有限单元法基础第2版 课件 第12、13章 混合型有限元公式、小变形非线性有限元基本原理

第12章混合型有限元公式

12.1

引言描述问题的场方程1概念1）为了描述场问题，如果u中任何分量都不能消去，则称公式为不可约型。2）如果u中的某些变量可以消去，则公式为混合型（mixed）。可以构造不同型式的有限元方程。2二维热传导问题本构方程连续方程边界条件1）将本构方程代入连续方程得不可约型，

为独立变量。2）由连续方程（罚参数）不可约型，q为独立变量。3）原方程代入本构方程混合型，T和q为变量。12.2热传导问题的混合型公式1混合型方程的离散化（1）（2）本构方程等效积分形式连续方程和热流边界条件的等效积分形式单元插值：任意性任意性可导出如下方程讨论：1）混合型式对插值函数连续性要求不同。由于系数矩阵计算中未出现Nq的导数，插值函数在单元之间可以不连续，而要求NT

是C0连续的。采用不可约型时，要求C1连续。2）若重点研究q，则混合型给出较高的精度。3）混合型方程的系数矩阵中通常有零对角元素，给标准高斯消去法解方程带来困难。称为主变量；称为约束变量。4）变量增加，方程规模增大。这一困难可以用迭代法求解方程克服。2混合型方程解的稳定性如果A非奇异此方程有唯一解的条件非奇异可以证明，为使H

非奇异，要求

的未知量个数

的未知量个数12.3弹性力学问题的混合型公式1以位移为基本变量的有限元公式虚功原理本构关系几何关系位移插值以位移为基本变量的不可约型有限元公式2位移－应力混合型公式B=LNu以位移和应力为基本变量的混合型有限元公式方程要有唯一解，必须满足条件虚功原理等效证明：Hellinger－Reissner变分原理标量3位移－应力－应变混合型公式等价于本构方程和几何方程的等效积分以及虚功原理胡－鹫广义变分原理可得方程设其中4解的稳定性要求1）位移－应力混合型2）位移－应力－应变混合型B=LNu12.4不可压缩弹性体问题1材料的不可压缩性工程中常见材料：橡胶、塑料等为不可压缩弹性体弹性本构关系有限元方程材料不可压：无法求解。1）位移公式无效。2）位移公式的解出现振荡。解决途径：用罚函数法或Lagrange法将不可压缩条件（体积变形为零）作为附加条件引入泛函。采用以位移和压力为基本变量的混合型公式，能够处理完全不可压缩和接近不可压缩的问题。2应力与应变和压力的关系平均应力（压力）压力和体积应变的关系K：体积模量应力偏量列向量体积应变应力偏量应变偏量列向量应变偏量由弹性力学知识可知偏应力与偏应变之间的关系应力用应变和压力表达为3位移-压力混合型公式代入虚功原理必要条件4位移-压力-体积应变混合型公式B-Bar法各向同性材料代入第一个方程除了B矩阵被替换成，方程形式与标准位移公式完全相同。B-bar法12.5混合型方程简单迭代解法1混合型方程的一般形式求解的困难：1）对角元有零元素；2）自由度增加措施：采用迭代法求解可以大大降低求解代价。2迭代求解的一般过程第k次迭代第二个方程的残值收敛加速矩阵12.6多个弹性子域之间的连接背景：并行算法的出现区域分解算法求解域不同部分的连接虚功表达式的弱形式交界面上位移连续条件弱形式离散化可以扩展到多个子域的情况也可以建立受拉格朗日乘子约束的变分原理，通过如下泛函的驻值条件得到方程12.7小结热传导问题的混合型公式混合型方程的离散化解稳定性必要条件弹性力学问题的混合型公式位移-应力混合型公式位移-应力-应变混合型公式解稳定性必要条件解稳定性必要条件不可压缩弹性体问题位移-压力混合公式位移-压力-体积应变混合公式混合型方程简单迭代解法多个弹性子域之间的连接两个子域第13章小变形非线性有限元基本原理13.1引言小变形固体力学问题场方程小变形静力学问题有限元一般格式非线性代数方程数值解法小变形非线性动力有限元小变形非线性弹性有限元13.2小变形固体力学问题场方程1平衡方程2几何方程3本构方程线弹性本构4边界条件5初始条件13.3小变形静力学问题有限元一般格式1单元虚功方程代入虚功方程位移插值几何关系2系统有限元平衡方程结构划分n个结点，所有结点的位移列向量将所有单元虚功方程进行叠加是相邻单元作用于当前单元的等效结点载荷非线性材料线弹性材料非线性方程13.4非线性方程组数值解法1Newton法求解非线性方程组设是方程的n次近似解设新的近似解为代入方程，将在附近作Taylor展开1)Newton迭代算法算法Jacobi矩阵Taylor展开式取至线性项故：引入记号：有限元分析中，Jacobi矩阵代表切线刚度矩阵。Newton法迭代公式可改写为非线性方程迭代求解的收敛性如果迭代过程的序列满足迭代序列收敛于a*迭代过程中的一系列数值为如果则收敛如果存在常数称p阶收敛，收敛率为c。向量：p阶收敛，收敛率为c。收敛可采用不同范数收敛准则Newton迭代法要求初始值与解必须充分靠近，称其具有局部收敛性。初始值的选择至关重要。位移增量范数（α

为事先指定的一个很小的数）位移收敛准则：非平衡力：（β

为事先指定的一个很小的数）非平衡力收敛准则收敛阶大的序列比收敛阶小的序列收敛得快。Newton法得到的序列具有二阶收敛速度。迭代法的效率每迭代一步所需的工作量收敛速度满足的序列称为p阶收敛，收敛率为c。迭代算法过程（1）给定初始近似a0及计算精度α

和β（2）假定已进行了m次迭代，已求出：计算：（3）解方程组：求得：（4）计算：（5）若：或收敛，得到解。否则转至（2）进入下一循环。几何意义初始切线刚度切线刚度法2)简化Newton法为节省计算量，将每步计算改为使用固定的算法成为：每一步迭代所需计算时间减少，但迭代过程的收敛速度降低了，仅为线性速度。3)

修正

Newton

法为提高简化Newton法的收敛速度，可采用过量修正技术：过量修正因子可采用一维搜索方法，使在搜索方向上的分量为零，即：a）过量修正b）修正Newton法在使用简化Newton法时，每经过M次迭代后，重新计算一次Jacobi矩阵具有M＋1阶收敛速度。2拟Newton法应满足拟Newton方程

BFDS算法（最有效的方法之一）前述迭代法几乎都为局部收敛的，要求初始值与解充分靠近，实际计算中有时很困难。大多数非线性问题，如弹塑性问题，变形与加载的大小和历史有关，必须采用增量方法。3载荷增量法载荷因子，描述载荷变化的参数设a是对应于λ的解，是对应于的解作Taylor展开a）基本算法引入记号：考虑到：或将λ分成N个增量计算公式一般情况下b）改进方法改进算法（自修正方法）将由下列公式得到的解作为初步值，在增量步长内使用Newton迭代得到改进公式：（混合法）1Cauchy材料本构方程13.5小变形非线性弹性有限元非线性弹性材料应力-应变曲线变形可逆，可由现时应变唯一地确定现时应力。各向同性非线性弹性材料割线弹性矩阵割线柔度矩阵ES割线Young模量割线Poisson比割线体积模量割线剪切模量割线Young模量和割线Poisson比增量形式DT是应变的函数，称为材料的切线弹性矩阵次弹性材料非线性有限元方程2非线性有限元方程位移插值3方程求解Newton迭代法求解切线弹性矩阵DT是应变或位移a的函数Newton法迭代公式初始切线刚度法还可以采用拟Newton迭代法和其他算法。Newton法计算过程：a0=0（1）（2）（3）（4）（5）满足得收敛解，不满足转（2）13.6小变形非线性动力学有限元1有限元方程位移插值平衡方程和力的边界条件等效积分形式的Galerkin提法2非线性动力方程求解时刻的方程忽略阻尼Newmark求解方法依赖于tn时刻的解若（1）（2）（1）（2）若M为对角阵，显式算法。一种隐式求解方法将（1）代入利用Newton迭代法当前时间步更新解上标k表示时刻t