3.3 一元二次方程根的判别式 课件 湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册3.3一元二次方程根的判别式复习总结用公式法解决下列方程：(1)x2+x－1=0；(2)4x2

+4x－1=－10－8x；(3)3x2+2(2x+1)=0；因而b2－4ac=12－4×1×(－1)=5>0，所以解：这里a=1，b=1，c=－1.因此，原方程的根为(1)x2+x－1=0；(2)4x2

+4x－1=－10－8x；因而b2－4ac=122－4×4×

9=0，所以这里a=4，b=12，c=9.解：(2)将原方程整理为一般式，得4x2+12x

+9=0因此，原方程的根为(3)3x2+2(2x+1)=0；因而b2－4ac=42－4×3×

2=－8<0，所以该方程无实数根.这里a=3，b=4，c=2.解：(3)将原方程整理为一般式，得3x2+

4x

+

2=0分析解答过程，为什么会出现三种情况？新课探究在运用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，总是要求b2－4ac≥0.为什么？思考将方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到由于a≠0，所以4a2>0，因此我们不难发现：(1)当b2－4ac>0时，由于正数有两个平方根，所以原方程的根为此时，原方程有两个不相等的实数根.(2)当b2－4ac

=0时，由于0的平方根为0，所以原方程的根为此时，原方程有两个相等的实数根.(3)当b2－4ac

<0时，由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根.b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ=b2－4ac

.因此，若要方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，则b2－4ac必须为非负数.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，其根为当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，其根为当Δ<0时，方程没有的实数根.综上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由Δ=b2－4ac

来判断：123例不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x2+4x

－3=0； (2)4x2=12x

－9；(3)7y=5(y2+1).解：(1)因为Δ=b2－4ac

=42－4×3×(－3)

=16+36

=52>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.(1)3x2+4x

－3=0； (2)4x2=12x

－9；(3)7y=5(y2+1).(2)将原方程化为一般形式，得4x2－12x+9=0.所以，原方程有两个相等的实数根.因为Δ=b2－4ac

=(－12)2－4×4×9 =144－144=0，若方程不是一般形式，则要先将其化为一般形式，才能确定a，b，c的值(1)3x2+4x

－3=0； (2)4x2=12x

－9；(3)7y=5(y2+1).(3)将原方程化为一般形式，得5y2－7y+5=0.因为Δ=b2－4ac=(－7)2－4×5×5

=49－100

=－51<0，所以，原方程没有实数根.随堂诊断1.一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是()(A)有两个相等的实数根

(B)有两个不相等的实数根(C)只有一个实数根

(D)没有实数根解：将原方程化为一般形式，得x2－2x－4=0因为Δ=b2－4ac=(－2)2－4×1×(－4)=20>0所以，原方程有两个不相等的实数根.B2.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)5x2+1=4x；(2)3(y2－1

)

－5y=0；解：(1)将原方程化为一般形式，得5x2－4x+1=0.因为Δ=b2－4ac

=(－4)2－4×5×1

=16－20

=－4<0，所以，原方程没有实数根.2.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)5x2+1=4x；(2)3(y2－1

)

－5y=0；解：(2)将原方程化为一般形式，得3y2－5y－3=0.因为Δ=b2－4ac

=(－5)2－4×3×(－3)

=25+

36=61>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.3.若关于x的一元二次方程(k－1)x2+x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是()思路分析：(k－1)x2+x+1=0一元二次方程两个实数根k－1≠0Δ=12－4(k－1)≥0k

≠1

所以D练习1.一元二次方程x2－x+1=0的根的情况为()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)只有一个实数根

(D)没有实数根因为Δ=b2－4ac

=(－1)2－4×1×1

=1－4=－3<0，x2－x+1=0所以，原方程没有实数根.D2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：解：(1)因为Δ=b2－4ac

=32－4×1×(－1)

=9+4

=13>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.(1)x2+3x－1=0；(2)x2－6x+9=0；(3)2y2－3y+4=0；(1)x2+3x－1=0；(2)x2－6x+9=0；(3)2y2－3y+4=0；解：(2)因为Δ=b2－4ac

=(－6)2－4×1×9

=36－36=0，所以，原方程有两个相等的实数根.(1)x2+3x－1=0；(2)x2－6x+9=0；(3)2y2－3y+4=0；解：(3)因为Δ=b2－4ac

=(－3)2－4×2×4

=9－32

=－23<0，所以，原方程没有实数根.(1)x2+3x－1=0；(2)x2－6x+9=0；(3)2y2－3y+4=0；所以，原方程有两个相等的实数根.=20－20=0解：(4)将原方程化为一般形式，得3.

若关于x的一元二次方程(a－2)x2－2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)．解：因为关于

x的一元二次方程(a－2)x2－2ax+a+1=0没有实数解．所以(－2a)2－4(a－2)(a+1)=4a2－4a2+4a+8<0所以

a<－2因为

ax+3

>0又因为

a<－24.已知一元二次方程

x2+px+q+1=0的一根为2．(1)求

q关于

p的关系式；(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．解：(1)因为一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，

所以22+2p+q+1=0，

即

q=－2p－5.(2)证明：令

x2+px+q=0．则Δ=p2－4q=p2－4(－2p－5)=(p+4)2+4＞0，即Δ＞0，所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x