4.5.3等边三角形的性质与判定 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册4.5.\(\boldsymbol{3}\)等边三角形的性质与判定专项练习##知识点回顾**等边三角形定义**：三条边都相等的三角形叫做等边三角形\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)是特殊的等腰三角形。###✅等边三角形性质1.三边都相等；2.三个内角都相等\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)并且每一个内角都等于$\boldsymbol{60^\circ}$；\(\boldsymbol{3}\).轴对称图形\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)有**\(\boldsymbol{3}\)条对称轴**；4.同样满足等腰三角形“三线合一”\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)每条边上的中线、高、对角平分线互相重合。###✅等边三角形判定1.**定义判定**：三边相等的三角形是等边三角形。2.**角判定1**：三个角都相等的三角形是等边三角形。\(\boldsymbol{3}\).**角判定2**：有一个角是$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形。（高频考点）>区分：等腰三角形两个底角相等；等边三角形三个角都是$60^\circ$。>只要等腰三角形出现一个$60^\circ$角\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)不管这个角是顶角还是底角\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)一定是等边三角形。满分：100分时间：40分钟##一、选择题（每题4分\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)共20分）1.等边三角形每个内角的度数是（）A.$\(\boldsymbol{3}\)0^\circ$B.$60^\circ$C.$90^\circ$D.$120^\circ$2.等边三角形对称轴的条数是（）A.1条B.2条C.\(\boldsymbol{3}\)条D.无数条\(\boldsymbol{3}\).下列条件不能判定三角形为等边三角形的是（）A.三边相等B.三个内角相等C.有一个角是$60^\circ$的三角形D.有一个角是$60^\circ$的等腰三角形4.关于等边三角形说法错误的是（）A.属于特殊的等腰三角形B.任意一边上的高、中线、角平分线重合C.三个外角都相等D.只有一条对称轴5.等腰三角形有一个内角为$60^\circ$\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)这个三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.钝角等腰三角形D.不能确定##二、填空题（每题4分\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)共20分）1.等边三角形的三个内角都相等\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)每个角等于________。2.判定：有一个角是$60^\circ$的________三角形是等边三角形。\(\boldsymbol{3}\).等边三角形有________条对称轴。4.等边三角形任意一边上的高、中线、角平分线________。5.若$\triangleABC$是等边三角形\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)则$\(AB=BC=\)$________。##三、基础解答题（每题8分\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)共\(\boldsymbol{3}\)2分）1.已知：$\triangleABC$是等边三角形。求证：$\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ$。2.已知：在$\triangleABC$中\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)$\(AB=\(\boldsymbol{AC}\)\)$\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)$\angleB=60^\circ$。求证：$\triangleABC$是等边三角形。\(\boldsymbol{3}\).判断对错并说明理由：（1）有两个角是$60^\circ$的三角形是等边三角形。（2）等腰三角形一定是等边三角形。4.已知$\triangleABC$是等边三角形\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)求它的外角的度数。##四、拓展提升题（每题14分\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)共28分）1.已知：$\triangleABC$是等边三角形\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)点$D$在$AB$上\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)$DE\parallelBC$交$\(\boldsymbol{AC}\)$于$E$。求证：$\triangleADE$是等边三角形。2.已知：$\triangleABC$是等边三角形\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)$\(AD=BE=CF\)$。求证：$\triangleDEF$是等边三角形。---#参考答案与解析##一、选择题1.B2.C\(\boldsymbol{3}\).C4.D5.B##二、填空题1.$\boldsymbol{60^\circ}$2.**等腰**\(\boldsymbol{3}\).$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$4.**互相重合**5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{AC}\)}$##三、基础解答题1.证明：$\because\triangleABC$是等边三角形\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)$\therefore\(AB=BC=\)\(\boldsymbol{AC}\)$$\therefore\angleB=\angleC=\angleA$（等边对等角）又$\because\angleA+\angleB+\angleC=180^\circ$$\therefore\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ$2.证明：$\because\(AB=\(\boldsymbol{AC}\)\)$\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)$\therefore\angleB=\angleC=60^\circ$（等边对等角）$\therefore\angleA=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ$$\therefore\angleA=\angleB=\angleC$$\therefore\triangleABC$是等边三角形。（也可直接用判定定理：有一个角是$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形）\(\boldsymbol{3}\).（1）√；两个角$60^\circ$\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)第三个角也一定是$60^\circ$\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)三角相等\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)是等边三角形。（2）×；等腰三角形只要两边相等即可\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)不一定三个角都是$60^\circ$\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)不一定是等边三角形。4.解：等边三角形内角$60^\circ$\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)外角与内角互补\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)外角$=180^\circ-60^\circ=\boldsymbol{120^\circ}$。##四、拓展提升题1.证明：$\because\triangleABC$是等边三角形\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)$\therefore\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ$$\becauseDE\parallelBC$\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)$\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ$$\therefore\angleA=\angleADE=\angleAED=60^\circ$$\therefore\triangleADE$是等边三角形。2.证明：$\because\triangleABC$是等边三角形$\therefore\(AB=BC=\)\(\boldsymbol{AC}\)\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ$$\because\(AD=BE=CF\)$$\thereforeAB-AD=BC-BE=\(\boldsymbol{AC}\)-CF$\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)即$\(BD=CE=AF\)$在$\triangleADF、\triangleBED、\triangleCFE$中$\begin{cases}\(AD=BE=CF\)\\\angleA=\angleB=\angleC\\AF=BD=CE\end{cases}$$\therefore\triangleADF\cong\triangleBED\cong\triangleCFE(\text{SAS})$$\thereforeDF=ED=FE$$\therefore\triangleDEF$是等边三角形。##易错警示1.判定“有一个角$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形”\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)**前提必须是等腰三角形**\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)单独一个角$60^\circ$不能判定；2.等边三角形是等腰三角形\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)但等腰三角形不一定是等边三角形；\(\boldsymbol{3}\).平行线遇到等边三角形\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)经常得到新的等边三角形；4.三线合一在等边三角形中\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)三条边上都成立。本章第4章三角形到此全部完成！下一章：**5.1轴对称图形**\(\therefore\angleADE=\angleB=60^\circ\(\thereforeAB=BC=AC，\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)\angleAED=\angleC=60^\circ\)继续同格式出题吗？湘教版（新教材）数学八年级上册4.5.3等边三角形的性质与判定授课教师：.

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8年级（

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2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章三角形123掌握等边三角形的性质定理.（重点）掌握等边三角形的判定定理（重点）会利用等边三角形的性质和判定定理进行简单的推理和计算（重点）导入新课名称图形定义性质

判定等腰三角形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形02新知导入回顾1：等腰三角形的性质定理和判定定理是什么？等腰三角形的性质定理：1.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”).2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”).3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.02新知导入等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.02新知导入回顾2：什么是等边三角形？三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.回顾3:等边三角形是等腰三角形吗？等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.等边三角形具有等腰三角形的全部性质02新知导入等腰三角形是轴对称图形等边三角形具有三条对称轴等边三角形是轴对称图形思考：等边三角形有多少条对称轴？03新知探究探究等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？猜想：三个内角相等三个内角都为60°你能进行证明吗？03新知探究已知：△ABC是等边三角形.求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC.∵AB=AC，AC=BC，∴∠B=∠C，∠A=∠B(等边对等角).∴∠A=∠B=∠C.又∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和为180°)，∴∠A=∠B=∠C=60°.03新知探究等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.几何语言∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的性质定理).03新知探究说一说由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？等边三角形的三个角相等的逆命题是什么？三个角都相等的三角形是等边三角形03新知探究解：逆命题成立.如图，在△ABC中，由于∠A=∠B，则AC=BC.同理可由∠B=∠C得AB=AC.于是AB=AC=BC.因此△ABC是等边三角形.03新知探究等边三角形的判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).

B

返回105°返回03新知探究思考有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？三角形有三个角，你能确定哪个角是60°吗？所以应该怎么做？分类讨论03新知探究解：如图，在△ABC中，AB=AC.情形1设∠A＝60°.根据三角形内角和定理得∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°.由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60°于是△ABC是等边三角形.03新知探究情形2设∠B＝60°.由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°，从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60°因此△ABC是等边三角形.情形3设∠C＝60°.与情形2类似，同理可证△ABC是等边三角形.综上所述，△ABC是等边三角形.03新知探究等边三角形的判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°,∴△ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).03新知探究如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长例4证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°（等边三角形的性质定理）.因为∠EAD=∠BAC=60°，AD=AE，所以△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）线上，且AD=AE.求证：△ADE是等边三角形.新知应用基础巩固题1.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝(

) A．20°B．25°C．30°D．35° C2.如图，已知等边三角形ABC的周长为18

cm，△ADE是等边三角形，EC＝2

cm，则△ADE的周长为________.12cm等边三角形的各角都等于60º.等边三角形的三条边都相等三线合一新知应用基础巩固题3.如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AC上，且AE＝AD，则∠BAD的度数为__