第8讲　函数的奇偶性与周期性（讲练案）-2027届高考数学一轮复习（含答案）

PAGE第8讲函数的奇偶性与周期性（讲练案）2027届高考数学一轮复习·讲练结合·文末附参考答案与解析【考情速览】奇偶性与周期性是高考小题里的常客，多数时候和单调性、对称性绑在一起考，落点是求值、比较大小、解不等式、求参数这几类。近三年直接考"由奇偶性求参数"的就有2023年全国甲卷理科第13题、2021年新高考Ⅰ卷第13题。这类题算量不大，丢分几乎都出在两个地方：一是没先看定义域，二是周期判断错了。一、考点梳理·体系构建1．函数的奇偶性前提：函数定义域必须关于原点对称。这是讨论奇偶性的第一步，很多题就卡在这里。偶函数：对定义域内任意x，都有f(−x)=f(x)，图象关于y轴对称。奇函数：对定义域内任意x，都有f(−x)=−f(x)，图象关于原点对称。也可以写成判定式：f(−x)−f(x)=0的是偶函数，f(−x)+f(x)=0的是奇函数。【提醒】奇函数在x=0处有定义时，必有f(0)=0；但反过来，f(0)=0推不出它是奇函数，别把必要条件当充要条件。2．几个常用结论①偶函数满足f(x)=f(−x)=f(|x|)，把自变量换成|x|就能去掉负号，比较大小、解不等式时最省事；②奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数相反，四个字记牢：偶反奇同；③若奇函数f(x)在对称区间上有最大值M，则它在对应区间上有最小值−M；④两个奇函数的积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数。3．常见函数的奇偶性奇函数：y=x，y=x³，y=1/x，y=sinx，y=tanx，y=(aˣ−a⁻ˣ)/2（a>0且a≠1）。偶函数：y=x²，y=x⁴，y=|x|，y=cosx，y=(aˣ+a⁻ˣ)/2。记忆方法：式子只含偶次项（常数项算偶次）的是偶函数，只含奇次项的是奇函数。4．函数的周期性定义：若存在非零常数T，使得对定义域内任意x都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T是它的一个周期；所有正周期中最小的那个，叫作最小正周期。由式子看周期，常用的四条（a>0）：①f(x+a)=f(x−a)⟹T=2a；②f(x+a)=−f(x)⟹T=2a；③f(x+a)=1/f(x)⟹T=2a；④f(x+a)=−1/f(x)⟹T=2a。【提醒】规律一句话：等号右边只要挂着负号或者取倒数，周期就翻倍。它的推导都是再代一次，考场上忘了可以现场推。5．对称性与周期性的关系若f(a+x)=f(a−x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称；a=0时就是偶函数。若f(a+x)=−f(a−x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称；a=0时就是奇函数。两条对称轴（或两个对称中心）间距为d时，周期T=2d；一条对称轴与一个对称中心间距为d时，T=4d。二、基础自测【说明】先独立做一遍，答案与解析见文末。做错的题目标出来，后面重点听。1．判断：f(x)=x²+1/x是偶函数。（）2．函数f(x)=x³+x是（填"奇函数""偶函数"或"非奇非偶函数"）。3．若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=______。4．已知f(x)是周期为4的偶函数，且f(1)=3，则f(2025)=______。5．已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，则f(−2)______f(3)（填">"或"<"）。三、核心考点·典例精讲考点一函数奇偶性的判断做这类题固定两步：先看定义域是否关于原点对称，再算f(−x)，和f(x)、−f(x)比一比。【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=lg((1−x)/(1+x))；（2）f(x)=(2ˣ−1)/(2ˣ+1)；（3）f(x)=√(1−x²)/(|x+2|−2)。【解析】（1）由(1−x)/(1+x)>0解得−1<x<1，定义域关于原点对称。f(−x)=lg((1+x)/(1−x))=lg[((1−x)/(1+x))⁻¹]=−lg((1−x)/(1+x))=−f(x)。所以f(x)是奇函数。（2）定义域为R，关于原点对称。f(−x)=(2⁻ˣ−1)/(2⁻ˣ+1)，分子分母同乘2ˣ，得(1−2ˣ)/(1+2ˣ)=−(2ˣ−1)/(2ˣ+1)=−f(x)。所以f(x)是奇函数。（3）由1−x²≥0得−1≤x≤1；此时x+2>0，所以|x+2|−2=x+2−2=x，令x≠0。于是定义域为[−1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且在此范围内f(x)=√(1−x²)/x。f(−x)=√(1−x²)/(−x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数。【易错点拨】三个小题都得先定定义域。第（3）题里|x+2|不能直接去绝对值，要先用定义域把x+2的符号定下来，才能化简约分。【变式1-1】判断f(x)=x·(1/(2ˣ−1)+1/2)的奇偶性。【解析】由2ˣ−1≠0得x≠0，定义域{x|x≠0}关于原点对称。先化简：1/(2ˣ−1)+1/2=(2+2ˣ−1)/[2(2ˣ−1)]=(2ˣ+1)/[2(2ˣ−1)]，所以f(x)=x(2ˣ+1)/[2(2ˣ−1)]。计算f(−x)：其中(2⁻ˣ+1)/(2⁻ˣ−1)，分子分母同乘2ˣ得(1+2ˣ)/(1−2ˣ)=−(2ˣ+1)/(2ˣ−1)，于是f(−x)=(−x)·[−(2ˣ+1)]/[2(2ˣ−1)]=x(2ˣ+1)/[2(2ˣ−1)]=f(x)。所以f(x)是偶函数。【方法】遇到指数型分式，先把括号内先通分合并，再算f(−x)；化简后再比较，比硬套定义省一半步骤。考点二利用奇偶性求解析式思路：未知区间上的x，把−x转到已知区间，再用f(−x)与f(x)的关系解出来。定义域含原点时，别忘了补f(0)。【例2】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x²−2x，求f(x)在R上的解析式。【解析】先补原点：f(x)是R上的奇函数且在x=0处有定义，所以f(0)=0。再求负半轴：当x<0时，−x>0，由已知得f(−x)=(−x)²−2(−x)=x²+2x。又因为f(x)=−f(−x)，所以f(x)=−(x²+2x)=−x²−2x。综上，f(x)=x²−2x（x>0）；f(x)=0（x=0）；f(x)=−x²−2x（x<0）。【易错点拨】原点这一段不能省。写R上的解析式必须分x>0、x=0、x<0三段，只写负半轴那一段是要扣分的；另外注意f(x)与f(−x)的符号别带反。【变式2-1】已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时f(x)=x²−2x，求x<0时的解析式。【解析】当x<0时，−x>0，f(−x)=(−x)²−2(−x)=x²+2x。由偶函数f(x)=f(−x)，得x<0时f(x)=x²+2x。顺带看一句：x≥0的式子x²−2x与x<0的式子x²+2x，合起来正好是f(x)=x²−2|x|。考点三利用奇偶性与单调性比较大小、解不等式要害只有一句：偶函数把括号里的式子换成绝对值再比，奇函数靠单调性直接去掉f。【例3】已知f(x)是偶函数，且在[0，+∞)上单调递减，解不等式f(2x−1)<f(1/3)。【解析】f(x)为偶函数，所以f(2x−1)=f(|2x−1|)。因为f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以f(|2x−1|)<f(1/3)等价于|2x−1|>1/3。即2x−1>1/3或2x−1<−1/3，解得x>2/3或x<1/3。所以解集为{x|x<1/3或x>2/3}。【方法】偶函数在[0，+∞)上递减，意思是"离原点越远，函数值越小"。把两边都化成f(|·|)，再比绝对值的"距离"，注意递减时不等号方向不变、递增时要变。【变式3-1】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，解不等式f(x)+f(x²)<0。【解析】由奇函数得f(x²)=−f(−x²)，所以原不等式化为f(x)<f(−x²)。因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)<f(−x²)等价于x<−x²，即x²+x<0。解得−1<x<0，所以解集为{x|−1<x<0}。【方法】把一项挪到另一边，用奇函数把负号"吃进"括号里，两个f就能直接比括号里的式子。【变式3-2】已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(2)=0，解不等式f(x−1)>0。【解析】f(x−1)>0即f(x−1)>f(2)。偶函数满足f(x)=f(|x|)，且在[0，+∞)上递增，所以f(x−1)>f(2)等价于|x−1|>2。解得x−1>2或x−1<−2，即x>3或x<−1，解集为{x|x<−1或x>3}。考点四函数的周期性【例4】已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈[0，2]时f(x)=x²−2x，求f(2026)的值。【解析】由f(x+2)=−f(x)再代一次：f(x+4)=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x)，所以4是f(x)的一个周期。又2026=4×506+2，所以f(2026)=f(2)。由x∈[0，2]时f(x)=x²−2x，得f(2)=2²−2×2=0。所以f(2026)=0。【易错点拨】f(x+2)=−f(x)的周期是4不是2。见到右边带负号或取倒数，周期一律翻倍，这是最容易丢分的一步。【变式4-1】已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+2)=1/f(x)，f(1)=3，求f(2027)的值。【解析】f(x+4)=1/f(x+2)=1/(1/f(x))=f(x)，所以周期为4。2027=4×506+3，所以f(2027)=f(3)。又f(3)=1/f(1)=1/3。所以f(2027)=1/3。【变式4-2】已知f(x)满足f(x+1)=−1/f(x)，且f(1)=2，求f(2025)的值。【解析】f(x+2)=−1/f(x+1)=−1/(−1/f(x))=f(x)，所以周期为2。2025=2×1012+1，所以f(2025)=f(1)=2。考点五奇偶性与周期性的综合【例5】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+4)=f(x)。当x∈(0，2)时，f(x)=x²−2x，求f(2025)+f(2026)的值。【解析】由f(x+4)=f(x)知周期为4。2025=4×506+1，所以f(2025)=f(1)=1²−2×1=−1。2026=4×506+2，所以f(2026)=f(2)。x=2不在已知区间内，用周期和奇偶性来定：由f(2)=f(2−4)=f(−2)，又f(x)为奇函数，f(−2)=−f(2)，所以f(2)=−f(2)，解得f(2)=0。因此f(2025)+f(2026)=−1+0=−1。【方法】奇偶性负责"跨过原点"，周期性负责"跨过整数个周期"。先把大数化进已知区间，再借奇偶性处理负号。区间端点要单独想办法：常用f(0)=0，或者像本题这样由奇偶性列一个关于该值的方程解出来。【变式5-1】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=f(x)。当x∈[0，1]时f(x)=x²，求f(2025)与f(−3/2)的值。【解析】周期为2。2025=2×1012+1，所以f(2025)=f(1)=1。再由偶函数得f(−3/2)=f(3/2)；由周期2得f(3/2)=f(3/2−2)=f(−1/2)=f(1/2)=(1/2)²=1/4。所以f(2025)=1，f(−3/2)=1/4。【变式5-2】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x=1对称。若f(1)=2，求f(2019)+f(2020)的值。【解析】奇函数的图象关于原点(0，0)对称，又已知它关于直线x=1对称。一个对称中心与一条对称轴相距1，所以周期T=4×1=4。2019=4×504+3，所以f(2019)=f(3)；再由周期得f(3)=f(3−4)=f(−1)=−f(1)=−2。2020=4×505，所以f(2020)=f(0)=0。因此f(2019)+f(2020)=−2+0=−2。【方法】"一轮一轴"的题目，先把轴与中心的距离d找出来，周期就是4d；再按周期把大数化进已知区间。四、易错清零易错1忘了先看定义域是否关于原点对称。f(x)=x²，但定义域取[−1，2]，形式上满足f(−x)=f(x)，定义域却不关于原点对称，所以它不是偶函数。任何奇偶性问题，第一句都该问：定义域关于原点对称吗？易错2把f(0)=0当成奇函数的充要条件。f(0)=0只是奇函数的必要条件。例如f(x)=x²在R上满足f(0)=0，却是偶函数。只有"定义域关于原点对称+f(−x)=−f(x)"才构成奇函数。易错3把f(x+2)=−f(x)的周期写成2。正确推导：f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，周期是4。规律是等号右边带负号或取倒数，周期翻倍。易错4用奇偶性求解析式时漏掉x=0。求R上奇函数的完整解析式，必须分成x>0、x=0、x<0三段，原点处的值不能省；分段写完之后还要回头验一下符号方向对不对。易错5偶函数在对称区间上单调性的方向记反。偶函数在(−∞，0)与(0，+∞)上单调性相反，奇函数则相同，"偶反奇同"四个字要记牢，尤其是用来解不等式的时候。五、课时作业A组基础过关1．下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增的是（）A．y=x³B．y=|x|+1C．y=−x²+1D．y=1/x2．若f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时f(x)=2x+1，则f(−1)=（）A．−3B．−1C．1D．33．若f(x)=(x+a)/(x²+1)是奇函数，则a=______。4．已知f(x)满足f(x+3)=−f(x)，则f(x)的一个正周期为______。5．已知奇函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(1)=1，则不等式f(x)<1的解集为______。6．若偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(2)=0，则不等式f(x)>0的解集为______。B组能力提升1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=−x²+2x，则f(−1)+f(0)的值为（）A．−1B．−3C．1D．32．（多选）下列结论正确的是（）A．若f(x)是奇函数，则f(0)=0B．若f(x)是偶函数，则f(x)=f(|x|)C．若f(x)满足f(x+2)=−f(x)，则4是f(x)的一个周期D．若f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(x+2)=f(−x)3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增。若f(a+1)<f(2)，求实数a的取值范围。4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[−1，1]时f(x)=x²，求f(2025)+f(2026)的值。C组真题体验1．（2023·全国甲卷·理·T13）若f(x)=(x−1)²+ax+sin(x+π/2)为偶函数，则a=______。2．（2021·新高考Ⅰ卷·T13）已知函数f(x)=x³(a·2ˣ−2⁻ˣ)是偶函数，则a=______。六、参考答案与解析基础自测1．×。定义域{x|x≠0}关于原点对称，但f(−x)=x²−1/x既不等于f(x)，也不等于−f(x)，所以它是非奇非偶函数。2．奇函数。定义域R关于原点对称，f(−x)=−x³−x=−(x³+x)=−f(x)。3．0。奇函数在原点处有定义时f(0)=0。4．3。2025=4×506+1，由周期4得f(2025)=f(1)=3。5．<。f(−2)=f(2)，f(x)在[0，+∞)上递增且2<3，所以f(2)<f(3)，即f(−2)<f(3)。课时作业A组1．B。y=x³、y=1/x都是奇函数；y=−x²+1在(0，+∞)上递减；y=|x|+1是偶函数且在(0，+∞)上递增，选B。2．D。f(−1)=f(1)=2×1+1=3。3．0。定义域R关于原点对称，由f(−x)=−f(x)得(−x+a)/(x²+1)=−(x+a)/(x²+1)，即−x+a=−x−a，所以a=0。4．6。f(x+6)=−f(x+3)=−[−f(x)]=f(x)，所以6是它的一个正周期。5．(−∞，1)。奇函数在[0，+∞)上递增，则在R上递增；f(x)<1=f(1)等价于x<1。6．(−2，2)。偶函数满足f(x)=f(|x|)且在[0，+∞)上递减，所以f(x)>f(2)等价于|x|<2