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文档简介

素能培优(十六)求曲线轨迹方程的方法高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系表示为代数方程;(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程;(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求表示已知,即

将(x0,y0)代入已知曲线即得所求曲线方程.一、直接法求轨迹方程例1曲线C上任意一点P到点F(2,0)的距离与它到直线x=4的距离之比等于

,则C的方程为____________________.

二、定义法求轨迹方程例2(2024·河北石家庄模拟)已知圆M与圆C1:(x+5)2+y2=25和圆C2:(x-5)2+y2=9一个内切一个外切,则点M的轨迹方程为____________________.

解析

设圆M的半径为rM,则当圆M与圆C1内切,与圆C2外切时,|MC1|=rM-5,|MC2|=rM+3;当圆M与圆C1外切,与圆C2内切时,|MC1|=rM+5,|MC2|=rM-3.所以||MC2|-|MC1||=8<|C1C2|=10,点M的轨迹为双曲线,规律方法若某动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可以利用学过的圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法.利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x

或y

进行限制.[对点训练2]若点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程是__________.

x2=12y解析

∵点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,∴点P到直线y=-3的距离与它到点(0,3)的距离相等.∴点P的轨迹是以(0,3)为焦点、直线l:y=-3为准线的抛物线,因此,设点P的轨迹方程为x2=2py(p>0),可得

p=3,解得p=6,∴动点P的轨迹方程为x2=12y.三、代入法(相关点法)求轨迹方程例3已知曲线C0:y=3x2+1和点A(-2,0),动点C在曲线C0上.(1)若线段AC的中点为M,求动点M的轨迹方程;(2)若动点P满足

,求动点P的轨迹方程;(3)若B(2,0),求△ABC的重心G的轨迹方程.[对点训练3]已知P是椭圆

上任意一点,过点P作x轴的垂线,

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