2026新教材数学 22.3.4 相似三角形的判定定理3 课件沪科版数学九年级上册

22.3相似三角形的判定

第4课时相似三角形的判定定理3第22章相似形导入新课A'B'C'ABC全等三角形类比相似三角形B'C'A'ABCSSS定理，特殊到一般全等三角形是相似三角形的特例.AB=A'B'BC=B'C'

AC=A'C'知识模块一三角形相似的判定定理3的证明探究新知猜想：三边对应成比例的两个三角形相似.

求证：△

ABC与△A'B'C'相似.

B'C'A'ABC∠A=∠A'B'C'A'ABC

两个三角形三边对应成比例，要看这两个三角形是否相似，只需看其中两组对应边的夹角是否相等即可.探究方法1.利用量角器度量对应角的大小；2.通过平移让对应角重合，验证对应角的大小关系.依据相似三角形的判定定理2如何证明这两个三角形相似呢？

△

ABC∽△A'B'C'能否说出相似三角形的判定定理1和定理2？定理1：两角分别相等的两个三角形相似．定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．ABCA'B'C'DE作辅助平行线得到△

A'DE∽△A'B'C'证得△

A'DE与≌△A'B'C'123还记得定理的证明思路吗？△ABC∽△A'B'C'∴DE

=

B′C′，EA

=

C′A′.∴△ADE

≌

△A′B′C′

△A′B′C′∽△ABC.

∵DE∥BC，过点D作DE∥BC交

AC

于点E.证明:在线段AB(或延长线)上截取AD

=

A′B′，C′B′A′BCADE∴△ADE∽△ABC.由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（可以简单说成：三边成比例的两个三角形相似）．归纳总结

∴△ABC∽△A′B′C.符号语言：典例精析如图，在8×8的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC与△DEF的顶点均在格点上．求证：△ABC∽△DEF.

∴△ABC∽△DEF.2.已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似

()A．2cm，3cmB．4cm，5cmC．5cm，6cmD．6cm，7cmC

判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.归纳总结已知△ABC和△DEF,根据下列条件判断它们是否相似.(3)AB=12，BC=15，AC＝24，DE＝16，EF＝20，DF＝30.(2)AB＝4，

BC＝8，

AC＝10，DE＝20，EF＝16，

DF＝8；(1)AB＝3，

BC＝4，

AC＝6，DE＝6，

EF＝8，

DF＝9；是否否练一练知识模块二三角形相似的判定定理3的应用1.如图,方格网的小方格是边长为1的正方形，△ABC与

△A′B′C′的顶点都在格点上，△ABC与△A′B′C′相似吗?为什么?CBAA′B′C′解：△ABC与

△A′B′C′的顶点都在格点上，根据勾股定理，得∴△ABC与

△A′B′C′相似.CBAA′B′C′

【分析】欲证∠BAD＝∠CAE，可先证明△ABC∽△ADE，推出∠BAC＝∠DAE，进而得出结论，而由已知条件中三边对应成比例，知必有两个三角形相似．

∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.

∴△ABC∽△AED.∴∠CAB＝∠DAE.∴∠CAB－∠EAF＝∠DAE－∠EAF.∴∠1＝∠2.

由(1)可知∠1＝∠2，∴△ABE∽△ACD.

ABCDE∴△ABC∽△ADE.

∴∠BAC=∠DAE，∠BAC－∠DAC

=∠DAE－∠DAC.即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.1.如图，已知AB:AD=BC:DE=AC:AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由.ABCDE练一练解：在△ABC和△ADE中，∵

AB:CD=BC:DE=AC:AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，∴∠BAD=∠CAE.故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.ABCDE2.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，DC=31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.ACBD2814214231.5解：公路AB与CD平行.理由如下：

∴△ABD∽△BDC.∴∠ABD=∠BDC.∴AB∥DC.1.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是()CA.①和②B.②和③

C.①和③D.②和④①②③④巩固练习2.如图，∠APD=90°，AP

=

PB

=

BC

=

CD，下列结论正确的是

()

A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDA

C.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA

ACBPDC3.根据下列条件，判断

△ABC

与

△A′B′C′是否相似：AB

=

4

cm，BC=

6

cm，AC=

8

cm，A′B′=

12

cm，B′C′=

18

cm，A′C′=

21

cm.答案：不相似.4．一个三角形的三边长之比为3∶4∶5，另一个三角形的最短边长为9，当另外两边长分别为________时，这两个三角形相似．12，15

相似

证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，∴DE，FD，FE是△ABC的中位线．

∴△FDE∽△ABC.6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．求证：△FDE∽△ABC.课堂小结相似三角形的判