5.2.4 二次函数y=a^2+k与y=ax^2+bx+c的图象和性质 课件2027学年北师大九年级数学上册

二次函数y

=a(x－h)2+k

与y

=ax2+bx+c

的图象和性质5北师版九年级上册复习导入y=2x2y=2x2y=2(x＋3)2向上平移

1个单位向下平移

1个单位向左平移

3个单位向右平移

3个单位左加右减，上加下减。y=2x2y=2(x＋3)2y=2x2上下平移左右平移与二次函数

的图象有什么关系？探究新知二次函数

y=a（x－h）2+k

的图象有什么特征？y=ax2思考：y=a（x－h）2+k（a，h，k是常数，a≠0）h=_____a=_____k=_____213思考·交流（1）二次函数y=2（x－1）2

+3的图象是什么样的？你能由二次函数y=2x2的图象得到它吗？你是怎么得到的？y=2x2y=2(x－1)2y=2x2y=2x2y=2(x－1)2y=2x2向右平移1

个单位向上平移3个单位向上平移3

个单位向右平移1个单位（2）如何由二次函数y=2x2的图象得到二次函数y=2（x

+1）2－3呢？y=2x2y=2x2向左平移1

个单位向下平移3个单位向下平移3个单位向左平移1个单位y=2(x

+1)2y=2(x

+1)2y=2x2－3y=2x2－3（3）一般地，二次函数y=a（x－h）2

+k

的图象与二次函数y=ax2的图象有什么关系？与同伴进行交流。y=2x2开口方向对称轴顶点坐标y=2x2y=2(x－1)2+3y=2(x+1)

2－3向上向上y轴x=1（0，0）（1，3）y=2x2向上x=－1(－1,－3)①开口方向和大小相同；②对称轴不同；③顶点坐标不同。y=ax2y=a(x-h)2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度y=a(x-h)2+k向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度y=ax2+k向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减。二次项系数a不变。

y=a(x-h)2+ka＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性向上向下直线x=h（h,k）当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k当x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大当x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大y=2x2平面直角坐标系中任意一个抛物线，根据它的顶点坐标，都能写成y=a（x－h）2+k

的形式。顶点式思考：对于普通的二次函数y=ax2+bx+c

的图象是什么样的？一般式尝试·思考我们已经认识了形如y=a（x－h）2+k

的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数

y=2x2－8x+7的图象和性质吗？请你试一试。思考：怎样将y=2x2－8x+7化成y=a（x－h）2+k的形式？化成y=a(x－h)2+k的形式！y=2x2－8x+7想一想：配方的方法及步骤是什么？（1）“提”：提出二次项系数；（2）“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式。=2（x2－4x）+7=2（x2－2×2x+22）+7－2×22=2（x－2）2－1=2（x－2）2－1y=2x2向右平移2个单位向下平移1个单位y=2x2－8x+7当

x<2时：当

x>2时：y随着x的增大而______；

减小y随着x的增大而______；

增大当

x=2时：y的值______，____________。

最小y最小

=－1y=2x2－8x+7对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，－1）。操作·交流确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并与同伴进行交流。（1）y=3x2－6x+7；（2）y=2x2－12x+8。=3(x2－2x)+7=3(x2－2x+1)－3+7=3(x－1)2

+4对称轴是x=1，顶点坐标为(1，4)。=2(x2－6x)+8=2(x2－6x+9)－18+8=2(x－3)2－10对称轴是x=3，顶点坐标为(3，－10)。例

确定二次函数y=ax2+bx+c

图象的对称轴和顶点坐标。解：把二次函数y=ax2+bx+c

的右边配方，得y=ax2+bx+c当a>0当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大；当x=时，函数达到最小值，最小值为。点击打开几何画板当a<0当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小；当x=时，函数达到最大值，最大值为。点击打开几何画板回顾·反思本节我们对二次函数图象和性质的研究经历了怎样的过程？你积累了哪些经验？达标检测1.若抛物线的顶点为(3，5)，则此抛物线的解析式可设为(

)A.y=a(x+3)2+5 B.y=a(x－3)2+5C.y=a(x－3)2－5 D.y=a(x+3)2－5B2.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标。（1）y=5(x+2)2+1；

（2）y=－7(x－2)2－1；（3）y=(x－4)2+3；

（4）y=－(x+2)2－3。开口向上对称轴为

x=－2顶点坐标为（－2，1）开口向下对称轴为

x=2顶点坐标为（2，－1）开口向上对称轴为

x=4顶点坐标为（4，3）开口向下对称轴为

x=－2顶点坐标为（－2，－3）3.对于二次函数y=3(x+2)2，（1）它的图象与二次函数y=－3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？解：二次函数y=－3(x+2)2的图象可以看成是由二次函数y=－3x2的图象向左平移2个单位长度得到的，它们的形状相同，开口都向下，只是位置不同。二次函数y=－3(x+2)2的图象是轴对称图形，抛物线开口向下，对称轴是直线x=－2，顶点坐标是(－2，0)。3.对于二次函数y=3(x+2)2，（2）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？解：当x<－2时，y的值随x值的增大而增大；

当x>－2时，y的值随x值的增大而减小。由二次函数的顶点式y=a（x－h）2

+k推断它的图象和性质：（1）由

a的正负性判断抛物线的__________；（2）由

h的值确定抛物线的对称轴__________和顶点的横坐标____；（3）由

k的值确定顶点的纵坐标和函数的最值，从而得到抛物线的顶点坐标__________；（4）由

a的正负性和

k的值共同确定函数的最值_____；（5）由

a的正负性和h的值共同判断函数的增减性。开口方向直线x=h（h，k）

hk4.二次函数

y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：二次函数

y=ax2+bx+c图象的对称轴为

x=

，x=2对应的函数值

y=

。1－8（1）y=2x2－12x+3；

=2(x2-6x)+3

=2(x2-6x+9)-18+3

=2(x-3)2-15对称轴为

x=3，顶点为（3，－15）。

=－5(x2－16x)－319

=－5(x2－16x+64)+320－319

=－5(x－8)2+1对称轴为

x=8，顶点为（8，1）。（2）y=－5x2+80x－319；5.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：【选自教材P138随堂练习】（3）y=；=2x2－5x+2对称轴为

x=，顶点为

。

=－6x2+9x+6对称轴为

x=，顶点为

。5.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：（4）y=3(2x+1)(2－x)。【选自教材P138随堂练习】课堂小结二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质图象1.开口方向由a的符号决定；2.顶点坐标是