12 第十二讲 特勒根定理和互易定理

电气工程学院电工基础教研室第12讲特勒根定理和互易定理教材：§4-4第四章电路定理

特勒根定理和互易定理特勒根定理(Tellegen’stheorem)是荷兰学者特勒根(B.D.H.Tellegen)于1952年在菲力浦研究报告第七期的“AGeneralNetworkTheoremWithApplications”一文中发表的提出的。它是集中电路普遍适用的定理之一，对任何电路都普遍成立，仅仅用KCL、KVL就可作出它的证明，所以它具有与基尔霍夫定律同等的普遍意义。特勒根定理在网络理论的研究、电路设计的实践、电路的灵敏度分析和电路优化设计中均有广泛的应用：它促进了计算机辅助电路优化设计的迅速发展，充分显示了特勒根定理普遍应用的威力。

图论基础

某一个具体电路之所以具有某种电性能，除了取决于组成该电路的各个元件电性能以外，还取决于这些元件的互相连接，即该电路的结构。显然，结构确定以后，单纯描述这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时，一个元件电路就可以抽象成一个线图.R6R5R2R3Us1Is4....①

②

③

④

+_G

图论基础②

....③

①④GR6R5R2R3Us1Is4....①

②

③

④

+_图反映了支路和节点关联的情况，而不能反映出各支路的具体元件。

图论基础

同构电路：具有相同图的电路.

②

....③

①④GR4R5R2R1Us3Is6....①

②

③

④

+_R6R5R2R3Us1Is4....①

②

③

④

+_

特勒根定理对于任意一个具有b条支路、n个节点的集中参数电路，设各支路电压、支路电流分别为uk、ik(k=1,2,·

·

·,b)，且各支路电压和电流取关联参考方向，则对任何时间t，有

由于上式求和中的每一项是同一支路电压和电流的乘积，表示支路吸收的功率，因此，特勒根定理一是电路功率守恒的具体体现，故也称为功率定理。1、特勒根定理一（功率平衡（守恒）定律）

特勒根定理证明：各支路电压、电流取关联方向，用结点电压法：各支电压： u1=un1，u2=un2-un1

u3=un3-un2

u4=un3-un1

u5=un2

u6=-un3

推广到任何具有n个结点和b条支路的电路，有：R3is1R1R4R2is2i4i2i5i6u1i3i1u2u3u4u5u6un1un2un3)()()(64335322421166554433221161+-++-+-=+++++=å=iiiuiiiuiiiuiuiuiuiuiuiuiunnnkkk-又根据KCL，得：61å=iukkk=0

特勒根定理

对于任意两个拓扑结构完全相同（即图完全相同，各支路组成元件性质任意）的集中参数电路N和。设它们具有b条支路n个节点，其相对应的各支路和各节点的编号相同。设它们的支路电压分别为uk和，支路电流分别为ik和

(k=1,2,·

·

·,b)，且各支路电压和电流取关联参考方向，则对任意时刻t，有2、特勒根定理二（拟功率平衡）

由于上式求和中的每一项是一个电路的支路电压和另一电路相应支路的支路电流的乘积，它虽具有功率的量纲，但不表示任何支路功率，称为拟功率守恒。故特勒根定理二也称为拟功率定理。

特勒根定理425631u

4u

3u

2u

1u

5u

6i

1i

6i

5i'4i

3i

2R3is1R1R4R2is2i4i2i5i6u1i3i1u2u3u4u5u6+

is2us2R1R3R2is10=66554433221161¢+¢+¢+¢+¢+¢=¢å=iuiuiuiuiuiuiukkk0=66554433221161¢+¢+¢+¢+¢+¢=¢å=iuiuiuiuiuiuiukkk证明：

两个电路图都可利用结点法，且结点电压表述一致，再利用KCL，则：

特勒根定理图(a)u1=3.6Vu2=-1.4V,u3=5Vu4=1V,u5=2.4Vu6=-2.6V图(b)i’1=0.8Ai’2=3.2A,i’3=2.8Ai’4=-4A,i’5=0.4Ai’6=3.6Au1i’1+u2i’2+u3i’3+u4i’4+u5i’5+u6i’6=2.88-4.48+14-4+0.96-9.36=0425631例1：特勒根定理推广应用解：设两组条件分别对应两个电路：其中第一组条件对应图(a)，第二组条件对应图(b)。因此，第二组条件变为：对图(b)电路，当R2’=4Ω,US1’=10V时，I1’=3A，求U2’。设NR中有k个电阻，其中第j个电阻记为Rj(j=1,2,…k)。对图(a)，Rj上的电压、电流记为URj和IRj；对图(b)，Rj上的电压、电流记为URj’和IRj’，根据OL有

URj=Rj

IRj

（1），URj’=Rj

IRj’（2）图(a)与图(b)显然拓扑结构相同例2：图(a)电路中，NR为纯线性电阻组成。已知当R2=2Ω,US1=6V时，I1=2A，U2=2V；R2=4Ω,US1=10V时，I1=3A，求这时的U2。根据特勒根定理二有

US1(-I1’)+U2I2’+∑URjIRj’=0(3)US1’(-I1)+U2’I2+∑URj’IRj=0(4)由URj=RjIRj

（1），URj’=RjIRj’（2），代入（3）、（4）式得：∑URjIRj’=∑URj’IRj

，故(3)-(4)得： US1(-I1’)+U2I2’-US1’(-I1)-U2’I2=0（5）例2：图(a)电路中，NR为纯线性电阻组成。已知当R2=2Ω,US1=6V时，I1=2A，U2=2V；R2=4Ω,US1=10V时，I1=3A，求这时的U2。特勒根定理推广应用US1(-I1’)+U2I2’-US1’(-I1)-U2’I2=0 （5）由于I2’=U2’/R2’=U2’/4，I2=U2/R2=2/2=1，将已知条件代入（5）式，得

6×(-3)+2×U2’/4-10×(-2)-U2’×1=0解得U2’=4V例2：图(a)电路中，NR为纯线性电阻组成。已知当R2=2Ω,US1=6V时，I1=2A，U2=2V；R2=4Ω,US1=10V时，I1=3A，求这时的U2。

特勒根定理推广应用

特勒根定理推广应用例3、图中N由纯电阻组成，根据已知，求图（c）中的

I1和I2

。+

3A1A(a)20V(a)5

N4

+

2A(a)20V(b)N4

I25

4

+

I1(a)20V(c)N

20V+在使用定理的过程中，一定要注意对应支路的电压、电流的参考方向要关联解：根据特勒根定理(a)图：u1=20-3·4=8V

i1=-3Au2=5V

i2=1A(b)图：u'1=20+4i'1

i'1=？u'2=0

i'2=2A(c)图：u''1=20+4i''1

i''1=-I1u''2=20+5i''2

i''2=I2+

I1I2(a)20V(c)5

N4

20V+联立(a)、(c)：-8I1+5I2=-3·(20-4I1)+(20+5I2)联立(b)、(c)：-6I1+0=-3.5·(20-4I1)+2·(20+5I2)I1=2AI2=-1A+

3A1A(a)20V(a)5

N4

+

2A(a)20V(b)N4

利用例2结论计算：i'1=-3.5Au1+-i1u2+-i2u'1+-i'1u'2+-i'2i''1u''1-+u''2+-i''2

特勒根定理推广应用

特勒根定理表达的是电路的拓扑规律，与各支路元件本身的性质无关。适用于各种集总参数电路。例4：在上图(a)和(b)的网络中，N同为线性无源电阻网络，已知：us1=20V，i1=

10A，i2=2A，us2=10V，求：图(b)中2

电阻的电压u

1。+++

u2u1i1i211

22

N(a)us1+++

11

22

N(b)u

2u

1i

2i

1us22

解：对网络N中任一支路的，取关联参考方向，则网络内各支路的伏安关系如下：图(a)中为uk=Rk

ik

图(b)中为u

k=Rk

i

k

特勒根定理推广应用+++

u2u1i1i211

22

N(a)us1+++

11

22

N(b)u

2u

1i

2i

1us22

根据特勒根定理:代入第k条电阻支路的伏安关系:(a)图:(b)图:(a)图:(b)图:联立上两式，故有22112211iuiuiuiu¢+¢=¢+¢

特勒根定理推广应用+++

u2u1i1i211

22

N(a)us1+++

11

22

N(b)u

2u

1i

2i

1us22

u

1=1V，i

1=1/2A将以下已知数据代入上式，us1=20V，i1=

10A，i2=2A，us2=10V22112211iuiuiuiu¢+¢=¢+¢得:

特勒根定理推广应用+++

u2u1i1i211

22

N(a)us1+++

11

22

N(b)u

2u

1i

2i

1us22

此例还可引出如下结论：将图(b)中1-1

端短路，则由u

1=0，u2=0，可知:

上式表明，若网络结构不变，对线性无源网络而言，当它的激励与响应的位置互换时，激励与响应的比值保持不变，即激励与响应的互易性。1221¢=iuiuss1、定义：对于一个仅含线性电阻的二端口电路NR，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。

互易定理适用的条件:

线性电阻网络

仅有一个独立源作用

对于单一激励的不含受控源的线性电阻电路，存在三种互易形式

第一种形式:电压源激励，电流响应。N11'2'2_uS1+i2N11'2'2_uS2+i1

互易定理(ReciprocityTheorem)N1-1’支路接入电压源us

，2-2’支路有响应电量为短路电流i2，它是电路中唯一激励（us

）产生的响应。如果把激励和响应互换位置，2-2’支路接入电压源而响应则是接于1-1’支路1中的短路电流。第一种形式:电压源激励，电流响应。

互易定理(ReciprocityTheorem)第一种形式:电压源激励，电流响应。则两个支路中电压电流有如下关系：当时，

这是互易定理的第一种形式，即对一个仅含线性电阻的电路，在单一电压源激励而响应为电流时，当激励和响应互换位置时，将不改变同一激励产生的响应。N

互易定理(ReciprocityTheorem)第二种形式:电流源激励，电压响应。N11'2'2iS1i2+_u2N11'2'2i1i2+_u1iS2

互易定理(ReciprocityTheorem)(a)(b)1-1’支路接入电流源is，2-2’支路有响应电量为开路电压u2。如果把激励和响应互换位置，如图（b），2-2’支路接入电流源，1-1’支路响应电量为开路电压为。第二种形式:电流源激励，电压响应。

互易定理(ReciprocityTheorem)第二种形式:电流源激励，电压响应。(a)(b)+u1-i2用特勒根定理得：将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即即：当时，。这是互易定理的第二种形式。

互易定理(ReciprocityTheorem)第三种形式:电流源/电压源激励，电流/电压响应。N11'2'2_uS1+i2+_u2N11'2'2i1iS2

互易定理(ReciprocityTheorem)第三种形式:电流源/电压源激励，电流/电压响应。(a)1-1’支路接入电流源is，2-2’支路有响应电量为短路电流i2。如图（a）。如果把激励改为电压源，且接于2-2’，1-1’支路响应电量为开路电压为。如图（b）。+u1-(b)

互易定理(ReciprocityTheorem)电流源/电压源激励，电流/电压响应。第三种形式:用特勒根定理得：将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即即：当时，这是互易定理的第三种形式。(a)+u1-(b)

互易定理(ReciprocityTheorem)N11'2'2_uS1+i2N11'2'2_uS2+i1N11'2'2iS1i2+_u2N11'2'2i1i2+_u1iS2N11'2'2_uS1+i2+_u2N11'2'2i1iS21、2、3、

互易定理(ReciprocityTheorem)说明（1）以上三种形式中，特别要注意激励支路的参考方向，对形式一和形式二，两个电路激励支路电压、电流的参考方向要一致，即要关联都关联，要非关联都非关联；对于形式三，两个电路激励支路电压、电流的参考方向必须不一致，即一个关联，另一个一定要非关联；或者说，对互易支路而言，互易前后，出现电压源的支路，为关联参考方向；出现电流源的支路为非关联参考方向。（2）互易定理只适用于仅含一个独立源作用、且不含受控源的线性纯电阻电路，即整个电路只有一个独立源，其余元件均为线性电阻。（3）互易前后，每个端口物理量的乘积，均具有功率的量纲；

互易定理(ReciprocityTheorem)例1求I。

解：原电路为仅有一个独立源单独作用的线性电阻电路，可使用互易定理进行分析。

此时应注意互易前后对应支路上的电压电流的参考方向必须关联..4Ω1Ω2Ω2Ω2Ω8V+_I...11’..22’图a.4Ω1Ω2Ω2Ω2Ω8V+_I...图b.2’1’12.

互易定理(ReciprocityTheorem)

在图b中可求得：.4Ω1Ω2Ω2Ω2Ω8V+_I...图b.2’1’12.I3I2I1根据分流公式：由KCL得：,故原电路中所求电流

注：此例也可用戴维南定理求解.

互易定理(ReciprocityTheorem)例1求I。解利用互易定理I2

4

2

8

+–10V3

I1I2I3I2=0.5I1=0.5AI=I1-I3=0.75AI3=0.5I2=0.25A求电流I。例2I2

4

2

8

+–10V3

可用回路法，节点法，戴维南

互易定理(ReciprocityTheorem)例3R+_2V2

0.25A已知如图。求：I1R+_10V2

I1解齐次性R+_2V2

0.25A互易注意方向

互易定理(ReciprocityTheorem)例4已知图中N0为线性电阻无源网络，图a中,Us=24V时,I1=8A,I2=6A,问在图b中U’s=12V时,I3=?N0Us_+I2图aI1U’s+_图b