26年浙江省宁波市镇海中学高一下册期末考试数学试卷【附答案】

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（）A. B. C. D.2.一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（）A.3 B.4 C.5 D.63.已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据，，…，的平均数和方差分别为（）A.1，4 B.2，1 C.1，1 D.2，44.从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（）A. B.25 C. D.5.已知向量，，若，则（）A.1 B.-1 C.2 D.-26.已知某5个数的平均数为2，方差为3，现加入数据2，则这6个数的方差为（）A.3 B. C.2 D.7.在空间直角坐标系中，，B0,2,2，点满足PA⋅PB=1，则点到轴距离的最大值为（）A. B.4 C. D.8.已知三棱锥中，二面角为，棱与平面和平面所成的角均为，与所成的角为，则（）A. B.32 C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球个，其余均为黑色小球．现从中任意抽取5个小球，若事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则可以为（）A.2 B.3 C.4 D.510.甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为13，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（）A.至少有一枪命中目标的概率为B.恰好有一枪命中目标的概率为C.若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪D.若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪11.已知三棱锥P−ABC的底面是一个边长为的正三角形，且三棱锥的外接球球心为的中点，则下列结论正确的是（）A.、BO与平面所成的角相等B.二面角B−APC.若二面角O−BC−P的正切值为，则三棱锥D.若∠PBC=45∘三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______．13.已知在直三棱柱中，，，，点为棱靠近点的三等分点，点为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________．14.已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________．四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平行六面体中，为中点，，，设，，，以为空间的一个基底．（1）用基底表示向量，并求出线段的长度；（2）直线与平面交于点求的值16.台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：60,70，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示．（1）求图中的值；（2）估计这批蜜桔的平均质量；（3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？17.在长方体中，底面边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱AA1和棱上，且，．（1）求证：．（2）平面与平面夹角的余弦值．（3）直线与平面夹角的正弦值．18.如图，四棱锥的底面是平行四边形且AB=2AD=4，AD⊥BD，为等边三角形，PC=26（1）证明：OP⊥平面；（2）设为侧棱PC上一点，四边形是过，两点的截面，分别交PD，于，两点，平面．（i）证明：；（ii）设，是否存在，使得点到面的距离为．19.学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进．每位同学给每道菜打分，喜欢记为1，不喜欢记为．每位同学对道菜品的喜好可以表示为一个维向量，其中每个分量（，，，）．我们称为该生的维喜好向量．已知，为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：．若，则称他们“口味互补”．（1）试构造出一组4名学生对4道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补．（2）证明：不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补．（3）设有8名学生，对本学期96道菜的喜好向量两两口味互补．已知96道菜中有道菜，这8名同学都喜欢，求证：．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：在空间直角坐标系中关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数.解答过程：在空间直角坐标系，关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，所以P关于平面对称点是，故选:C2.一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：解答过程：这组数据按从小到大排序为3，5，6，7，7，9，由可知第30百分位数是第2个数据，即为.3.已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据，，…，的平均数和方差分别为（）A.1，4 B.2，1 C.1，1 D.2，4答案：A解析：思路：利用线性变换y=ax+b下平均数满足解答过程：设原数据的平均数为，方差为，由题意得，.设新数据的平均数为，则设新数据的方差为，则新数据的平均数为1，方差为.4.从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（）A.12 B.25 C. D.答案：B解析：解答过程：从1~10共10个整数中随机选数，总共有10种等可能结果.A∩在1~10中，能被2整除的数为，排除能被3整除的6，剩余符合条件的数共4个，即.则P(5.已知向量，，若，则（）A.1 B.-1 C.2 D.-2答案：C解析：思路：利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解.解答过程：由可得：，展开得：①，已知，则，，，代入①可得：，解得：.6.已知某5个数的平均数为2，方差为3，现加入数据2，则这6个数的方差为（）A.3 B. C.2 D.答案：B解析：解答过程：由题意，原5个数的平均数，原方差.根据方差公式，则，加入新数据后，新总和为，新平均数，因此加入数据2后，6个数的方差为.7.在空间直角坐标系中，，B0,2,2，点P满足PA⋅PB=1，则点P到A. B.4 C. D.答案：D解析：思路：先分析点P的轨迹，再求P到轴距离的最大值.解答过程：设，则PA=2−x,−由PA⋅PB=1整理得：x−1所以P点轨迹是以1,1,1为球心，以为半径的球面.因为点1,1,1到轴的距离为，所以点P到轴距离的最大值为.8.已知三棱锥中，二面角为，棱与平面和平面所成的角均为，与所成的角为，则（）A.12 B. C. D.答案：B解析：思路：作垂线构造直角三角形，利用线面角相等求边长，由异面直线角得EF，向量分解平方后解方程得.解答过程：过作平面于，过作于，连接，由三垂线定理得，故二面角平面角.因为与平面、平面所成角均为，设AD=2，则到平面的距离.在中，​，同理可得面内垂直于的线段.由于方向与EF方向平行，与所成角为，故​，得.已知，其中与夹角为，对两边取模平方得，即，即，可得.因此，得​，由于为锐角，故​​.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球个，其余均为黑色小球．现从中任意抽取5个小球，若事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则可以为（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：AB解析：解答过程：由事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，则，又由事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，则，又由事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则，所以可以为2或3.10.甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，12，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（）A.至少有一枪命中目标的概率为B.恰好有一枪命中目标的概率为C.若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪D.若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪答案：AD解析：思路：由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式、互斥事件和事件概率公式可判断AB，分别计算甲、乙、丙在第2枪时，连续命中两枪的概率，即可判断CD.解答过程：对于A：三枪全不中的概率，故至少有一枪命中目标的概率为，A正确；对于B：恰好有一枪命中目标的概率，B错误；对于C、D：设枪连续命中的概率为，2,3枪连续命中的概率为，三枪都中的概率为，则由题意至少连续两枪命中的概率，若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪，若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪，即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为，同理：若乙在第2枪，连续命中两枪的概率为，若丙在第2枪：连续命中两枪的概率为，因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确.11.已知三棱锥的底面是一个边长为1的正三角形，且三棱锥的外接球球心为的中点，则下列结论正确的是（）A.、与平面所成的角相等B.二面角B−APC.若二面角O−BC−P的正切值为，则三棱锥D.若∠PBC=45∘答案：ACD解析：思路：设等边的中心为点，连接、，利用线面角的定义可判断A选项；利用二面角的定义结合余弦定理可判断B选项；利用二面角的定义结合两角和的正切公式可求出三棱锥的高，可判断C选项；求出、的长，结合勾股定理可求出的长，再利用球体表面积公式可判断D选项.解答过程：设等边的中心为点，连接、，A，因为为等边的中心，则AE=BE，因为三棱锥的外接球球心为线段的中点，所以OE⊥平面，所以直线与平面所成的角为∠OAE，直线与平面所成的角为∠OBE，因为sin∠OAE=OEOA=OE所以、与平面所成的角相等，A对；B，连接，过点B在平面ABP内作BF⊥AP，垂足为点F，连接CF因为OB=OC，OA=OA，，所以△因为，AF=AF，∠BAF=∠所以∠AFC=∠AFB=90设∠BAF=∠CAF显然B、C、F三点不共线，则BF+CF>BC，即易知为球的一条直径，则∠ACP=90因为CF⊥AP，则CF<AC，则由余弦定理可得cos∠由图可知0∘<∠BFC故二面角B−AP−C，取的中点，连接、PG、EG，则A、、三点共线，因为∠PAB=∠PAC，，，所以△所以，因为为的中点，所以PG⊥BC，因为OB=OC，为的中点，所以OG⊥所以二面角O−BC−P的平面角为设点P在平面内的射影点为，连接，则为外接圆的一条直径，因为OE⊥平面，PQ⊥平面，所以OE//因为为的中点，所以PQ=2OE，因为是边长为1的等边三角形，所以AG=AB因为为的中心，所以EG=13EQ=AEtan∠OGE=tan=−tan整理可得24OE2−36故三棱锥的高为PQ=2OED，因为，若∠PBC=45∘，则∠所以PC=又因为∠ABP=90∘，故球的表面积为4π×三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______．答案：解析：思路：根据斜率的定义和斜率垂直的知识计算即可.解答过程：因为直线与经过，两点的直线垂直，直线AB的斜率为.所以直线的斜率为.13.已知在直三棱柱中，∠BAC=90°，，，点为棱AB靠近点B的三等分点，点F为的中点，则直线与CF所成角的余弦值为_________．答案：##解析：思路：根据异面直线所成角的概念构造异面直线所成的角，再利用余弦定理求角的余弦.解答过程：如图：取AC中点M，连接，则，所以即为异面直线与CF所成的角.在中，，，.所以.14.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________．答案：2解析：思路：AC与交于点，连接，先证明BD⊥平面，得BD⊥OP，∠OAB=θ，将OA,OB,OP分别用的三角函数表示，接着表示出的面积，进而求出四棱锥解答过程：设菱形ABCD的对角线AC与交于点，连接，因为ABCD是菱形，所以，因，PC∩AC=C则BD⊥平面，因OP⊂平面，则BD⊥设∠OAB=θ，依题意，θ∈(0,πOB=ABsinθ=2在中，因OA=OP=2cossin∠则的面积为S△PAC于是四棱锥体积为V=2=8因θ∈(0,π2)，则故当cos2θ=四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平行六面体中，M为中点，，，设，，，以为空间的一个基底．（1）用基底表示向量，并求出线段的长度；（2）直线与平面交于点P求的值答案：（1），（2）25思路：（1）利用向量加法的三角形法则，将分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量积定义可计算长度.（2）设，利用点P在平面上，根据共面向量定理，利用且的条件，建立方程组求解.（1）由题意，，因为M为的中点，所以.所以.因为，且－，所以，所以，即线段的长度为.（2）设，因为点P在平面上，所以关于基底的系数之和为1，即，解得.所以.16.台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：60,70，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示．（1）求图中的值；（2）估计这批蜜桔的平均质量；（3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？答案：（1）（2）（3）95克解析：思路：(1)根据频率之和为1求得.(2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量.(3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值.（1）频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10.因此.整理得，解得.（2）各组组中值依次为，对应频率依次为.因此.据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克.（3）由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数.各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为，区间累计频率为，区间累计频率为.因此第55百分位数位于区间内，设该百分位数为，则.解得，即合格品的质量应不低于95克.17.在长方体中，底面ABCD边长为2的正方形，侧棱，点，F分别在棱和棱上，且，．（1）求证：．（2）平面与平面夹角的余弦值．（3）直线AC与平面夹角的正弦值．答案：（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图：可得

,所以，，所以，因此，即.（2）（3）解析：思路：(1)以为原点，建立空间直角坐标系，求出和的坐标，通过计算两个向量的数量积即可判断垂直关系；(2)分别求出平面和平面的法向量，所以利用向量夹角公式计算法向量夹角的余弦值即可；(3)求出直线的方向向量和平面的法向量，再由线面角的向量公式代入计算即可.（1）略（2）易知，设为平面的一个法向量，则

，令，得，即,又易知，则

，，设平面的法向量，可得

，令，得，即，设平面和平面的夹角为，，可得，因此平面与平面夹角的余弦值为.（3）易知，则，，设直线和平面的夹角，因此,即直线与平面夹角的正弦值为.18.如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形且AB=2AD=4，AD⊥BD，为等边三角形，PC=2（1）证明：OP⊥平面ABCD（2）设N为侧棱PC上一点，四边形是过A，N两点的截面，分别交PD，于，F两点，平面．（i）证明：；（ii）设，是否存在，使得点P到面的距离为12．答案：（1）证明：为等边三角形，为中点，故.由AB=2AD=4得AD=2，则平行四边形ABCD中，AD⊥BD，在中BD=AB即，故.在中，由余弦定理得OC2已知PC=26，则PC故.又AD∩OC=O，因此OP⊥平面ABCD（2）（i）平面，BD⊂平面，平面PBD∩平面AENF=EF所以由线面平行的性质定理得.（ii）存在，理由如下：以为坐标原点，方向为轴正方向，过作的平行线为y轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.各点坐标为A1,0,0，D−1,0,0，B−1,23,0由，PC=−3,2由DN=DP+由，BD=0,−23,0，取直线的一个方向向量为AN=设平面的法向量为n=x则n⋅故可设n=AP=−1,0,3，点Pd=令d=12，则2解得λ=515因此存在λ=515，使得点P到面的距离为解析：思路：（1）根据线面垂直的判定定理证得OP⊥平面ABCD（2）（i）利用线面平行的性质定理，通过两平面的交线直接推导线线平