5.1 认识二次函数 课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

第五章

二次函数1认识二次函数新课引入情境导入

函数变量之间的关系一次函数y=kx+b(k≠0)二次函数正比例函数y=kx(k≠0)某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.问题1：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？新知讲解解：多种的橙子树的棵数和少结的橙子个数是变量.其中多种的橙子树的棵数是自变量，少结的橙子个数是因变量.新知讲解解：果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）个橙子.

解：y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000.问题3：如果果园橙子树的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.问题2：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？新知讲解在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？y=-5(x2-20x)+60000=-5(x2-20x+102-102)+60000=-5(x-10)2+60500解：想一想：新知讲解x/棵

y/个123

45678910111213146009560180602556032060375604206045560480604956050060495604806045560420y=-5x2+100x+60000=-5(x-10)2+60500合作探究：≤60500答：种10棵橙子树，果园橙子的总产量最多.新知讲解做一做：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(单位：元)的表达式.y=100(x+1)²=100x²+200x+100.银行储蓄利率表项

目利

率整

存整取三个月2.85半

年3.05一

年3.25二

年3.75三

年4.25五

年4.75零

存

整

取

整

存

零

取

存

本

取

息一

年2.85三

年2.90五

年3.00活

期

存

款

0.35定

活

两

便按一年以内整存整取同档次利率打6折新知讲解定义：一般地，如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的形式，那么称y是x的二次函数.其中,ax2叫作二次项，a叫作二次项系数；bx叫作一次项，b叫作一次项系数；c叫作常数项.如：

y=100x2+200x+100abc新知讲解强化训练1.下列函数中,哪些是二次函数？如果是二次函数请指出二次函数中a,b,c分别为多少？（1）y=3(x-1)²+1.（3）s=3-2t².（5）y=(x+3)²-x².（6）v=10πr².（是）其中a=3,b=-6,c=4（不是）（是）其中a=-2,b=0,c=3（不是）（不是）（是）其中a=10π,b=c=0【跟踪训练】

2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？

解：S=a(-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.是函数关系且为二次函数关系.强化训练3.已知函数y=(m2+m)xm²-2m+2(1)当函数是二次函数时,求m的值.解析：函数是二次函数的条件是m2-2m+2=2且m2+m≠0.强化训练解:(1)依题意,得m2-2m+2=2,解得m=2或m=0.又由m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1.

因此m=2.3.已知函数y=(m2+m)xm²-2m+2(2)当函数是一次函数时,求m的值.解析：函数是一次函数的条件是m2-2m+2=1且m2+m≠0.强化训练解：(2)依题意,得m2-2m+2=1,解得m=1.又由m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1.

因此m=1.小结:判断一个函数是否是二次函数的“三步法”辨别系数:判断二次项系数是否为0.观察形式:必须是整式，且自变量的最高次数为2.确定结论:确定是否为二次函数.强化训练

4、某商场购进一种单价为40元的商品,如果以单价60元售出,那么每天可卖出300个,根据销售经验,每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x(单位：元),每天销售y(单位：个),每天获得利润W(单位：元).(1)写出y与x的函数表达式.

(2)求出W与x的函数表达式(不必写出x的取值范围).销量=300+20×降价总利润=销量×每个商品的利润y=300+20x.W=(300+20x)(60-40-x)=-20x2+100x+6000.强化训练小结:实际问题中建立二次函数表达式的“三步法”找

找出题目中的等量关系.审

审清题意，分清实际问题中的已知量（常量）和未知量（变量）.列

根据等量关系写出一个变量表示另一个变量的函数表达式.强化训练课堂总结1.定义：一般地，如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的形式，那么称y是x的二次函数.2.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0).(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).3.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.规律方法：1.关于x的二次函数表达式y=ax²+bx+c一定是整式，a，b，c为常数,且a≠0.2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.1.某药店决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为

，化作一般形式是