北京市北师大版高中数学第12单元综合测试卷

2026年北京市北师大版高中数学第12单元综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ax在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≤0C．a≤－1D．a≥1解析：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，需满足f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立。由f′(x)＝1/(x＋1)－a，得1/(x＋1)－a≥0，即a≤1/(x＋1)。因为x∈(0，＋∞)，所以1/(x＋1)∈(0，1)，因此a≤0。故选B。2.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1＝1，a_n＋1＝2a_n＋1(n∈N)，则数列{a_n}的通项公式为（）A．a_n＝2n－1B．a_n＝2^n－1C．a_n＝n(n－1)D．a_n＝2n－2解析：由a_n＋1＝2a_n＋1，得a_n＋1－1＝2(a_n－1)，即b_n＝2b_(n－1)，其中b_n＝a_n－1。因为a_1＝1，所以b_1＝0，因此{b_n}是首项为0，公比为2的等比数列，即b_n＝0。从而a_n＝b_n＋1＝1。故选A。3.已知圆C的方程为(x－1)^2＋(y＋2)^2＝4，则直线l：3x－4y＋5＝0与圆C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．直线过圆心解析：圆心C(1，－2)，半径r＝2。圆心C到直线l的距离d＝|3×1－4×(－2)＋5|/√(3^2＋(－4)^2)＝|3＋8＋5|/5＝16/5＞2，因此直线l与圆C相离。故选A。4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2b＝√3a＋√3c，则角B的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由2b＝√3a＋√3c，得2sinB＝√3(sinA＋sinC)。由三角形内角和定理，得sinA＋sinC＝sin(A＋C)＝sinB。因此2sinB＝√3sinB，即sinB＝0或sinB＝√3/2。因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，故sinB＝√3/2，B＝π/3。故选B。5.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和。当x∈[－2，1]时，f(x)取最小值，且最小值为1－(－2)＝3。故选C。6.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5＝10，S_10＝30，则a_7的值为（）A．2B．3C．4D．5解析：由S_5＝10，S_10＝30，得S_10－S_5＝a_6＋a_7＋a_8＋a_9＋a_10＝20。因为{a_n}是等差数列，所以a_6＋a_10＝a_7＋a_9＝2a_7＋2a_8。又a_8＝S_10－S_7＝30－(S_5＋a_6＋a_7)＝30－(10＋a_6＋a_7)，所以a_6＋a_7＋a_8＝10，即a_6＋2a_7＝10。由a_6＋a_10＝20，得a_7＝2。故选A。7.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2，则f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值分别为（）A．2，－2B．3，－2C．3，－1D．4，－2解析：f′(x)＝3x^2－6x＝3x(x－2)。令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2。f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(2)＝－2，f(3)＝2。因此最大值为3，最小值为－2。故选B。8.已知圆C的方程为x^2＋y^2－2x＋4y－4＝0，则圆C的圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离为（）A．1B．2C．3D．4解析：圆C的方程可化为(x－1)^2＋(y＋2)^2＝9，圆心为(1，－2)，半径为3。圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝|3×1－4×(－2)＋5|/√(3^2＋(－4)^2)＝|3＋8＋5|/5＝16/5＝3.2≈3。故选C。9.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝(n＋1)/n•a_n(n∈N)，则a_5的值为（）A．5B．6C．10D．15解析：a_2＝2/1•a_1＝2，a_3＝3/2•a_2＝3，a_4＝4/3•a_3＝4，a_5＝5/4•a_4＝5。故选A。10.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在区间[0，π/2]上单调递减，则φ的取值范围是（）A．2kπ－π/2≤φ≤2kπB．2kπ≤φ≤2kπ＋π/2C．2kπ－3π/2≤φ≤2kπ－π/2D．2kπ－π≤φ≤2kπ解析：函数f(x)在区间[0，π/2]上单调递减，需满足2x＋φ∈[2kπ＋π/2，2kπ＋3π/2]，即φ∈[2kπ－π/2，2kπ＋π/2]。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x^2－2ax＋3在x＝1处取得最小值，则a＝________。参考答案：1解析：f(x)＝(x－a)^2＋3－a^2，最小值在x＝a处取得。由x＝1处取得最小值，得a＝1。2.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_3＝7，S_6＝63，则公比q＝________。参考答案：3解析：S_6－S_3＝a_4＋a_5＋a_6＝q^3(a_1＋a_2＋a_3)＝q^3•7＝56，得q＝3。3.已知圆C的方程为(x－2)^2＋(y－3)^2＝1，则圆C的圆心到直线x＋y－5＝0的距离为________。参考答案：√2解析：圆心(2，3)到直线x＋y－5＝0的距离d＝|2＋3－5|/√(1^2＋1^2)＝√2。4.已知函数f(x)＝e^x－lnx，则f(x)在区间(0，＋∞)上的单调递增区间为________。参考答案：(1，＋∞)解析：f′(x)＝e^x－1/x，令f′(x)＝0，得x＝1。当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0。因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增。5.已知数列{a_n}满足a_1＝2，a_n＋1＝a_n＋2n(n∈N)，则a_10的值为________。参考答案：220解析：a_n＋1－a_n＝2n，即a_n＝a_1＋(a_2－a_1)＋(a_3－a_2)＋…＋(a_n－a_(n－1))＝2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)。因此a_10＝10×11＝110。6.已知函数f(x)＝sin^2x－cos^2x，则f(x)的最小正周期为________。参考答案：π解析：f(x)＝sin^2x－cos^2x＝－cos(2x)，周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π。7.已知圆C的方程为x^2＋y^2－4x＋6y－3＝0，则圆C的半径为________。参考答案：√10解析：圆C的方程可化为(x－2)^2＋(y＋3)^2＝10，半径为√10。8.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x，则f(x)在区间[－1，3]上的最大值为________。参考答案：3解析：f′(x)＝3x^2－6x＋2，令f′(x)＝0，得x＝1±√3/3。f(－1)＝－1，f(1－√3/3)＝(2√3－3)/9，f(1＋√3/3)＝(－2√3－3)/9，f(3)＝3。因此最大值为3。9.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝(n＋1)/n•a_n(n∈N)，则a_5的值为________。参考答案：5解析：a_2＝2/1•a_1＝2，a_3＝3/2•a_2＝3，a_4＝4/3•a_3＝4，a_5＝5/4•a_4＝5。10.已知函数f(x)＝tan(x＋φ)在区间(－π/2，π/2)上单调递增，则φ的取值范围是________。参考答案：kπ－π/2＜φ＜kπ，k∈Z解析：函数f(x)在区间(－π/2，π/2)上单调递增，需满足x＋φ∈(kπ－π/2，kπ＋π/2)，即φ∈(kπ－π/2，kπ＋π/2)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x^3－3x^2＋2在x＝2处取得极值，则该极值为极大值。参考答案：正确解析：f′(x)＝3x^2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2。f′(x)在x＝2两侧由正变负，因此x＝2处取得极大值。2.已知圆C的方程为(x－1)^2＋(y－2)^2＝4，则直线l：x－y－1＝0与圆C相切。参考答案：正确解析：圆心C(1，2)到直线l的距离d＝|1－2－1|/√(1^2＋(－1)^2)＝√2＝半径r，因此直线l与圆C相切。3.若数列{a_n}是等差数列，且a_1＝2，a_5＝8，则该数列的公差为3。参考答案：正确解析：公差d＝(a_5－a_1)/(5－1)＝6/4＝3。4.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在区间[0，π/2]上单调递增，则φ＝π/2。参考答案：错误解析：φ＝π/2时，f(x)＝sin(2x＋π/2)＝cos(2x)，在[0，π/2]上单调递减。5.已知圆C的方程为x^2＋y^2－2x＋4y－4＝0，则圆C过原点。参考答案：正确解析：将(0，0)代入圆的方程，得0－0－4＝0，不成立，因此圆C不过原点。6.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝n^2＋n，则{a_n}是等差数列。参考答案：正确解析：a_n＝S_n－S_(n－1)＝(n^2＋n)－[(n－1)^2＋(n－1)]＝2n，因此{a_n}是等差数列。7.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2在x＝1处取得极值，则该极值为极小值。参考答案：错误解析：f′(x)＝3x^2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2。f′(x)在x＝1两侧由正变负，因此x＝1处取得极大值。8.已知圆C的方程为(x－2)^2＋(y－3)^2＝1，则圆C的圆心到直线x＋y－5＝0的距离为1。参考答案：错误解析：圆心(2，3)到直线x＋y－5＝0的距离d＝|2＋3－5|/√(1^2＋1^2)＝√2≠1。9.若数列{a_n}是等比数列，且a_1＝2，a_3＝8，则该数列的公比q＝2。参考答案：正确解析：q＝(a_3－a_1)/(3－1)＝6/2＝3。10.已知函数f(x)＝tan(x＋φ)在区间(－π/2，π/2)上单调递增，则φ＝0。参考答案：错误解析：φ＝0时，f(x)＝tanx，在(－π/2，π/2)上单调递增，但φ＝kπ－π/2(k∈Z)时也成立。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为3，最小值为－2解析：f′(x)＝3x^2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2。f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(2)＝－2，f(3)＝3。因此最大值为3，最小值为－2。2.已知圆C的方程为(x－1)^2＋(y－2)^2＝4，求圆C的圆心坐标和半径。参考答案：圆心(1，2)，半径2解析：圆C的方程可化为(x－1)^2＋(y－2)^2＝4，因此圆心为(1，2)，半径为2。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝n^2＋n，求a_n的通项公式。参考答案：a_n＝2n解析：a_n＝S_n－S_(n－1)＝(n^2＋n)－[(n－1)^2＋(n－1)]＝2n。4.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在区间[0，π/2]上单调递减，求φ的取值范围。参考答案：φ∈[π/2，3π/2)解析：f(x)在[0，π/2]上单调递减，需满足2x＋φ∈[π/2，3π/2)，即φ∈[π/2，3π/2)。5.已知圆C的方程为x^2＋y^2－4x＋6y－3＝0，求圆C的圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离。参考答案：√13/5解析：圆心(2，－3)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝|3×2－4×(－3)＋5|/√(3^2＋(－4)^2)＝|6＋12＋5|/5＝23/5≈√13/5。6.已知函数f(x)＝e^x－lnx，求f(x)在区间(0，＋∞)上的单调递增区间。参考答案：(1，＋∞)解析：f′(x)＝e^x－1/x，令f′(x)＝0，得x＝1。当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0。因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增。7.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝a_n＋n(n∈N)，求a_10的值。参考答案：110解析：a_n＝a_1＋(a_2－a_1)＋(a_3－a_2)＋…＋(a_n－a_(n－1))＝1＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＝1＋n(n－1)/2＝n(n－1)/2＋1。因此a_10＝10×9/2＋1＝45＋1＝46。8.已知函数f(x)＝tan(x＋φ)在区间(－π/2，π/2)上单调递增，求φ的取值范围。参考答案：φ＝kπ，k∈Z解析：f(x)在(－π/2，π/2)上单调递增，需满足x＋φ∈(kπ－π/2，kπ＋π/2)，即φ＝kπ。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知圆C的方程为(x－1)^2＋(y－2)^2＝4，求圆C的圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离。参考答案：√13/5解析：圆心(1，2)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝|3×1－4×2＋5|/√(3^2＋(－4)^2)＝|3－8＋5|/5＝√13/5。2.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为3，最小值为－2解析：f′(x)＝3x^2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2。f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(2)＝－2，f(3)＝3。因此最大值为3，最小值为－2。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝n^2＋n，求a_n的通项公式。参考答案：a_n＝2n解析：a_n＝S_n－S_(n－1)＝(n^2＋n)－[(n－1)^2＋(n－1)]＝2n。4.已知圆C的方程为x^2＋y^2－4x＋6y－3＝0，求圆C的圆心坐标和半径。参考答案：圆心(2，－3)，半径√10解析：圆C的方程可化为(x－2)^2＋(y＋3)^2＝10，因此圆心为(2，－3)，半径为√10。5.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在区间[0，π/2]上单调递减，求φ的取值范围。参考答案：φ∈[π/2，3π/2)解析：f(x)在[0，π/2]上单调递减，需满足2x＋φ∈[π/2，3π/2)，即φ∈[π/2，3π/2)。6.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝a_n＋n(n∈N)，求a_10的值。参考答案：110解析：a_n＝a_1＋(a_2－a_1)＋(a_3－a_2)＋…＋(a_n－a_(n－1))＝1＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＝1＋n(n－1)/2＝n(n－1)/2＋1。因此a_10＝10×9/2＋1＝45＋1＝46。7.已知函数f(x)＝e^x－lnx，求f(x)在区间(0，＋∞)上的单调递增区间。参考答案：(1，＋∞)解析：f′(x)＝e^x－1/x，令f′(x)＝0，得x＝1。当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0。因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增。8.已知函数f(x)＝tan(x＋φ)在区间(－π/2，π/2)上单调递增，求φ的取值范围。参考答案：φ＝kπ，k∈Z解析：f(x)在(－π/2，π/2)上单调递增，需满足x＋φ∈(kπ－π/2，kπ＋π/2)，即φ＝kπ。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.B4.B5.C6.A7.B8.C9.A10.B二、填空题1.12.33.√24.(1，＋∞)5.2206.π7.√108.39.510.kπ－π/2＜φ＜kπ，k∈Z三、判断题1.正确2.正确3.正确4.错误5.正确6.正确7.错误8.错误9.正确10.错误四、简答题1.最大值为3，最小值为－2。解析：f′(x)＝3x^2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2。f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(2)＝－2，f(3)＝3。因此最大值为3，最小值为－2。2.圆心(1，2)，半径2。解析：圆C的方程可化为(x－1)^2＋(y－2)^2＝4，因此圆心为(1，2)，半径为2。3.a_n＝2n。解析：a_n＝S_n－S_(n－1)＝(n^2＋n)－[(n－1)^2＋(n－1)]＝2n。4.φ∈[π/2，3π/2)。解析：f(x)在[0，π/2]上单调递减，需满足2x＋φ∈[π/2，3π/2)，即φ∈[π/2，3π/2)。5.√13/5。解析：圆心(2，－3)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝|3×2－4×(－3)＋5|/√(3^2＋(－4)^2)＝√13/5。6.(1，＋∞)。解析：f′(x)＝e^x－1/x，令f′(x)＝0，得x＝1。当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0。因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增。7.110。解析：a_n＝a_1＋(a_2－a