶角为120°\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)腰长6\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)则底边上的高为（）A.2B.3C.4D.65.在$Rt\triangleABC$中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleC=90^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)如果一条直角边等于斜边的一半\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)则这条直角边所对的锐角是（）A.60°B.45°C.30°D.不能确定6.下列说法错误的是（）A.含30°的直角三角形\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)三边之比为$1:\sqrt{3}:2$B.在直角三角形中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)30°对的直角边是斜边一半C.直角三角形中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)斜边中线等于斜边一半D.只要有一条直角边是另一条的一半\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)则这个角一定是30°##二、填空题（每题5分\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)共30分）7.在直角三角形中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)30°角所对的________等于________的一半。8.$Rt\triangleABC$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleC=90^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleB=30^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)斜边$\(AB=12\)$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)则$\(AC=\)$____。9.$Rt\triangleMNP$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleN=90^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\(MP=8\)$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\(MN=4\)$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)则$\angleP=$____°。10.等边三角形边长为6\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)则它一边上的高等于________。11.等腰三角形顶角120°\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)底边长$6\sqrt{3}$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)腰长=____。12.使用这个性质的前提条件：必须是________三角形。##三、解答题（共40分）13.（12分）已知：在$Rt\triangleABC$中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleC=90^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleA=30^\circ$。求证：$BC=\dfrac12AB$。14.（14分）如图\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)在△ABC中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\(AB=AC\)$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleB\(AC=\)120^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$AD\perpBC$于D。求证：$\(AB=2AD\)$。15.（14分）在$Rt\triangleABC$中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleACB=90^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleA=30^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$CD\perpAB$于D\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\(BD=2\)$。求AB的长。---#参考答案与解析##一、选择题1.B解析：定理原文\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)注意是**30°角对的直角边**是斜边一半。2.C解析：∠A=30°对边BC\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$BC=\dfrac12AB=5$。3.C解析：∠B=30°对边AC\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\(AC=\)\dfrac12AB$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\(AB=8\)$。4.B解析：等腰△顶角120°\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)底角30°；底边上的高是腰对应的30°对边\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)高$=\dfrac12\times6=3$。5.C6.D解析：必须是**直角三角形**内\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)直角边是斜边一半\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)角才是30°；不是任意两条直角边。##二、填空题7.直角边；斜边8.69.3010.$3\sqrt{3}$11.612.直角##三、解答题13.证明：延长BC到D\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)使$\(CD=BC\)$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)连接AD。∵$\angleACB=90^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴$AC\perpBD$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$AC$垂直平分BD。∴$\(AB=AD\)$。∵$\angleB\(AC=\)30^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴$\angleB=60^\circ$。△ABD中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\(AB=AD\)\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)\angleB=60^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴△ABD是等边三角形。∴$\(AB=BD\)$。∵$\(BD=2\)BC$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴$\(AB=2BC\)$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)即$BC=\dfrac12AB$。14.证明：∵$\(AB=AC\)$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleB\(AC=\)120^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴$\angleB=\angleC=\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$。∵$AD\perpBC$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴△ABD是直角三角形\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleADB=90^\circ$。在Rt△ABD中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∠B=30°\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)30°对直角边是AD。∴$AD=\dfrac12AB$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)即$\(AB=2AD\)$。15.解：∵$\angleACB=90^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleA=30^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴$\angleB=60^\circ$。∵$CD\perpAB$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴$\angleCDB=90^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴$\angleBCD=30^\circ$。在Rt△BCD中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleBCD=30^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴$\(BC=2BD=4\)$。在\(Rt\triangleABC\)中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)$\angleA=30^\circ$\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)∴$\(AB=2BC\)=8$。答：AB长为8。###核心知识点小结1.定理：Rt△中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)30°角所对直角边=$\dfrac12$斜边。2.逆用：Rt△中\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)如果一条直角边等于斜边一半\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)则这条直角边所对锐角为30°。3.前提：**必须是直角三角形**才能使用！4.常见模型：等边三角形作高、顶角120°等腰三角形\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)都会拆成两个含30°直角三角形。5.易错：不要记成“30°对的斜边是直角边一半”。下一节：**15.5等腰三角形的复习**专项练习\(AB=AD，\angleB=60^\circ\)继续吗？沪科版（新教材）数学八年级上册15.4.3含30°角的直角三角形的性质授课教师：.

班

级：

8年级（

）班.

时

间：.

2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章轴对称图形与等腰三角形ABCD

问题1

将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，

你有什么发现？

等边三角形变成一个含30°角的直角三角形30°03新知探究等腰三角形的两个底角相等，反过来的命题是否是真命题呢？请与你的同学研究讨论后作出判断.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边）思考如何证明呢？03新知探究已知：如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.证明：过点A作AD⊥BC,D点为垂足，∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义）

∴△ADB≌△ADC.(AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)03新知探究这个定理叫做等腰三角形的判定定理,它是判断一个三角形是否为等腰三角形的重要依据.通过该定理是否能得到其他推论？注意：不能将等腰三角形的判定定理写成“如果一个三角形两个底角相等，那么它的两腰也相等”，因为在没有判断出三角形为等腰三角形前，不能使用“腰”、“底角”这类等腰三角形专用词语名称03新知探究推论1

三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.归纳03新知探究如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，延长BC到点D，使CD=BC.连接AD,则△ACD≌△ACB.ABCD∴AD=AB，∠BAC=∠DAC=30°，∠BAD=60°.由推论2，得△ABD是等边三角形，∴BD=AB

03新知探究定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABC归纳03新知探究例4如图，一艘船从A处出发，以每时10nmile（海里）的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上.（1）画出礁石C的位置；（2）求从B处到礁石C的距离；(3)这艘船继续向正北方向航行多少海里与礁石C的距离最小?03新知探究解：（1）如图，以A为顶点，向北偏西30°作射线AD，在点A的正北方向上取一点B，以B为顶点，向北偏西60°作射线BE，AD与BE交于点C，则点C为礁石所在地.（2）∵∠ACB=60°-30°=30°，（三角形的外角性质）又∵∠BAC=30°，∴∠BCA=∠BAC,∴BC=BA.∵BA=10×（10-8）=20（nmile），∴BC=20（nmile）.即从B处到礁石C的距离是20nmile.03新知探究

1．[芜湖月考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3.5cm，则AB等于(

)A．3.5cmB．4cm

C．6cm

D．7cm1星题基础练D2．如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(

)A．7.5m B．5mC．10m D．5mD3．[南通期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD是高，BD＝1，则CD的长度为________．304课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.如图，在△ABC中，

AB＝AC=5，

D是BC

上的点，

DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是(

B

)A.5

B.10

C.15

D.202.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是()A.a=3,b=3,c=4

B.a∶b∶c=2∶3∶4C.∠B=50°,∠C=80°

D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2BB04课堂练习【知识技能类作业】选做题：3.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AB的长为

cm.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=40°,在直线AC上找一点P,使△ABP是等腰三角形,则∠APB的度数为

.

2

20°或40°或70°或100°04课堂练习【综合拓展类作业】证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=FE，∴△DEF是一个等边三角形5.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．1、如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量∠ABC＝30°，则树高为（）A．6mB．9m

C．10m

D．12mB巩固练习

变式1

如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，

则AB=______.8ACB

变式2

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD

是高，∠A=30°，AB=8，则

BD=（）

A.2

B.3

C.4

D.6A

变式4如图，在

△ABC

中，AB=BC，∠B=120°，AB

的垂直平分线交

AC

于点

D．若

AC=6cm，则

AD=

cm．2

变式3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，若BD=20cm，则AC的长为

.10cm核心必知在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________．一半4．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝8，试求DE的长度．解：∵D为AB的中点，∴AD＝

AB