第3章 一元二次方程 小结与评价 课件 湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册小结与评价知识图谱数与代数数与式不等式与不等式组方程与方程组一次方程(组)配方法公式法因式分解法方程与不等式函数一元二次方程概念解法根的判别式根与系数的关系应用如果一个方程只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2，那么这样的方程称为一元二次方程，一般地，关于x的一元二次方程通过整理可以使右边为0，它的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c是已知数，a≠0)，一元二次方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是已知数，a≠0)

，其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.例如，方程3x2－7500=0中二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是－7500.确定一元二次方程的各项和各项系数时不要漏掉各项前面的符号.1.若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____________.针对练习解：因为原方程为一元二次方程所以m+2≠0且|m|=2解得m=2.22.已知方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_________.解：因为原方程为一元二次方程所以a－4≠0且|a|－2=2解得a=－4.－43.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)6x2－7x2=3x+5；(2)(2y－1)(2y+5)=6y+4.解：(1)原方程化为一般式x2+3x+5=0.所以该方程的二次项系数是1、一次项系数是3、常数项是5.【P128复习题3第1题】解：(2)原方程可化为4y2+2y－9=0所以该方程的二次项系数是4、一次项系数是2、常数项是－9.3.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)6x2－7x2=3x+5；(2)(2y－1)(2y+5)=6y+4.4.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)3x2=20－x；(2)2x2+2=4x；(3)t2=2t

+5；解：(1)将原方程移项、合并同类项，得3x2+x－20=0这是一元二次方程，二次项系数是3，一次项系数是1，常数项是－20.(4)(3y－1)(3y

+1)=9y2+2y.(2)将原方程移项、合并同类项，得2x2－4x+2=0这是一元二次方程，二次项系数是2，一次项系数是－4，常数项是2.(1)3x2=20－x；(2)2x2+2=4x；(3)t2=2t

+5；(4)(3y－1)(3y

+1)=9y2+2y.(3)将原方程移项、合并同类项，得t2－2t+5=0这是一元二次方程，二次项系数是1，一次项系数是－2，常数项是5.(1)3x2=20－x；(2)2x2+2=4x；(3)t2=2t

+5；(4)(3y－1)(3y

+1)=9y2+2y.(4)将原方程去括号，得9y2－1=9y2+2y这不是一元二次方程.移项、合并同类项，得2y+1=0(1)3x2=20－x；(2)2x2+2=4x；(3)t2=2t

+5；(4)(3y－1)(3y

+1)=9y2+2y.方法理论依据适用方程关键步骤主要特点直接开平方法配方法只适用于一些特殊的方程，对缺少一次项的一元二次方程求解迅速平方根的定义开平方x2=n(n≥0)或(ax+m)2=n(a≠0，n≥0)型方程配方所有的一元二次方程配方当二次项系数为一一次项系数为偶数时，可优先用此法选择合适的方法解一元二次方程选择合适的方法解一元二次方程方法理论依据适用方程关键步骤主要特点公式法因式分解法计算量大，易出现符号错误求根公式确定a，b，c的值，代入求根公式若ab=0，则a=0或b=0所有的一元二次方程因式分解适用范围较小，对缺少一次项ax2+c=0或缺少常数项ax²+bx=0的一元二次方程求解迅速能化为一边为0，另一边为两个一次式的乘积的方程1.解下列方程：(1)49x2－144=0；

(2)(1－x)2=1；(3)x(x+1)+2(x－1)=0；

(4)(x－3)2+2x(x－3)=0；(5)3(x－2)2=x(x－2). 针对练习【P128复习题3第2题】解：原方程经过移项，左右两边同除以49，得根据平方根的意义，得因此，原方程的根为(1)49x2－144=0；

解：根据平方根的意义，得因此，原方程的根为(2)(1－x)2=11－x=1或1－x=－1x1

=0或x2

=2这里a=1，b=3，c=－2，(3)x(x+1)+2(x－1)=0；

解：原方程化为一般式为x2+3x－2=0因而，b2－4ac=32－4×1×(－2)=17>0因此，原方程的根为(4)(x－3)2+2x(x－3)=0；解：把方程左边的多项式因式分解，得(x－3)

(x－3+2x)=0即(x－3)

(3x－3)=0由此得x－3=0或

3x－3=0解得x1=3，

x2=1.(5)3(x－2)2=x(x－2).把方程左边的多项式因式分解，得(x－2)

[3(x－2)

－x]=0即(x－2)

(2x－6)=0由此得x－2=0或

2x－6=0解得x1=2，

x2=3.解：移项，得3(x－2)2－x(x－2)=0.2.用合适的方法解下列方程：(1)3x2－64=0；

(2)x2－3x+1=0；(3)x2+2x－399=0；

(4)(x+1)2=2x+2. 解：(1)原方程经过移项，左右两边同除以3，得根据平方根的意义，得因此，原方程的根为(2)x2－3x+1=0；解：这里a=1，b=－3，c=1，因而，b2－4ac=(－3)

2－4×1×1=5>0因此，原方程的根为(3)x2+2x－399=0；解：配方，得即(x+1)2=400x+1=20或

x+1=－20解得x1=19，

x2=－20.x2+2x－399+1－1=0；根据平方根的意义，得(4)(x+1)2=2x+2. 把方程左边的多项式因式分解，得即(x+1)

(x－1)=0由此得x+1=0或

x－1=0解得x1=－1，

x2=1.解：移项，得(x+1)2－2(x+1)=0.(x+1)

[(x+1)

－1]=0当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，其根为当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，其根为当Δ<0时，方程没有的实数根.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的根的情况可由Δ=b2－4ac

来判断：1231.不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.(1)4x2+6x＋9=0；

(2)y2=y+5.解：(1)因为Δ=b2－4ac=62－4×4×9

=36－144=－108<0，所以，原方程没有实数根.针对练习【P128复习题3第3题】解：(2)将原方程化为一般形式，得y2－y－5=0因为Δ=b2－4ac=(－1)2－4×1×(－5)=1+20=21>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.1.不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.(1)4x2+6x＋9=0；

(2)y2=y+5.当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.这个关系通常称为韦达定理.1.设x1，x2，是方程2x2－6x＋3=0的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)x1+x2；

(2)x1x2；

(3)x12+x22.解：针对练习【P128复习题3第4题】2.求方程x2－5x

+2=0与方程x2+2x+6=0的所有实数根的和.解：对于方程x2－5x+2=0，两根之和对于方程x2+2x+6=0，两根之和【P128复习题3第5题】3.关于x的一元二次方程x2+2x

+2m

=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)若x1、x2是一元二次方程x2+2x

+2m

=0的两个根，且x12+x22=8，求m

的值；3.关于x的一元二次方程x2+2x

+2m

=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；解：因为一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根.所以Δ=b2－4ac=22－4×2m>0.(2)若x1、x2是一元二次方程x2+2x

+2m

=0的两个根，且x12+x22=8，求m

的值；解：根据根与系数的关系，得x1+x2=－2，x1x2=2m.x12

+x22=

(x1+x2)2

－2x1x2=(－2)2－2×2m=8.所以m=－1.一元二次方程解决实际问题的步骤.实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根实际问题的解分析数量关系设未知数是否符合实际1.机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因之一，为解决这个问题，某市打算将现有的燃油公交车换成电动公交车.按照计划，该市今后两年内将使全市的电动公交车由目前的3250辆增加到6370辆，求电动公交车平均每年增加的百分率.针对练习【P128复习题3第7题】解：设