第二十七章小结与复习 课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

小结与复习第二十七章反比例函数1.反比例函数的概念定义：形如________(k

为常数，且

k

≠

0)的函数称为反比例函数，其中

x

是自变量，y

是

x

的函数，k

是比例系数．三种解析式形式：或xy＝k或

y＝kx－1(k

≠

0)．【注意】(1)

k

≠

0；(2)自变量

x

≠

0；(3)函数值

y

≠

0.知识回顾2.反比例函数的图象和性质(1)反比例函数的图象：反比例函数(k≠0)的图象是

，它既是轴对称图形又是中心对称图形.

反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线

和

；对称中心是

.双曲线原点y=xy=－x(2)反比例函数的增减性

图象所在象限性质(k≠0)k＞0第________象限(x，y同号)在每个象限内，y

随x的增大而_____k＜0第________象限(x，y异号)在每个象限内，y随x的增大而_____xyoxyo一、三二、四减小增大(3)反比例函数中比例系数k的几何意义

反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积为常数(xy＝k)这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为

.推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的三角形的面积为

．|k|3.反比例函数的应用◑利用待定系数法确定反比例函数的解析式：①根据两变量之间的反比例关系，设；②代入x、y的一组对应值，或者该函数图象上一个点的坐标，求出k的值；③写出解析式.◑利用反比例函数相关知识解决实际问题：过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.考点一反比例函数的概念例

1下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?

①y=3x－1②y=2x2⑤y=3x③④⑥⑦⑧考点讲练1.已知点P(1，－3)在反比例函数的图象上，则k的值是

()A.3B.－3C.D.B针对训练2.若是反比例函数，则a的值为(

)A.1

B.－1

C.±1

D.任意实数A例2

已知点A

(1，y1)，B

(2，y2)，C

(－3，y3)都在反

比例函数的

图象上，则

y1，y2，y3

的大小

关系是

(

)

A.y3＜y1＜y2B.y1＜y2＜y3

C.y2＜y1＜y3D.y3＜y2＜y1解析：可分别把各点代入函数解析式求出

y1，y2，y3

的值，再比较大小；也可根据反比例函数的增减性比较．考点二反比例函数的图象和性质D

方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的增减性比较；在不同象限内，不能按增减性比较，可以根据正负性比较．针对训练

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜0＜x2)都在反比例函数(k<0)的图象上，则y1与y2的大小关系(从大到小)为

.y1＞0＞y2例

3

如图，两个反比例函数和在第一象

限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，

PA⊥x轴于点

A，交

C2

于点

B，

则△POB

的面积为

.1考点三反比例函数中k的几何意义的相关问题S△POB=S△POA-S△BOA【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数(x＞0)和

(x＞0)的图象交于

P，Q两点，若S△POQ

=

14，则k的值为

.-20410例

4

如图，已知A

(－4，)，B(－1，2)是一次函数

y=

kx+b与反比例函数(m＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点

D．(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，

一次函数的值大于反比例函数的值?OBAxyCD解：当－4＜x＜－1时符合题意.例

4病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克.已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y(单位：毫克)与时间x(单位：小时)成正比例；2小时后y与x成反比例(如图).根据以上信息解答下列问题：(1)求当0≤

x≤2时，y与x的函数解析式；解：当0≤

x

≤2时，y与x成正比例．设y＝kx，由于点(2，4)在线段上，所以4＝2k，k＝2，即y＝2x.Oy/毫克x/小时24考点四反比例函数的应用(2)求当x>2时，y与x的函数解析式；解：当x>2时，y与x成反比例函数关系，设由于点(2，4)在反比例函数的图象上，所以

，即解得k

=8.Oy/毫克x/小时24(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？解：当0≤x≤2时，含药量不低于2毫克，即2x≥2，解得

x≥1，∴1≤x≤2；当x＞2时，含药量不低于2毫克，即≥2，解得x

≤4.∴2＜x≤4.所以服药一次，治疗疾病的有效时间是1＋2＝3(小时)．Oy/毫克x/小时24如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为

y℃，从加热开始计算的时间为

x

分钟．据了解，该材料在加热过程中温度

y

与时间

x

成一次函数关系.已知该材料在加热前的温度为

4℃，加热一段时间使材料温度达到

28℃

时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度

y

与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．针对训练Oy(℃)x(min)1241428(1)写出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（要求写出相应的

x

的取值范围）；解：y=

4x+4

(0≤x≤6)，

(x＞6).

Oy(℃)x(min)1241428(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?解：当

y=12

时，12

=

4x

+