【《基于机器学习算法下的股票指数时间序列预测分析案例》4100字】

基于机器学习算法下的股票指数时间序列预测分析案例目录TOC\o"1-3"\h\u20093基于机器学习算法下的股票指数时间序列预测分析案例 129341（一）时间序列预测框架 132579（二）时间序列的平稳性 4202781.平稳过程的含义 468772.平稳时间序列的性质 5281213.平稳性检验 6229744.延迟算子 649785.常系数差分方程 710850（三）随机时序模型ARIMA的实证分析 994371.样本筛选与说明 954322.ARIMA模型的实证结果 9时间序列预测框架本研究基于机器学习算法下的时间序列预测模型对股票指数进行预测，主要通过机器学习训练数据，通过随机时间序列模型对训练数据进行预测分析，时间序列预测框架如图7所示：图7时间序列预测框架图时间序列分析作为统计学的重要分支之一，在统计推断领域有着广泛的应用。广义上，时间序列是指按时间维度对不同时间节点的变量或指标按时间顺序排列的序列。这一序列受天气、政策、温度等偶然因素的影响，一般具有随机性的特点。而且数据之间存在着数理统计上的依赖关系。从数学的角度来说，如果一个过程中的某一变量或一组变量被观测到，那么在一系列的连续或非连续时刻(t为自变量，且)所得到的离散有序观测集合、、称为离散数字的时间序列，也就随机过程得样本实现，因此这样的我们称之为一个时间序列。以下将介绍ARMA模型介绍以及如何过渡到ARIMA模型中。对于系统来说，如果它在t时刻的响应Yt不仅依赖前一时刻进入系统的扰动因子，还取决于它在前一时刻自身的值。因此，我们将此系统称为自回归移动平均系统，其对应的模型简称为ARMA模型。如果对于正态、零均值、平稳的时间序列{Yt}，若yt的取值不仅与其前n步的取值有关，而且还与前m步的干扰有关。对于实系数多项式A(z)和B(z)无公共根，且满足，和其中，A、B为推移算子，那么这个随机过程就可以用最一般的ARMA模型来描述：上式表示一个n阶的自回归，m阶的滑动平均模型，简记为ARMA(n，m)。式中:为时间序列，，分别表示为自回归系数和移动平均系数，为白噪声序列。满足：并且我们假定，在K>0时，与是不相关的，这也就是k>0上式中的符号E表示求数学期望。ARMA模型是一个典型的时间序列模型，它包含AR模型和MA模型两种特殊形式。在上式中，当模型无移动平均部分时，我们称之为n阶自回归模型，简称AR(n)，其形式如下AR模型在工程预测中的应用非常重要。在上式中，当时自回归部分不存在于模型中。我们称之为m阶移动平均模型，简称MA(m)，可以表示为：如果时间序列的d阶差为平稳的ARIMA(p，q)序列，其中是整数，则称为阶数为p，d和q的自回归和移动平均（ARIMA）模型，简称为ARIMA(p，d，q)模型。对于ARIMA(p，d，q)模型。以下几点需要特别注意：求和过程。定义序列，则是平稳的，适合于模型定义算子H为▽的逆，则有因此，算子▽的逆算子S是无限求和算子。所以，对于时间序列可以写为说明平稳序列经过d次求和得到适合于ARIMA模型的时间序列，表明了ARIMA模型“求和”的含义。ARIMA模型的表示。设因此，ARIMA(p，d，q)模型可以改些成如下形式：是AMR(p+d，q)模型，但模型是不平稳的(因为存在单位根)。也可以设其中，由于模型不平稳，则权是发散的。若AIMA(p，d，q)模型是可逆的，则逆函数与通常的ARMA模型是一样的：时间序列的平稳性平稳过程的含义时间序列分析方法如ARMA、ARIMA、Granger因果检验等时间序列预测方法都要求时间序列具有平稳性，即一组时间序列数据看似平坦，但每个时间序列其统计特征（如均值、方差、协方差...）不随时间变化，严格地消除周期性变化，称为稳定。其数学定义分为严平稳与宽平稳，严平稳比宽平稳要求严格，但两者之间并无嵌入关系。一般情况下，低阶矩严平稳性可推出宽平稳成立，宽平稳序列则无法反推以建立严平稳性。就算是严平稳，也未必宽平。在宽平稳条件下，无低阶平稳矩序列是无法满足的。例如，严平稳序列服从柯西分布（柯西分布没有一阶矩和二阶矩），而非宽平稳序列。在序列服从多元正态分布的情况下，可由宽平稳导出严平稳。由于正态过程的概率密度完全取决于均值函数和自相关函数，在宽平稳条件下，均值函数和自相关函数不随时间变化，因此正态过程概率密度函数不随时间变化。因此，宽平稳正态过程必然是严平稳的。图8柯西分布柯西分布的概率密度函数为：数学期望因积分不能绝对收敛，故而柯西分布的数学期望不存在：平稳时间序列的性质在平稳时间序列,任取,我们定义为时间序列。序列的延迟k自协方差函数:。由于平稳序列存在的这个性质，可以推断出平稳随机序列具有常数方差的：我们通过延迟k自协方差函数的理论知识，得到延迟k自相关函数的概念：可以验证和相关系数相同，自相关系数由以下的二个性质：（1）规范性：（2）对称性：值得注意的是，除了这两个性质之外，还有另一个叫做非唯一性的性质。也就是说，一个平稳时间序列对应于它自己唯一的自相关函数，但一个自相关函数可以对应于多个平稳时间序列。平稳性检验通常有两种方法来检验平稳性。首先是画时序图和自相关图，根据图的特点进行判断。另一种是计算序列的特征统计量进行判断。第一种方法比较简单易操作，但有一定的主观性，所以最好用统计检验的方法来判断序列的稳定性。时间序列图测试：由于平稳序列的均值和方差是恒定的，所以时间序列图中显示的序列均值应始终围绕一个常数波动，波动范围不会太大，始终保持在一个恒定的范围。自相关检验：由于平稳序列的短期相关性，其自相关系数ρk随着延迟周期数K的增加迅速衰减到零，但非平稳序列的自相关系数ρk衰减到零非常缓慢.这是用自相关图判断序列是否稳定的标准。延迟算子(1)p阶差分相距一期的序列值，它们两个之间的减法操作称之为1阶差分，即:，对1阶差分后的序列在进行1次差分运算叫做2阶差分，即：，以此类推，对阶差分后的序列在进行单独的一次差分运算之后，我们将其称之为阶差分，即：(2)k步差分相距为k期的两个序列之间的减法运算称之为k步差分运算，即：。(3)延迟算子延迟算子可以被视为一个时间指针，如果我们将它乘以延迟算子，它可以被类比为过去将时钟向前移动一次。如果B是延迟算子，则有：延迟算子有如下的性质：，为任意常数；；用延迟算子表示差分运算：P阶差分：；K步差分：；常系数差分方程我们称如下形式的方程为序列的线性差分方程：；式中，;，，···，为实数；为t的已知函数。特别地，若，则差分方程：被称为齐次线性方程。否则，线性差分方程为非齐次线性方程。齐次线性差分方程的求解要借助于特征方程和特征根，齐次线性差分方程为：这是一个一元p次线性方程，有至少p个非零根，称这p个非零根为特征方程的特征根，记作，，，。特征根不同，齐次线性差分方程的解也不同。可以分以下情况讨论。（1），，，为p个不同的实数，此时齐次线性差分方程的解为：；式中，，，，为任意实数。（2），，，中有相同的实根，此时假定为d个相同实根，而为互不相同的根，这时齐次线性差分方程的解为：，式中，，，，为任意实数。，，，有负根，由于差分方程的系数，，，为实数，所以其复数必然出现共轭情形。可以假定：=，=为一对共轭复根，其中r=，，而，，，为互不相同的实根。此时其次线性差分方程的解为：式中，，，，为任意实数。而求非齐次线性差分方程的解一般需要进行两步运算。首先先求出齐次线性差分方程的通解：然后求出该非其次线性差分方程的一个特解。所谓特解就是任意一个值，使得非其次线性方程成立，即：而非其次线性差分方程的通解即为其次线性差分方程的通解和非其次线性差分方程的一个特解之和，即：随机时序模型ARIMA的实证分析样本筛选与说明本研究采用Python从CSMAR数据库中爬取上证综指数据，选取这些日期数据时，为了更好的研究2020年COVID-19对中国股票市场的直接影响，我们选择了开盘指数、最高指数、最低指数、收盘指数和成分证券交易量。该数据可以作为沪深300指数2019年10月至2022年3月的特定时间序列。剔除周末和节假日造成的数据缺失，原始数据达到190条。目前我国金融市场尚未完全成熟，市场交易管理机制尚未建立，投资者素质参差不齐。多数投资者更倾向于投机者，短线操作比例较高。因此，本文仅对沪深300指数进行短期预测。采用ARIMA模型，将实验数据分为训练数据和测试数据两部分。首先根据试训练建立时间序列模型进行预测，然后将预测数据与测试数据进行对比分析，并对模型进行优化。ARIMA模型的实证结果原始序列为下图所示：图9上证综指时序图根据上述图像的分析以及前文所叙述的分析理论，我们可以得知这是一个非平稳的时间序列模型，所以我们要对此进行差分，使用Python对原序列图进行线性差分计算，线性趋势线和一阶差分的比较图像如图10所示：图10一阶差分图像除了图像观测法判断序列平稳性外，为使预测更加客观准确，使用Python进行白噪声、平稳性与ADF的相关计算与检验，程序输入结果如下所示：(-2.4876474041697647，0.11850884656051935，0，802，{'1%':-3.4385299921076995，'5%':-2.8651505256266865，'10%':-2.568692571687987}，7843.724126544935)程序根据输出结果判定原序列不平稳，对其进行差分后再进行ADF检验，结果如下：(-27.368072448556955，0.0，0，801，{'1%':-3.4385402373395473，'5%':-2.8651550415718114，'10%':-2.5686949773613197}，7839.094182591569)程序根据结果判断最终原序列平稳，对其进行后续建模。对此序列的相关数据进行自相关与偏相关分析。使用Python计算并画出自相关与偏相关图像，如图11和图12所示。图11自相关结果图图12偏相关结果图根据自相关与偏相关图像，P和Q分别为0和1。为更加客观判定阶数，对训练后的数据进行机器学习，计算出各阶模型的BIC，结果如下：TheBICofARIMA(0，0)is8568.416388577865TheBICofARIMA(0，1)is8051.9074884167385TheBICofARIMA(0，2)is8058.313351817714TheBICofARIMA(0，3)is8064.298217142676TheBICofARIMA(1，0)is8343.090880799557TheBICofARIMA(1，1)is8058.297072791234TheBICofARIMA(1，2)is8062.773446401758TheBICofARIMA(1，3)is8069.2803258077565TheBICofARIMA(2，0)is8264.67019225153TheBICofARIMA(2，1)is8064.332702263592TheBICofARIMA(2，2)is8069.267032655798TheBICofARIMA(2，3)is8076.195242208643TheBICofARIMA(3，0)is8233.516687187528TheBICofARIMA(3，1)is8071.276659832272TheBICofARIMA(3，2)is8074.9012446451825TheBICofARIMA(3，3)is8080.06699005761经过程序计算，判定最好的模型为ARIMA(0，1，1)，其模型报告如下：图13Python下的ARIMA(0，1，1)模型报告对ARIMA(0，1，1)模型与原始序列数据进预测拟合，如图14所示。从图像来看，拟合效果较好。图14ARIMA(0，1，1)上证综指预测拟合效果图再对结果进行残差分析，即实际观察值与估计值之间的差，其中蕴含了ARIMA(0，0，1)模型的重要信息，可以将其看作误差的观测值，观察可得其值趋近正太