常微分方程课件

常微分方程

一、二階常係數方程的解法

1。齊次方程通解 設

得相異實根共軛複根重根

2。非其次方程特解：比較係數法二、二階變係數方程的解法1、級數解法

廣義冪級數

代入方程，比較係數法確定參數c和

an

設

代入，得

首項xc的係數為0——指標方程第n項xn+c的係數為0

——遞推公式

由指標方程的第一根c=c1可以得到方程的第一個解當c1－c2不為整數或0時，由常規方法可得第二解。當c1、c2

為重根時，第二解為當c1－c2為整數時，第二解為

2。Bessel方程及其級數解

稱為k階Bessel方程。採用冪級數解法，得首項係數為0的指標方程

遞推公式

第一解

第二解分為以下三種情況

i)k為分數

ii)k=0

iii)k為整數

3、Legendre方程與Legendre函數 設

代入，得

遞推公式 根據冪級數收斂判別法知，在x=±1處級數發散，但物理上函數又是有界的，因此只有參數l取整數才能保證級數在x=±1處收斂，此時級數成為Legendre多項式

性質

Bessel函數、Legendre函數均為正交函數族，滿足正交條件，可以作為函數基將任意分片光滑的函數展開成Fourier級數，分別稱為Fourier－Bessel級數和Fourier－Legendre級數。

三、一階常係數方程組的矩陣解法

齊次方程

設代入方程得 從中可解出n個特徵根和特徵向量，構成基解矩陣通解或

y=Yc

常數c由初始條件確定

四、線性穩定性分析方法穩定性（stability)——系統的一種動態特性，指偏離定常狀態後能否自動返回該定常態的性質,系統抗干擾能力的度量。定常態（steadystate)——穩態（與瞬態對應），系統不隨時間變化的某個狀態。穩定態（stablestate)——穩定的定常態。 穩定——差之毫釐，失之毫釐 不穩定——差之毫釐，失之千裏

流動的穩定性——雷諾實驗、圓柱型水流 反應器的熱穩定性——飛溫與熄火 平行平板間的熱對流穩定性——Benard現象 壓杆、板殼的屈曲穩定性穩定性分析方法 線性穩定性分析：小擾動的線性化動態分析，獲得失穩判據。 非線性穩定性理論：分叉、混沌，非線性科學問題。

1、線性穩定性分析方法 目的——獲取失穩判據； 方法——穩態附近對小擾動線性展開，由特徵根確定非線性動力系統 定常態f(ys)=0

設x(t)為小擾動，令

y(t)=ys+x(t)

代入原方程，泰勒展開，保留線性項通解穩定性判別

若A的特徵根都是負的，則零解是漸近穩定的；若至少有一個根的是正的，則系統是不穩定的；若都為零，則不定。

因此，線性穩定性分析的問題轉化為線性化方程的矩陣A的特徵根的正負號判別問題。如何根據A得到穩定性判據？Routh-Hurwitz係數判別法。

特徵根方程

Routh方法： 如果係數aj不同號，或某些係數為零，則方程必然有大於等於零的根，系統不穩定。

Routh－Hurwitz判定行列式

Routh指出，若採用如下的判定函數RiR0=△0,R1=△1,R2=△2

/△1,…,Rn

=△n

/△n-1=an則當所有的判定函數為正值時，系統是穩定的，否則是不穩定的。Hurwitz則證明了以下定理：實係數的n次代數方程的一切根的實部都是負數的充分必要條件是所有判定行列式均大於0。

2、穩態點的分類

1）tr2－4

>0，

>0：

1

2

>0，穩態點為結點2）tr2－4

>0，

<0：

1

2

<0， 穩態點為鞍點

3）tr2－4

<0，tr

0

：

1，

2

為複數，穩態點振盪焦點4）tr

＝0，

>0，

1，

2都是純虛數

穩態點為中心點

3、化學反應器的熱穩定性

取 x=cA－cAs,y=T－Ts

將