有限单元法基础第2版 课件第0、1章 绪论、线性弹性和热传导基础

有限单元法基础加权残值法和变分原理有限单元法的基本原理单元插值函数的构造单元映射和数值积分实体有限元分析杆件结构力学问题课程主要内容和基本要求主要内容板壳结构力学问题复合材料结构力学问题热传导和热应力问题动力学问题混合型有限元公式小变形非线性有限元基本原理有限元模型降阶熟练掌握有限单元法的概念、基本理论和方法，具备基本的编程能力和有限元结构分析软件的使用技能。能正确理解有限元解的收敛性和精度，分析判断计算结果的合理性和正确性，为利用有限元方法解决工程实际问题和从事科学研究打下坚实的基础。基本要求第0章绪论0.1微分方程的近似解法降低对近似函数的连续性要求，使数值近似计算更容易。基于弱式的公式通常是一组稳定性良好的离散系统方程，可以获得高精度的解。1）描述问题的微分方程——系统方程的强式形式理想：直接求得强式系统方程的精确解。困难：a）复杂工程问题难以获得精确解。b）数值求解时，近似函数要具有足够的连续性，且与微分方程具有同阶的可导性。有限差分法——一种典型的基于强式的数值近似方法。2）与微分方程等效的积分形式——弱式形式0.2有限元近似解法的基本思想离散化广义节点位移插值函数离散化方程求解系统方程变形图应力分布得到节点位移计算应力网格模型力学模型基本思想有限单元法的特性1）适应于复杂几何构形2）应用于各种物理问题各种大型复杂结构的分析。固体力学、流体力学、传热学、电磁场。3）理论基础可靠建立在严密的数学和力学（传热学、电磁学等）理论基础之上。4）适合于计算机实现的高效性便于计算机编程实现。0.3有限单元法及其软件发展概述1）起源20世纪40年代，有限元基本思想的出现20世纪60年代，出现新的力学分支学科－“计算力学”20世纪70年代，出现第一个商用软件NASTRAN（美国NASA）2）发展和现状新的单元类型和形式：适应于不同材料和结构新的理论和离散格式：扩展新的应用领域和条件新的方程数值求解方法：大规模和超大规模计算问题（并行算法）稳态问题：独立于时间的平衡问题特征值问题：固有频率和振型（模态分析），临界载荷和屈曲模态（稳定性）瞬态问题：波传播，动力响应非线性问题：材料线性（非线性弹性、塑性、粘弹塑性）；几何非线性（大变形）；边界条件非线性（接触和碰撞）3）计算机软件专用软件：20世纪50～60年代大型通用商业软件：始于20世纪70年代NASTRAN,ASKA,SAP,ANSYS,I-DEAS,MARC,ABAQUSJIFEX，SiPESC，PANDA，LiToSim，。。。国产软件：多重非线性（材料、几何、边界等）耦合分析方法多场（结构、流体、热、电、化学）耦合分析方法跨时间/空间尺度分析方法非确定性（随机/模糊）分析方法分析结果评估和自适应的分析方法5）有限元软件未来发展方向4）有限元方法未来发展方向新型材料本构模型和单元形式模拟复杂工况和极端条件下结构全寿命过程响应数智计算方法CEA软件正在融入机器学习、数据驱动、数字孪生和AI赋能的新功能。结构形式复杂化结构轻量化有限寿命设计材料和几何非线性材料科学、智能制造（3D打印）、AI技术、数据驱动、数字孪生中的应用。耦合和交叉强度、刚度、稳定性0.4数智时代有限单元法新的功能有限单元法功能的演变和扩展强度、刚度、稳定性结构优化设计超材料设计数据驱动/数字孪生复杂系统（交叉）重大装备和基础设施人工智能（机器人）智能材料和结构0.5有限单元法在工程和科学研究中的应用机械工程（汽车、摩托车）土木工程（建筑、地下工程、道路与交通、桥梁）材料加工（钢铁、微电子材料加工）航空航天、军事（穿甲、爆破）能源工程（石油勘探、开采、发电、电力输送）生物医学工程（骨、软组织、心脏瓣膜、血液流动）船舶工程（操纵性、稳定性、结构强度）水利工程（重力坝、拱坝、地下水电站）数据驱动、结构数字孪生、人工智能技术520t连铸机钢水罐回转台结构静动力有限元分析V0=2m/min超高压输电线路覆冰及脱冰动力响应有限元分析多功能人工气候室抗压强度及拉沙柳梧大桥有限元分析有轨电车碳纤维复合材料车体静强度有限元数值模拟异型坯连铸结晶器及铸坯热力耦合有限元数值模拟600MW某大型汽轮发电机端部模态有限元分析某皮卡车碰撞过程有限元数值模拟基于机器学习的输电杆塔结构强度实时预测基础滑坡覆冰导致杆塔破坏杆塔腐蚀基于北斗定位系统的输电杆塔强度实时监测系统FE计算时间：~10min代理模型计算时间：0.03s挂点1挂点2挂点3挂点4挂点5挂点6挂点7挂点8支点1支点2支点3支点4FE仿真预测模（代理模型）基于子结构模型降阶和数据驱动的输电杆塔损伤识别方法子结构模型降阶降阶模型库不同损伤模式…标定载荷结构变形数值计算测点数据构建数据集数据驱动机器学习损伤识别模型传感器数据结构损伤识别损伤位置可视化损伤指标

…传感器数据………………

物理结构和其数字孪生基于模型降阶和损伤回归识别的动态结构数据驱动数字孪生输电杆塔数字孪生随时间的演化D1和D2处的损伤演化D2附近传感器应变时程杆塔应变分布随时间的演化降阶模型自由度:4088430第1章弹性力学和热传导基础1.1引言弹性力学基础应力与平衡应变与位移的关系弹性本构关系弹性力学问题场方程初应变和初应力应变能与应变余能虚位移原理和最小势能原理热传导问题基本方程傅里叶定律热传导方程边界条件和初始条件平面问题场方程轴对称问题场方程坐标系间位移、应变和应力间的转换虚应力原理和最小余能原理1应力与平衡方程1.2弹性力学基础应力列向量平衡方程微分算子矩阵动力学平衡方程加速度速度材料的密度阻尼系数2应变与位移的关系体积应变位移列向量应变列向量几何方程3弹性本构关系各向同性弹性体的本构关系各向异性弹性材料Hooke定律线弹性本构关系矩阵表达式4弹性力学问题场方程平衡方程几何方程本构方程力边界条件位移边界条件弹性体的力和位移边界条件5平面问题场方程平面应力问题:平面应变问题：边界条件6轴对称问题场方程7坐标系间位移、应变和应力的变换坐标系变换位移、应变、应力变换三维坐标系之间的变换二维问题二维坐标系之间的变换8初应变和初应力皱缩、晶体生长或温度的变化都会导致初应变各向同性材料中温度的变化引起的初应变正交各向异性材料的材料主方向的热应变为到整体坐标系的转换线弹性材料本构关系9应变能和应变余能假设一弹性体在受力过程中始终保持平衡，无动能和非机械能的变化。则外力做的功转变为应变能。应变能是应力在应变上做的功。假设弹性体仅在x方向有均匀正应力相应的正应变单位体积内应变能，即应变能密度为应变能密度和应变余能密度定义定义应变余能密度线弹性体的应变能密度和应变余能密度数值相等，但它们的自变量不同，应变能是应变的函数，应变余能是应力的函数。扩展到一般应力状态整个弹性体的应变能和应变余能应力-应变关系非线性时，仍可按此定义应变能密度和应变余能密度，但两者不再相等。利用胡克定律可得应变能密度对应变分量求导，并利用本构关系可得弹性体的应变能密度对任一应变分量的改变率等于相应的应力分量。类似可得应变余能密度对应力分量求导，并利用本构关系可得弹性体的应变余能密度对任一应力分量的改变率等于相应的应变分量。假设一弹性体处于平衡状态，满足位移分量表示的平衡方程、位移和力的边界条件。假设这些位移分量发生了位移边界条件容许的微小位移，即虚位移或位移变分10虚位移原理和最小势能原理变形体中任意满足平衡方程的力系在任意满足协调条件的变形状态上所做的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力虚功相等，此即虚功原理。外力虚功对于线弹性体，虚位移产生的应变能内力虚功根据虚功原理，外力虚功和内力虚功相等虚功方程，虚位移原理定义外力势为外力在实际位移上做的功取负最小势能原理：在给定的外力作用下，真实的位移使系统的势能变分为零，取极限值。虚功方程具有初应力和初应变时弹性体的应变能假设一弹性体处于平衡状态，实际的应力分量σ满足平衡方程和应力边界条件，其相应的位移满足位移边界条件。假设应力分量发生了微小变化，即虚应力或应力变分11虚应力原理和最小余能原理代入平衡方程和应力边界条件真实的应力满足平衡方程和应力边界条件若变形体上作用一从0逐渐增大到F的力，该力作用点的变形产生从0变到a的位移，则该力所做的功为故为外力功的2倍。根据能量平衡原理，应变能等于外力功虚应力原理弹性体的总余能最小余能原理：在所有静力可能的应力中真实的应力使系统总的余能取最小值。1.3热传导问题基本方程1傅里叶（Fourier）定律稳态温度场温度场与时间无关稳态热传导瞬态温度场瞬态热传导温度场随时间变化温度梯度和热流示意图温度梯度Fourier热传导定律（本构方程）热流密度热传导矩阵2热传导方程六面微元体的热传导能量守恒输入微元体的热量内热源所产生的热量能量的变化瞬态热传导方程，连续性方程稳态热传导方程约定物体传出热量为正将Fourier热传导方程代入连续性方程用温度表达的瞬态热传导方程（各向同性材料）用温度表达的稳态热传导方程（各向同性材料）3平面问题热传导场方程用温度表达的热传导场方程热传导场方程稳态稳态瞬态瞬态4轴对称问题热传导场方程用温度表达的热传导场方程热传导场方程稳态稳态瞬态瞬态5