2026新教材数学 23.2.1 解直角三角形 课件沪科版数学九年级上册

23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形第23章解直角三角形导入新课在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ACBcbaACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.c290°

知识模块一解直角三角形探究新知

ABC

ABC

∴∠B＝30°∠A＝90°-∠B=90°-30°=60°在如图的Rt△ABC中，根据

AC＝2.4，斜边

AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4练一练

∠A+∠B=90°=>∠B=90°-∠A≈90°-66°=24°例1如图，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠B＝42°6'，c=287.4，解这个直角三角形(精确到0.1).

典例精析∴a=ccosB=287.4×0.7420≈213.3.

∴b=csinB=287.4×0.6704≈192.7.∴

∠A=90°-∠B=90°-42°6′=47°54'.

事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．ABabcC

在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．归纳总结解直角三角形的类型已知选择的边角关系斜边c和一直角边a由sinA＝，求∠A，∠B＝90°－∠A，b＝两直角边a，b由tanA＝，求∠A，∠B＝90°－∠A，c＝斜边c和一锐角A∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA一直角边a和一锐角A∠B＝90°－∠A，b＝，c＝练一练

∠B＝90°－∠A＝30°.

解：∠B＝90°－∠A＝60°，

∴∠A＝45°，∠B＝90°－∠A＝45°，

例在△ABC中,∠A=55°,b=20cm，c=30cm.求△ABC的面积(精确到0.1cm2)ABC知识模块二解直角三角形的应用55°bc

DABC55°bc在Rt△ABC中,∵CD=AC·sinA=bsinA

当∠A=55°,b=20cm，c=30cm时,有

≈245.7(cm2)典例精析1.如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，求BC的长(结果保留根号)．解：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，

解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，

图①

当

△ABC

为钝角三角形时，如图①，∵AC=13，∴由勾股定理得

CD

=

5.∴BC

=

BD

-

CD

=

12

-

5

=

7.当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.

∴AD=BD=AB·cosB=12.图②当

△ABC

为锐角三角形时，如图②，BC

=

BD

+

CD

=

12

+

5

=

17.∴BC的长为7或17.

D练一练2.在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，AB＝12.(1)求BC的长；(2)求△ABC的面积．(结果都保留根号)解：(1)过点B作BD⊥AC于点D，如图．在Rt△ABD中，∵∠A＝30°，AB＝12，

∵∠C＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD＝6.

巩固练习

BCDAB

ABCDEC3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（1）a=30，

b=20；解：根据勾股定理得：ABCb=20a=30c

∴∠A=56.3°∴∠B=90°-∠A=90°-56.3°=33.7°

(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=

14

∴b=c·sinB=14×sin72°≈13.3

∴a=c·cosB=14×cos

72°

≈4.34.∴∠A=90°-72°=18°

DABC6∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=30°∴∠CAB=60°,∠B=30°,

5.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米?解：如图所示，依题意可知，当∠B=