第二十六章 二次函数【章末复习】 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

###增减性-\(a>0\)：对称轴左侧递减，右侧递增-\(a<0\)：对称轴左侧递增，右侧递减###\(a,b,c\)符号判断（高频考点）1.a：开口方向，上正下负2.b：**左同右异**：对称轴在y轴左，\(a、b\)同号；对称轴在y轴右，\(a、b\)异号3.c：抛物线与y轴交点\((0,c)\)，交点在上\(c>0\)，在下\(c<0\)，过原点\(c=0\)##三、抛物线平移（顶点式）口诀：**左加右减，上加下减**>>左加右减：只对x进行变化；上加下减：整个式子末尾加减常数>例：\(y=x^2\)向右移2，向上移3→\(\boldsymbol{y=(x-2)^2+3}\)##四、二次函数与一元二次方程令\(y=0\)，\(ax^2+bx+c=0\)判别式\(\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}\)1.\(\boldsymbol{\Delta>0}\)：方程两个不等实根，抛物线与x轴**2个交点**2.\(\boldsymbol{\Delta=0}\)：方程两个相等实根，抛物线与x轴**1个交点（顶点在x轴）**3.\(\boldsymbol{\Delta<0}\)：方程无实数根，抛物线与x轴**无交点**>>抛物线与x轴交点横坐标，就是一元二次方程的根。##五、实际问题与二次函数（三大题型，大题必考）###1.几何面积最值（篱笆围矩形）思路：列出面积函数，\(a<0\)有最大值；**注意自变量取值范围**，顶点不在区间内要在端点求最值。###2.销售利润最值核心公式：单件利润=售价−进价**总利润=单件利润×销售量**涨价→销量减少；降价→销量增加；一定要写x取值范围。###3.抛物线模型（拱桥、投篮、喷泉、隧道）解题步骤：①建立平面直角坐标系（优先顶点放在y轴，简化计算）②把实际长度转化为点坐标③代入求抛物线解析式④代入求值，转化回实际长度作答##六、常用解题方法总结1.求顶点、对称轴：配方法/公式法2.求解析式：-已知顶点：用顶点式；已知与x轴两个交点：交点式；已知三点：一般式3.比较抛物线上两点函数值：看点到对称轴距离。\(a>0\)距离越远y越大；\(a<0\)距离越远y越小##七、易错点汇总1.顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)，h前面符号容易看错！\(y=(x+2)^2+3\)的顶点是\((-2,3)\)2.平移口诀：左加右减，是括号里x加减，不是h加减3.实际应用题求最值，**必须看自变量范围！顶点不一定可取**4.\(\Delta\ge0\)抛物线才和x轴有交点5.“增加多少”和“现在宽度”审题区分，不要直接写算出的宽度#章末基础练习题1.抛物线\(y=-2(x-3)^2+5\)开口____，顶点____，对称轴____。2.抛物线\(y=x^2-4x+3\)，\(\Delta=\)***，与x轴交点坐标***_____。3.用长60m篱笆围矩形，设一边长x，面积y，函数式________，最大面积____。4.商品进价40，售价60，每周卖200件，每涨1元少卖5件，涨价x元，总利润\(y=\)____________。<details><summary>答案</summary>1.向下；$(3,5)$；直线$x=3$2.$4$；$(1,0),(3,0)$3.$y=-x^2+30x$；$225\mathrm{m^2}$4.$y=(20+x)(200-5x)$</details>你想要：✅整套**全章测试卷（含详细解析）**，还是✅精简背诵版（适合考前快速默写），或是✅纯刷题无答案版本？相关视频今天23:15二次函数的图像和性质思维导图如何根据实际问题列二次函数表达式？二次函数的应用有哪些？对话图像生成音乐生成帮我写作视频生成PPT生成更多人教版（新教材）数学九年级上册章末复习授课教师：.

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9年级（

）班.

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2026/10/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十六章二次函数返回①向上②向下返回③两个④一个⑤没有⑥右⑦左⑧上⑨下知识结构

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回顾反思实际问题二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)利用二次函数的图象和性质求解实际问题的答案归纳抽象图象性质知识结构

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回顾反思考点1二次函数的概念和形式一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a

≠0)的函数，叫做二次函数．[注意](1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当

b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．一元二次函数(也叫作二次函数)的解析式(1)一般式：

(2)顶点式：

(3)交点式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为顶点坐标y＝a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标知识结构

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回顾反思考点2二次函数的图象和性质如果

a＜0，当

x＜时，y随

x的增大而增大；当x＞时，y随

x的增大而减小.如果

a＞0，当

x＜时，y随

x的增大而减小；当x＞时，y随

x的增大而增大.xyOxyO知识结构

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回顾反思考点2二次函数的图象和性质y=a(x−h)2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴直线

x=h直线

x=h顶点坐标(h，k)(h，k)最值当x=h时，y最小值=

k当

x=h

时，y最大值=

k增减性x＜h时，y

随

x

的增大而减小；x＞h

时，y随

x

的增大而增大.x＜h时，y

随

x

的增大而增大；x＞h

时，y随

x

的增大而减小.y=a(x−h)2+k称为二次函数的顶点式.知识结构

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回顾反思考点2二次函数的图象和性质图象的形状和开口方向均相同，可以通过互相平移得到.平移规律(设

h＞0，k＞0)：简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数a不变.左右平移

y=ax2

y=a(x−h)2(a≠0，

h＞0，k＞0)y=ax2+k

y=a(x−h)2+k左右平移

上下平移

上下平移

知识结构

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回顾反思考点3二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数

y=ax2+bx+c的图象与

x轴公共点一元二次方程

ax2+bx+c=0的根b2

−

4ac有两个公共点有两个不相等的实数根b2

−

4ac＞0有一个公共点有两个相等的实数根b2

−

4ac=0没有公共点没有实数根b2

−

4ac＜0知识结构

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回顾反思判别式

函数

的图象有两个不相等的实数根

有两个相等的实数根

没有实数根抛物线与x轴的交点情况有两个交点有一个交点无交点yxoyxoyxoyxoyxoyxo知识结构

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回顾反思考点3二次函数与一元二次方程、不等式的关系Δ

=b2−4ac二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根不等式

ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集不等式

ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集x2x1xyOOx1=x2xyOyxΔ＞0Δ＝0Δ＜0x1，x2没有实数根x＜x1或x＞x2x≠x1的一切实数全体实数x1＜x＜x2无解无解x1=x2=知识结构

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回顾反思考点4实际问题与二次函数(1)二次函数的应用包括以下两个方面：①

用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；②

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．拱桥

问题围墙

问题利润

问题球类飞行问题喷泉

问题几何图形问题知识结构

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回顾反思考点4实际问题与二次函数①

找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；0101020203030404④

检验结果的合理性，是否符合实际意义．②

列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；③

利用二次函数的图象及性质解决实际问题；1.返回下列函数中，y一定是x的二次函数的是(

)A．y＝3x－7B．y＝C．y＝3x2－7x＋3D．y＝ax2－6x－2C考点1二次函数的定义返回2.【荣德原创】若

是关于x的二次函数，则该函数的最小值为________．返回3.已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(

)A．图象的对称轴为直线x＝－2 B．图象的顶点坐标为(2，3)C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3C考点2二次函数的图象与性质返回4.[张家口宣化区期中]抛物线y＝－3(x－2)2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是(

)A．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度C．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度D．先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度C[福建中考]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3<b<4，则下列判断正确的是(

)A．1<y1<y2

B．y1<1<y2C．1<y2<y1

D．y2<1<y1返回5.A[石家庄平山期中]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，且过(－1，0)，(1，1)两点，那么抛物线的对称轴(

)A．只能是直线x＝1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x＝1的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x＝－1的右侧返回6.C返回7.[青岛中考]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则过点M(c，2a－b)和点N(b2－4ac，a－b＋c)的直线一定不经过(

)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C返回8.【逐项代入法】[南通中考]在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A(－1，5)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，－1)，E(5，5)．若抛物线y＝a(x－2)2＋k(a>0)经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为(

)C返回9.[扬州中考]如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点．(1)求b，c的值；解：∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点，(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．解：由(1)知二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2.∵A(－2，0)，B(1，0)，∴AB＝1－(－2)＝3.设点P的纵坐标为n，∴S△PAB＝

，∴|n|＝4，∴n＝±4.当－x2－x＋2＝4时，Δ＝1－8＝－7<0，方程无实数解，不符合题意，舍去；当－x2－x＋2＝－4时，解得x1＝－3，x2＝2.∴点P的坐标为(2，－4)或(－3，－4)．返回返回10.[北京期中]二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，若ax2＋bx＋c≥3，则x的取值范围是(

)A．x≥0 B．x≤0C．－2≤x≤0 D．x≤－2或x≥0C考点3二次函数与方程、不等式的关系11.如图，已知抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，那么关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为______________．x1＝－2，x2＝1返回返回12.[济宁中考]某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(件)与销售单价x(元)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；考点4二次函数的应用解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，由图可知，函数图象经过点(100，300)，(120，200)，

∴这段时间内y与x之间的函数解析式为y＝－5x＋800.返回(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？返回解：∵销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，解得100≤x≤116.设商场获得的利润为z元，则z＝

(－5x＋800)(x－80)＝－5x2＋1200x－64000＝－5(x－120)2＋8000.∵－5<0，∴二次函数的图象开口向下，∴当100≤x≤116时，z随x的增大而增大，∴当x＝116时，z有最大值，