中国民航大学 线性代数 笔记19-20期末复习资料

一、填空选择总结（每题4分）2、排列2413的逆序数是______________311、写出四阶行列式中含有因子a11a23的项____________________________-a11a23a32a44；

a11a23a34a42范德蒙德行列式(b-a)(c-a)(c-b)E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410一、填空选择总结（每题4分）1、行列式______________(09-10)(09-10(2))(10-11(2选考))(10-11(2))2E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604100(10-11(1选考))3(2017.10

)1-53-3E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604101、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是()|AB|=0,则A=0或B=0;B.|AB|=0,则|A|=0或|B|=0；C.AB=0,则A=0或B=0;

D.AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；

B2.设4

4矩阵A=(,1,

2,

3),B=(

,

1,

2,

3),其中,,

2,

3,

4为4维列向量.若|A|=4,|B|=1,则|A+B|=()40

;B.20;C.10;D.5;A(09-10(2))4E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604102、若四阶方阵B与A相似,且A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则矩阵B-1-E

的全部特征值为____________1,2,3,4

为A一特征值，矩阵多项式

(A)=a0E+a1A+···+amAm的一特征值为

(

)=a0+a1+···+am

m(09-10)1、设3×3可逆矩阵A的特征值为2,3,1,则|A-1|=.1/6(10-11(1选考))3、已知-1,0,1是三阶矩阵A的特征值，E为三阶单位矩阵，则|4E-2A|=.48(2011)0(10-11(2选考))51或2-3E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410模拟题(一)二、2.设A为n阶方阵，且detA=2,则4、设A是n阶方阵,且|A|=a,而A*是A的伴随矩阵,则|A*|=___an-1(-1)n2(09-10)4、设A是n阶方阵，且|A|=0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*

|=.0(09-10(2))4、设A是n阶方阵,|A|=1,A*是A的伴随矩阵,则|A*

|=.1(10-11(1选考))ex.设A为4阶方阵,且R(A)=2,则R(A*)=

.0(10-11(1选考))4(2011)性质9:

R(A*)=（A为方阵）6E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(2017.07)12E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410练习(-1)n

31’.设A,B为n阶矩阵,|A|=2,|B|=-3,则|2A*B-1|=

.

(-3)-122n-153=1251’’.②设n阶方阵A非奇异(n2),A*为其伴随矩阵,则

.

A.(A*)*=|A|n-1AB.(A*)*=|A|n+1AC.(A*)*=|A|n-2AD.(A*)*=|A|n+2AC①设n阶矩阵A可逆,A*为其伴随矩阵,则

.

A.|A*|=|A|nB.|A*|=|A|C.|A*|=|A|n-1D.|A*|=|A|-1

C8E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604101、设,且A-1,C-1存在,则X-1=_______(08-09)9E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604105、设A、B均为n阶可逆矩阵，且AB=BA，

则下列命题不正确的是()(A)C(B)(C)(D)(08-09)ex.

设A,B,A+B,A-1+B-1为n阶可逆阵,则(A-1+B-1)-1=

.

CA.A-1+B-1

B.A+BC.A(A+B)-1BD.(A+B)-110E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410A6、设B是数域K上n阶可逆矩阵，对于K中任意n个数b1,…,bn,线性方程组的解()(A)存在且唯一(B)存在但不唯一(C)不存在(D)存在与否不确定(08-09)11E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410C(10-11(1选考))121E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604107、设二次型f(x1,x2,x3)=2x12+tx22+tx32–4x1x2–4x1x3正定,求t的取值范围.正定二次型(正定矩阵)的判别方法:(1)对于抽象的题目用定义法;(2)对于具体的题目用主子式判别法;(3)对于具体的题目用特征值判别法.A为正定

A的各阶顺序主子式为正A为负定

A的奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正A为正定

对任意的x0,都有f(x)=xTAx>0A为负定

对任意的x0,都有f(x)=xTAx<0A为正定

A的特征值全为正A为负定

A的特征值全为负t>47有关特征值、相似、合同13E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604107、下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是()(A)(B)(C)(D)B

定理2:

n阶矩阵A与对角矩阵

相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

推论:如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A与对角阵相似.

说明:

如果A的特征方程有重根,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化.但如果能找到n个线性无关的特征向量,则A还是能对角化.

定理:实对称矩阵定与对角阵相似.(09-10)14E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410C(2011

)B(10-11(1选考))A()7、实对称矩阵的特征值都是(A)都是实数(B)都不是实数(C)都是非负实数(D)有实数也有非实数(08-09)15E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604107、设A，B为n阶方阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()

E-A=

E-B;

A与B有相同的特征值和特征向量；C.A与B都相似于一个对角矩阵;

D.对任意一个常数t,tE-A与tE-B

相似；

D7、设3阶方阵A的特征值为

1=

1,

2=

0

,

3=

-1,对应的特征向量分别是

1,2,3,记P=(

3,2,1),则P-1AP=()C(10-11(1选考))(10-11(1选考))16E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410B(2011

)DA与B相似，则tr(A)=tr(B)=4

或用特征值相同(09-10(2))17E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410

关于秩的描述：(1)A≠O,则R(A)____(2)R(A)=n,____________________________________________(3)R(A)<n,______________________________(4)R(A)≥n,______________________________

定义:

若在矩阵A中有一个r阶子式D非零,且所有的r+1阶子式(如果存在的话)都为零,则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式,称数r为矩阵A的秩,记作R(A).

※m

n矩阵A的秩R(A)就是A最高阶非零子式的阶数.

规定:零矩阵的秩为零.

对于AT,显然有:R(AT)=R(A).≥1A中有n阶子式非零,且所有的n+1阶子式都为零A所有的n阶子式都为零A中有n阶子式非零8：关于矩阵的秩18E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604108、已知为三阶非零方阵,且满足PQ=0,则（）(A)当t=6时,P的秩必为1(B)当t=6时,P的秩必为2(C)当t≠

6时,P的秩必为1(D)当t≠

6时,P的秩必为2C性质8:

若Am

nBn

l=O,则R(A)+R(B)

n.(09-10)19E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410()8、设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,

则(A)当m>n时,必有行列式(B)当m>n时,必有行列式(C)当m<n时,必有行列式(D)当m<n时,必有行列式B性质7:

R(AB)

min{R(A),

R(B)}.(09-10)8.设A,B为n阶非零方阵,且AB=O,则A和B的秩()

必有一个为零

B.都小于nC.一个小于n，一个等于nD.都等于nB(09-10(2))20E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604108、已知向量组

1=(1,4,3)T,

2=(2,t,-1)T,3=(-2,3,1)T的秩为2,则t=.-3(10-11(1选考))-3(10-11(1选考))(2011

)无论是列向量组还是行向量组，全变成列向量→排成矩阵

→用初等行变换→行阶梯型或行最简形8、已知向量组

1=(1,2,-1,1),

2=(2,0,t,0),3=(0,-4,5,-2)的秩为2,则t=.3(09-10(2))21E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604109、设向量组

1=(2,2,3,1),

2=(1,-3,-2,0),

3=(8,0,5,3),

4=(3,7,8,2),

5=(7,-5,0,0)

,则该向量组的最大无关组是()(A)

1,

2,

3(B)

1,

2,

4(C)

1,

2,

5

(D)

2,

3,

4C(09-10)9.设向量组

1=(1,-1,2,4)T,2=(0,3,1,2)T,3=(3,0,7,14)T

4=(1,-2,2,0)T,2=(2,1,5,10)T,则该向量组的最大线性无关组为（）

1,2,3;B.

1,2,4;C.

1,2,5;D.

1,2,4,5;B(09-10(2))无论是列向量组还是行向量组，全变成列向量→排成矩阵

→用初等行变换→行阶梯型或行最简形22E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410CD(10-11(1选考))23E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604103、已知下列向量中是

1，

2线性组合的是()(A)(B)(C)(D)D(08-09)24E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410

（1）若A表示成

T,其中,为n×1矩阵,利用结合律求A的方幂.Ak=(

T)k=

T

T

T…

T=

(

T

)k-1A

（2）求A2,A3…总结规律。（见书例题）

（3）若存在可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ(对角矩阵),则Ak=PΛkP-1.（见书例题）2״.求方阵的方幂与后面重复的一页(10-11(2选考))(2011)25E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E604104、设矩阵A=，则An=_________________.26E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410_____________________________5、设,则(08-09)6、一个向量组可能有多个极大无关组，它们所含向量的个数是____________相同的(08-09)27E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410大题类型1、计算行列式（行和或列和相等的、爪型、范德蒙德、递推等）2、会解矩阵方程、会求逆矩阵及An、会矩阵的加减乘运算、3、线性相关性、会判别矩阵的秩、会求向量组的最大无关组、并会把其余向量用最大无关组表示无论是列向量组还是行向量组，全变成列向量→排成矩阵

→用初等行变换→行阶梯型或行最简形4、会求线性方程组通解及基础解系特别注意系数矩阵含有参数时解的情况的讨论5、会用正交变换将二次型化成标准形

(记得单位化，且对于重的特征值，对其特征向量会用到施密特正交化方法)286、会求两组基之间的过渡矩阵

会利用坐标变换公式在已知一个坐标时求另一个坐标会求线性变换在一组基下的矩阵7、一些证明题E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410提示：其他各行加到第一行，提出公因子即可。（或其他各列加到第一列）答案:(a+n-1)(a-1)n-1(10-11(1选考))答案:(-1)n-1(n-1)(10-11(2选考))1、计算行列式29E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410例:

计算行列式上面的行列式称为“三线型”行列式，指的是行列式除了某行，某列和对角线元素或次对角线元素非零外，其余元素均为零。计算方法：变为上三角行列式或下三角行列式30E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410例:

计算行列式上面的行列式是另一种“三线型”行列式31E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410例:

计算行列式(和课后题6(5)类似)上面的行列式称为“爪形三线型”行列式32E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(08-09)也可用加边法(09-10)(09-10(2))附：三线型行列式：有其特殊做法附：箭型行列式：有其特殊做法33E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410附：范德蒙行列式:

计算

评注:本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子,调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.34E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410或者(1)AX=B(2)XA=B四、设,且AB+E=A2+B,求B.2、解矩阵方程(利用初等变换法)(08-09)35E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(10-11(2选考))36E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(10-11(1选考))(09-10(2))37E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(09-10(2))2׳.矩阵的运算38E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410

（1）若A表示成

T,其中,为n×1矩阵,利用结合律求A的方幂.Ak=(

T)k=

T

T

T…

T=

(

T

)k-1A

（2）求A2,A3…总结规律。（见书例题）

（3）若存在可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ(对角矩阵),则Ak=PΛkP-1.（见书例题）2״.求方阵的方幂(10-11(2选考))(2011)39E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410九、

1=

1,2=1+2,…,r

=1+2+…+r.

且向量组

1,

2

,

…,r线性无关，证明:向量组

1,

2

,

…,r线性无关.已知(a1,a2)=,(b1,b2)=,证明向量组a1,a2与b1,b2等价.

(08091B八)

推论:

向量组A与向量组B等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A|B).(08-09)3、线性相关性、求向量组的最大无关组、并把其余向量用最大无关组表示40E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410

第四章定理2:向量组B:

1,

2,

···,

s能由向量组A:

1,

2,···,

m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(

1,

2,

···,

m)的秩与矩阵(A|B)=(

1,

2,

···,

m,

1,

···,

s)的秩相等,即R(A)=R(A|B).

推论:

向量组A与向量组B等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A|B).

定理3:若向量组B能由向量组A线性表示,则R(B)

R(A).推论:

设Cm

n=

Am

sBs

n,则R(C)R(A),R(C)R(B).P87定理:向量组

1,

2,···,

m(当m2时)线性相关的充分必要条件是

1,

2,···,

m中至少有一个向量可由其余m–1个向量线性表示.41E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410四设向量组

1=(1,1,-1,-2),

2=(5,2,-3,1),

3=(4,1,-2,3),

4=(3,4,-1,2)(1)求向量组

1,

2,

3,

4的秩(2)试问:该向量组是线性相关还是线性无关？(3)求向量组的一个极大线性无关组.3

线性相关

1,

2,

4(08-09)(10-11(2选考))42E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410无论是列向量组还是行向量组，全变成列向量→排成矩阵

→用初等行变换→行阶梯型或行最简形(2011

)43E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410齐次线性方程组的解法:

系数矩阵化成行最简形矩阵,便可写出其通解.非齐次线性方程组的解法:

增广矩阵化成行阶梯形矩阵,便可判断其是否有解.若有解,化成行最简形矩阵,便可写出其通解.

结论1:

Ax

=

0有非零解

R(A)<n.

结论2:

Ax

=

b有解

R(A)=R(A

¦

b).

结论3:

AX

=

B有解

R(A)=R(A

¦

B).5、会求线性方程组通解及基础解系特别注意系数矩阵含有参数时解的情况的讨论44E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(10-11(2选考))45E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(2011

)46E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410四、(12)设有线性方程组问

取何值时,此方程组(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无限多解？并在有无限多解时求其通解.(09-10)附:解含有参数的线性方程组解的讨论(1)当系数矩阵是方阵时，可以利用系数行列式进行分析讨论，即系数行列式不为零(一般可确定参数)，有______；系数行列式为零(一般确定参数的值)，利用增广矩阵化行阶梯形判别有解还是无解，有解时，求出通解。(2)当系数矩阵不是方阵时，通常将增广矩阵化为行阶梯形，然后再对参数讨论方程组有无解。唯一解注意：变量的系数中不含参数时，要用方法(2)47E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(09-10(2))(10-11(1选考))08-09七、求下非齐次线性方程组的通解.48E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(2011

)6、会用正交变换将二次型化成标准形

(记得单位化，且对于重的特征值，对其特征向量会用到施密特正交化方法)49E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(2017.1

)50E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(10-11(1选考))

对于二重的特征值1，求得基础解系中含有两个向量，看这两个特征向量是否正交，若不正交，要把这两个特征向量用施密特正交化方法正交化.51E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(10-11(1选考))(09-10(2))必须会做书上P14021,22,2352E6636B02012BD195C019CE06C16E3004C93D0FE32711A616D0819A143DE398F18FE11403BC41BA96CB4DD2F0472B73A72FC0F2BE2AA53FFE6A06217357F8DB8DBF2DB6715F2B3FB87EC24E60410(09-10(2))五、(12)已